勾股定理单元测试（提升卷）解析版-2024八年级数学上册（北师大版）

勾股定理-单元测试（提升卷）

建议用时：120分钟，满分：120分

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.下列各组数为勾股数的是（）

A.7,12,13B.3,3,4C.0.1,0.2,0.3D.9,12,15

【答案】D

【分析】本题考查了勾股数，如果三个正整数满足/+从=。2,那么这三个正整数就是勾股数，解决本题的

关键是根据勾股数的定义进行判断.

【详解】解：A、72+121132,

・・.7,12,13不是勾股数，故该选项不符合题意；

B、•・•32+32H42,

・•・3,3,4小是勾股数，故该选项不符合题意；

C、•••0.1,0.2,0.3不是正整数,

.,.0.1,0.2,（）.3不是勾股数，故该选项不符合题意；

V92+122=I52,

・•.9,12,15是勾股数，故该选项符合题意；

故选:D.

2.在△49C中，ZC=90°,ZA.NB、/C所对边的长分别为。、/）、c,若/=2,〃=4,那么1的值

是（）

A.2B.6C.20D.36

【答案】B

【分析】本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键.

在直角三角形中，利用勾股定理直接计算斜边的平方即可.

【详解】解：根据题意，△48C为直角三角形，ZC=90°,因此边。为斜边，〃、b为直角边，

由勾股定理得:a2+b2=c2,

代人己知条件/=2,〃=4,

得：c2=2+4=6,

因此，d的值为6,

故选：B.

3.已知△714。的三条边分别为“儿c,下列条件不能判断ZU8C是直角三角形的是（）

A."N6:NC=3:4:5B.ZJ+Z5=ZC

C.a=3,Z>=4,c=5D.a1-b2=c2

【答案】A

【分析】根据宜角三角形的判定对各个条件进行分析，从而得到答案.

木寇考查的是直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180。是解答此题的关键.

【详解】解：A、•••/力：/8:/。=3:4:5,ZJ+ZB+ZC=180°,

.•.最大角为NC=号dx180。=75°,

.•.△45C不是直角三角形，

故本选项符合题意；

B、•••//+N8=NC,Z/4+Z5+ZC=180°

.-.2ZC=180°,

.-.ZC=90°,

.•.△48C是直角三角形，

故本选项不符合题意；

C、•••32+42=25=5。

•••最大角是90。，

・••能构成直角三角形，

故选项不符合题意；

D、'：a1-ly=c2>

•-a1=b2+c2,

•••最大角为N4=90。，

是直角三角形，

故本选项不符合题意.

故选：A.

4.如图，在四边形N5CO中，AC,3。相交于点。且AC/BD,若力。=3,BC=4,则力外+⑺?的

值为（）

AD

【答案】C

【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键.由得到

NADB=ZBOC=ZCOD=ZAOD=90。，再利用勾股定理即可求解.

【详解】解：・：ACJ.BD,

:.ZAOB=ZBOC=ZCOD=Z.AOD=93°,

•••AB'OA'OB。BC2=OB2+OC2,CD2=OC2+OD2,AD2=OA2+OD2,

•••4）=3,BC=4,

-AB~+CD-=OA2+OB2+OC2+OD~

=（OA2+OD2）+（OB2+OC2）

=AD1+BC1

=32+42

=25,

•••加+m的值为25.

故选：C.

5.如图，在四边形力改'。中，乙4=90。，AB=AD=2,«C=1,CO=3,则N8的度数为（）

A.120°B.125°C.130°D.135°

【答案】D

【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键.连接8。，可求

480=45。，BD2=AD2+AB2=i,再由8D?+8C?=CD?,可得△8CO是直角三角形，即可求解.

【详解】解：如图，连接8。，

【详解】解：设力。=》,

•“C+/4=10,

AB=\Q-x.

•.•在Rt△48c中，ZJC5=90°,BC=3,

•••AC1+BC1=AB2,BPx2+3?=(10-x)2.

故选：C.

7.下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（）

【答案】B

【分析】本题考查了勾股定理的证明，对三角形和正方形面积公式的熟练掌握和运用是解题的关键.利用

面枳法证明勾股定理即可解决问题.

【详解】解：A、中间小正方形的面积。2=包+力『-4x；M；化简得/=/+〃，可以证明勾股定理，本选

项不符合题意.

B、不能证明勾股定理，本选项符合题意.

C、利用A中结论，本选项不符合题意.

D、中间小正方形的面积e-a『=/-4xg"；化简得/+〃=02,可以证明勾股定理，本选项不符合题意,

故选：B.

8.如图，△相。是一张纸片，"=90。,力。=3,8。=4,现将其折叠，使点B与点A重合，折痕为OE,

则DE的长为（）

【答案】A

【分析】本题考查的是轴对称的性质，勾股定理的应用：由勾股定理可得力8=5.根据翻折可得

AE=BE=^.设DB=x,根据图形翻折可得/。=乂8=4-工，在直角三角形力C。中，根据勾股定理可

得32+（4-X）2=/,求解X再进一步解答即可.

【详解】解：:/。=9（）。,4c=3避。=4,

•*-J5=^32+42=5.

根据翻折可得：AE=BE=^,

设D8=x,

AD=x,CD=4-x,

在直角三角形48中，根据勾股定理可得32+（4-x）2=f,

解得：X=言25.

O

在百角二角形。E4中,由勾股定理可得：

故选A.

9.如图1,以直角三角形的三边为边长制作正方形纸片4B,C,它们的面积分别记为5,S*现将

正方形纸片8放置在最大的正方形C内，如图2,阴影部分面积记为邑，则下列说法正确的是（）

图1图2

A.S=&B.S；+S；=S；C.S\=S&D.S、+S?=SA

【答案】C

【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据阴影部分的面积等于S4=53-S?,结合勾股定理得出

s}-s2=s3,即可求解.

【详解】解：••・以百角三角形的三边为边长制作正方形纸片4B,C,它们的面积分别记为£，S?邑.

:.S}+S2=S3

又:SA=S「S?，

:.s〕s「s?=s、,

故选：c.

10.有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形

围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示.如果继续“生长''下去，它将变

得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（）

【答案】A

【分析】本题考查了勾股定理，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面

积之间的关系是解答本题的关键.根据勾股定理求出“生长”了I次后形成的图形中所有的正方形的面积和,

结合图形总结规律，根据规律解答即可.

【详解】解：如图，由题意得，正方形力的面积为1,

由勾股定理得，正方形4的面积+正方形C的面积=正方形4的面积=1,

•••"生长''了I次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2,

同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3,

・•.“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面枳和为4,

“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2026.

故选:A.

二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)

11.在直线L上依次摆放着七个正方形，己知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3,正放置的四个正

方形的面积依次是&、邑、&、邑，则E+Sz+Ss+Squ

【答案】4

【分析】本题考查了全等三角形的证明，勾股定理的灵活运用，本题中证明三角形全等得到相邻两个正放

的正方形面积和等于这两个正方形间斜放的面积是解题的关键.由正方形的性质证明△ABSABED,则

可得$+52=力勿=1,同理得S?+S3=2,S3+54=3,由此即可求解.

【详解】解：如图,由题意知AB=BE,N/BE=90。,ZACB=/8DE=90。：

:ZABC+4EBD=NABC+ZBAC=90°,

"BDNBAC,

.♦.△48CA8EO(AAS),

AC=BD,BC=DE；

*•,AB1=1，

:.5)+5,=AC2+DE2=AC2+BC2=AB2=1；

同理得82+53=2,S3+$4=3,

S,+S2+5,3+S4=1+3=4；

故答案为:4.

CBD

12.已知4、6、c是18。的三边长，且满足关系(。2-。2+/)2+,一耳=0,则“8。的形状为

【答案】等腰直角三角形

【分析】由非负数的性质得出/=/+〃，a=b,进而得出△//(?的形状.

【详解】解；c2IZ??)21\aZ?|-0,

a1—c2+b2=0,a-b=0>

••a1+b'=c2,a=b,

：4BC的形状为等腰直角三角形.

故答案为：等腰直角三角形.

【点睛】本题考查了非负数的性质、勾股定理逆定理和等腰三角形的定义（至少有两边相等的三角形），直

接利用非负数的性质，得出。，b,c之间的关系是解题关键.

24

13.如图，圆柱体的底面直径为刀cm,高力4为5cm,8c是上底面的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着

圆柱的侧面爬行到点C处觅食，则爬行的最短路程为cm.

【分析】本题考查了勾股定理-最短路径问题，解题的关键是将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答.

将圆柱的侧面展开，得到一个长方体，再然后利用两点之间线段最短解答.

【详解】如图所示，将圆柱展开，

D

24

•••圆柱体的底面直径为彳■cm,

3八丝=12(cin)

27C

••高AB为5cm

22

AJC=V5+12=13(cm)

•••爬行的最短路程为13cm.

故答案为：13.

14.如图，在单位长度为1的3x4的网格系中，△月8C的顶点都在格点上，则乙48。=

【答案】135。/135度

【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，等腰三角形的判定及性质.取格点。，使得力。=4C=6,

CD=AB=屈,连接40.证明△450,△BCO是等腰直角三角形即可求解.

【详解】解：J5=Vl2+32=V10,BC=Jl2+22=&，

取格点。，使得力。=8。=逐，CD=AB=M，

连接8。，

二80=4+22=5

AD=BD,AD2+BD2=(75^+(V5)2=lO=(Vio)2=AB2,

.•.△490是等腰直角三角形，

.•.430=45。，

♦：BD=CD,BD'+BC?=CD"

.••△BCO是等腰直角三角形，

.-.ZC5D=90°,

48C=NABD+4CBD=45。+90°=135°.

故答案为：135。

15.如图1,这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图此图案的

示意图如图2,其中四边形/8C力和四边形EFGH都是正方形，AABF,ABCG,XCDH,是四个全

等的直角三角形.若EF=T,DE=4,则/出的长为.

A

图2

【分析】本题考查了勾股定理，根据正方形，全等三角形的性质得到。七=力/=8G=C〃=4,

AH=BF=CG=DH=AF—EF=4—1=3,在Rt^ABF中由勾股定理即可求解.

【详解】解：•.,四边形45。。和四边形£FG〃都是正方形，&ABF,△BCG,ACD//,△D4E牯四个全等的

直角三角形,

:.EF=FG=GH=EH=\,DE=AF=BG=CH=4,

AE=BF=CG=DH=AF-EF=4-\=3t

在必△4"'中，ABHAL+BF?=5/42+32=5，

故答案为：5.

16.若直角三角形三边长为正整数，且周长与面积数值相等，则称此三角形为“完美直角三角形”，求“完

美直角三角形”的斜边长为

【答案】10或13

【分析】本题主要考查了勾股定理，设“完美直角三角形”的三边长为a，b,c,其中。是斜边，则可得方程

a2+b2=c?①

组ab，、，进而可得一（45-4。-4/>+8）=0,再由"wO,得至lj"-4a-48+8=0,即

a+b+c=—②4

2

O

0=4+搐（a,b为正整数），据此讨论求解即可.

。一4

【详解】解：设“完美直角三角形.'的三边长为a，b,c,其中。是斜边,

a2+b2-c2®

由题意得a+b+c=也②

2

由②得C卷-"6③'

把③代入代入①得a2+b2=\^--a-b

二。1+b2——ah^a+b）+a2+b'+2ah,

4

:.（cib—4。—4b+8）=0,

v时工0,

:.一4。-4力+8=（）

Q

<z=4+-一-（a,h为正整数）

b—4

."-4=1,248,

当/>=5,a=12时，c=l3,

当b=6,a=8,则c=10

当力=8,a=6,则c=10,

当8=12,。=5,则c=13；

综上所述，“完美直角三角形”的斜边长为10或13；

故答案为：10或13.

三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题；每题8分；第24,25题，每题12分;

共9小题，共72分）

17.在RtA46C中,ZC=90°.

（1）若c=13,b=5,则。=；

（2）已知。：5=3:4,c=15,求。、b的值.

【答案】（1）12

（2"=9,6=12

【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉定理的内容并灵活运用是关键.

（1）已知直角三角形中的斜边与一条直角边，求另一条直角边，利用勾股定理即可求解・；

（2）由题意设a=3x,b=4x,由勾股定理建立方程，利用平方根的定义求出x即可求解.

【详解】（1）解：'--a2+b2=c2,c=13,b=5,

-a=>lc2-b2=V132-52=12：

故答案为：12；

（2）解：*/a:Z）=3:4,

设a=3x,b=4x.

Xva2+b2=c2e=15,

.•.（3x）2+（4x>=152,

BP?=9,

.-.A=3（舍去负值）

:.a=9,b=\2.

18.在Rt△48c中，ZACB=90°,AC:BC=4:3,AB=IO.

（1）求边4c和8c的长；

（2）求△48C的面积.

【答案】⑴4C=8,BC=6

（2）24

【分析】本题考查了勾股定理，求三角形的面积，掌握勾股定理，求三角形的面积是解本题的关键.

（1）设/C=4x,BC=3x,根据勾股定理列方程求解即可；

（2）根据三角形面积公式求解即可.

【详解】（1）解：如图所示，

A

CD--------------'B

VJC:5C=4:3,

设力C=4x,BC=3x

•••4C8=90°,AB=\O

:，AC2+BC2=AB2

.•.(4x)2+(3xf=1()2

,x=2

:.AC=4x=8,BC=3x=6；

(2)解：vZJCi?=90oJC=8,BC=6

△ABC的面积=!/1C・8C=-x8x6=24.

22

19.学过《勾股定理》后，学校数学兴趣小组的队员们来到操场上测量旗杆48的高度，通过测量得到如下

信息：

①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长3米（如图1）：

②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离CE为12米（如图2）.

根据以上信息，解答下列问题

（1）设旗杆48=工米，则4C=米，AE=米（用含内的式子表示）

（2）求旅杆x的值.

【答案】（1）（X+3）；（x-1）

⑵17米

【分析】（1）根据题意列式表达即可.

（2）设旗杆的高为x米，则绳子长为（x+2）m米，利用勾股定理计算即可.

本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键.

【详解】（1）解：根据题意，得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长3米

故绳长为（工+3）米；

根据题意，得到四边形CD9E是矩形，得到CQ=3E=I米，

故4E=(x-1)米,

故答案为：（x+3）；（x-l）.

（2）解：在Rta/EC中，ZJEC=90°

AE2+EC2=AC2

即（..l『+122=（x+3『

解得：x=17

答：旗杆x的值为17米.

20.如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,道路彳C因为施工需要封

闭，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A,H,8在同一条直线上），并新修一条道路

CH,已知CB=1.3km,CH=1.2km,IIB=0.5km.

c

(1)C〃是否为村庄c到河边最近的道路？请通过计算加以说明；

(2)已知新的取水点〃与原取水点A相距0.9km,求新路C4比原路。力少多少千米.

【答案】(1)C"是村庄C到河边最近的道路，计算见解析

(2)新路CH比原路CA少0.3km

【分析】本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解决本题的关键.

(1)根据勾股定理的逆定理验证为直角三角形，进而得到再根据点到直线的距离垂线段

最短即可解答：

(2)在中根据勾股定理解答即可.

【详解】(1)CH1+HB1=1.22+0.52=1.69,C52=1.32=1.69.

:.CH'+HB2=CB2.

是直角三角形,且NC〃8=90。.

；.CH工AB.

根据“垂线段最短“可知C"是村庄C到河边最近的道路.

(2),:CHtAB,

Z.CHA=90°.

在RJ/HC中，AC=>IAH2+CH2=VO.92+L22=1.5.

由C/一CH=1.5-1.2=0.3,可知新路CH比原路C4少0.3km

21.如图，点M、N把线段加?依次分成40、MN、NB三段,若以4W、MN、N8为边组成的三角形是

一个直角三角形，则称点M、N是线段的“勾股分点”.

AMNB

(1)若力夕=9,4M=3,8N=4,则点M、N线段43的“勾股分点”(填“是”或“不是”)；

(2)若M、N是线段的“勾股分点”，48=30,4/=12,且4股是组成的直角三角形的一条直角边，求

的长.

【答案】(1)不是：

Q）5或13

【分析】本题考查勾股定理，结合勾股定理求解是解决问题的关键.

（1）结合勾股分割点，由已知条件得到402=9,n炉=4,BN2=\6,从而根据彳/+〃八，2工即2,即

可得出答案；

（2）点M,N是线段48的勾股分割点，且4W为直角边，分两种情况，利用勾股定理列方程求解即可得

到答案.

【详解】（1）解：•••48=9,4M=3,BN=4,

:.MN=9-3-4=2,

-AM2=9,MTV2=4,BN?=\6,

:•AM?+MNrBN',

.•.以MN,N8为边的三角形不是一个直角三角形，

二根据勾股分割点定义，忆N不是线段的勾股分割点.

故答案为：不是；

（2）•:点M,N是线段彳8的勾股分割点，且力M为直角边，有两种情况：

①MN为斜边时，有AM?+BN?=,

设8N=x,则122+/=（30-12-4『，

x—5；

②8N为斜边时，有BN?=AM〜MN。

设8N=x,WiJx2=122+（30-12-x）2,

•••x=13：

•••8M的长为5或13,

的长为30-12-5=13或30-12-13=5,

•••MN的长为5或13.

22.小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，利用数学知识对其作了进一步的探究.如图I,在一个

支架的横杆点。处用一根细绳悬挂一个小球儿让小球4可以自由摆动.如图2,表示小球静止时的位

置.当小明用发声物体莫近小球时，使小球从。力摆到03位置，此时过点8作于点D.当小球摆

到。。位置时，08与OC互相垂直（点4B,O,C在同一平面内），过点C作CE_LO4于点心测得

OB=13cm,BD=5cm.

oo

图1图2

（】）求证：OE=BD：

（2）求QE的长.

【答案】（1）见解析

（2）7cm

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂线性质，勾股定理.

（1）根据垂线性质得到NOO8=NOEC=/8OC=90。，根据同角的余角相等得到NCOE=NE,即可证明

^COE^OBD（AAS）,从而得到结论；

（2）根据勾股定理求出0。的长，由（1）可知0E=BD,利用=求出结果即可.

【详解】（1）证明：-OB1OC,

ABOD+ZCOE=90°,

又•：CE1OA,BDA.OAt

:./CEO=NODB=90。,

4BOD+ZB=90。,

Z.COE=ZB,

在ACOE和AOBD中，

NCEO=NODB

<Z,COE=ZB,

OC=BO

.•.△COE%O8O（AAS）,

:.OE-BD；

（2）解：在RtACMO中，OD=&）B'-BD2=12（cm）,

由(1)得OE=BD=5cm,

.•.OE=OQ-O£=12-5=7(cm).

23.如图，在△力4c中，点P为边46上一点，ZJ5C=90°,JC=10,5C=6.

(1)如图1,若NPAC=NPCA,求力P的长；

(2)如图2,若点尸在/4C8的平分线上，求4P的长.

【答案】⑴2?5

(2)4P=5

【分析】本题考查的是勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质等；

(1)先求解AB=ylAC?—BC'=芯，^AP-PC-Xi则，『一43—4〃一8一工，再利用勾股定理列方程计算

即可；

(2)过点?作PQ_LZC于点。，证明△尸△尸。C,可得DC=8C=6,AD=AC-DC=4,设

AP=m,^\PD=PB=S-m,再利用勾股定理求解即可.

【详解】(1)解：•••在△X8C中，ZJBC=90°,^C=10,^C=6,

AB=>IAC2-BC2=8»

...NPAC=ZPCA,

/.AP=PC,

设力尸=PC=x,则8尸=/5—力尸=8—x,

在RtRPC中，BP2+BC2=PC2,

/.(8-x)2+62=x:,

C〃平分NACB,乙ABC=90°,

:.PD=PB/BCP=ZDCP,

•••在△PBC与△PQC中,

4PBC=4PDC

4cp=NDCP,

PC=PC

.•APBCHPDC(AAS),

:.DC=BC=6,

AD=AC-DC=lO-6=4,

设/P=〃，则尸O=P8=8-/〃，

...在Rt△力尸。中，AP2=PD1+AD1>

/.m2=(8-w)2+42,

/.AP=m=5.

24.我们规定：三角形任意一条边的“边高差”等于这条边与这条边上高的长度之差.如图1,A48。中，AD

为8C边上高，边8。的“边高差”等于8C-力。，记为力（8。）.

(1)如图2,若△力BC中,AB=ACtZBAD=ZCAD,AD=5,ED=3,则〃(8C)=_；

(2)若△Z5C中,ZB=9O°,AB=5,BC=12,求〃(4C)的值;

（3）若△44。中，力8=25,力。=17,AC边上的高为15,求力（〃。）的值.

【答案】⑴1

109

Q噌

（3）13或-3

【分析】本题主要考查了新定义下的三角形边高的数量关系，等腰三角形的性质，勾股定理等内容，解题

的关键是理解题意，掌握勾股定理.

（I）根据条件判定等腰三角形，利用等腰三角形的性质求出底力，然后根据新定义即可得出结果；

（2）画出示意图，利用勾股定理求出相关边长，最后根据新定义求解即可;

（3）分两种情况画出示意图，利用勾股定理求出相关边长，最后根据新定义求解即可.

【详解】（1）解：•：4B=4C,

二△48c为等腰三角形,

vABAD=^CAD,

根据等腰三角形的三线合一,

/.BC=2BD=6,AD±BC,

AD为LABC底边4c上的高,

；.h(BC)=BC-AD=6-5=l,

故答案为：1;

（2）解：如图所示，是边/C上的高,

由勾股定理得1C=J/必、8c2=452+12?=13，

ABBC5x1260

利用等面积法可得8。=

AC1313

IUM

:.h[AC)=AC-==

13，

（3）解：①如图所示，是边〃。上的高,

由勾股定理得，CD=yJAC2-AD-=A/172-152=8»

BD=yjAB2-AD2=7252-152=20，

.•.80=8+80=8+20=28,

.•/(8C)=8040=28-15=13；

②如图所示，力。是边6c上的IWJ,

A

­.h{HC)=RC-AD=n-\s=-^.

综上，M8C)的值为13或-3.

25.【问题提出】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的