高三数学一轮复习讲义（教师标准版）指数运算与对数运算

§2.7指数运算与对数运算

【课标要求】1.理解有理数指数幕的含义，了解实数指数幕的意义、掌握指数幕的运算性质2理解对数的概念

及运算性质.能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.3.掌握指数、对数运算在实际问题中的应

用.

1.根式

⑴一般地，如果?=出那么x叫做a的〃次方根，其中心1,且

(2)式子叫做根式，这里〃叫做根指数《叫做被开方数.

(3)(\/5)"=".

当n为奇数时,'：甯=4

当〃为偶数时，々的

I—a,a<u.

2.分数指数累

m___

正数的正分数指数塞：an=Va^ia>O,mji£N",〃>1).

m11

正数的负分数指数暴：a~=f=5^=(f/>0,/??,/?eN*,/?>I).

0的正分数指数事等于Q,0的负分数指数事没有意义.

3.指数幕的运算性质

aras=ar+s；("/=贮；(abY=arbr(a>^b>Oj\seR).

4.对数的概念

一般地，如果"=Ma>0,且aWI),那么数1叫做以a为底N的对数，记作x=log,N,其中生叫做对数的底

数，”叫做真数.

以10为底的对数叫做常用对数,记作此M

以e为底的对数叫做自然对数，记作InJV.

5.对数的性质与运算性质

(1)对数的性质：108“1=。,10'解=1，"08/=良(4>。，且4/1声>0).

⑵对数的运算性质

如果>0,且e1,M>0,N>0,那么：

①loga(MN)=log“M+lo/N；

②log年=log”"一]og“N；

③log"=川0gMseR).

⑶对数换底公式：唾,力=产(。>0,且。划；核>0；c>0,且c关1).

logca

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打或"X”)

⑴花铲=-4.(X)

(2)若则lo&Mulogj*X)

(3)2巴2』2叱(X)

(4)lg2+lg5=l.(7)

2.(多选)下列运算正确的有()

A.lg24-lg3=lg5

B.log；l00=10log310

C.410g45=5

D.logj41og43=l

答案CD

解析1g2+lg3=lg6,故A错误；

Iog3100=21og310.故B错误；

4sg45=5,故c正确；

log3410g43=1,故D正确.

3.若加=亲。>0且。关1),则log(等于()

A弓B.2/D.5

答案C

解析由欣=表得log卷=|,

•••I。&僖)2=7.210磷W，

2

l0

4.27i-F4^3-ig5-lg2=.

答案11

解析27?+41°以3Tg5-lg2=(33)^+3-(lg5+lg2)=32+3~lg10=9+3—1=11.

1.灵活应用化简指数鼎常用的技巧

⑴$=(步加>0)

m

(2)〃=(am)fam=(a码"(式子有意义);

(3)1的代换，如1'«(«>0),1~a~a^(a>0)^；

（4）乘法公式的常见变形，如3+网3—匕5）=。一伙〃力＞0）,

（Q5±成）2=。±2。访5+伏〃力＞0）,

112112

（加+房）（Q讦加捷+b3）=a±b（a,b＞0）.

2.谨防两个失误点

（1）凡涉及对数,其真数与底数的取值范围一定不能忽略.

（2）在使用运算公式时，注意指数和对数中的和积之间的转化.

题型一指数运算

例1（1）（多选）下列各式正确的是（式中字母均是正数）（）

A.ae=VQ2

B.Va*=6Z

C.（6短）6=36

D.a-3=­Va2

答案ABC

解析对于A,a%=a5=故A正确；

对于B,V^=|a|二a，故B正确；

对于C,（6及）«=6«x及=62=36,故C正确；

对于D,a~=3=端方，故D错误.

（2）（多选）下列运算正确的是（式中字母均是正数）（）

A.0.25i4-（Vn）0-2*=0

B©尸—管）"+（0.008）4xA+（^-1）0=1

C.（2\，a2-VS）（~6Va-VF）4-（—3VaVF^）=I

D.若S+*=倔贝小=；

x72+xK-223

答案BD

解析对于A,0.25»+（诉）。-2「=0.5+l-1=1,A错误；

对于B，管户一管）°S+（0.008）qx表+（兀一］）。=61号+（「，表+匚g_g+25X*+］蒋一/

2=1,B正确；

对于B，得尸=G)g=押B正确；

对于C,x=lne"，故C正确；

对于D,Q82+ln(lne)=21°g26+ln1=6+0=6,故D正确.

⑵(多选)(2025•焦作模拟)下列等式成立的是()

A】g2Tg5Tg8[

•lg50-lg40

B怆4+电5-1―2

"2lga5+lg8

7.

C.lgI4-21g-4-lg7-lg18=0

J

D.(lg2)24-lg2・lg5+lg5=2

答案AC

解析喘鲁誉=^=1，A成立；

lg50Tg40lg^

Ig4+lg5—l_植20-1_1+电2-1_|木甫立.

2lg0.5-lg8lg0.25+lg8lg2'个成'

lg14-21g-+lg7-lg18=(lg7+lg2)-(21g7-21g3)+lg7-(21g3+lg2)=0,C成立；

(lg2f+lg2-lg5+lg5=lg2(lg2+lg5)+lg5=lg2+lg5=1,D不成立.

思维升华解决对数运算问题的常用方法

(1)将真数化为底数的指数幕的形式进行化简.

(2)将同底对数的和、差、倍合并.

(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用.

跟踪训练2(1)(多选)设a,b,c均为不等于1的正实数，则下列等式中不成立的是()

A.logabIogM=log<〃

B.logablogc人=logM

C.loga(/?+c)=log")=log«c

D.logaSc)=log/・log〃c

答案BCD

解析对于A,log/Joga=翳黑=黑=】ogc4,故A正确;

对于BJog“"log,/?=警咨而log,〃=臀故B错误；

】gQIgeIge

对于C,若Iog«S+c)=log“/?=log“G则/?+c=〃=c,故〃=c=0,显然不符合要求，故C错误；

对于D,log〃3c)=log“b+log〃G故D错误.

（2）（2025•八省联考）已知函数、心）=，3>0,〃#1）,若4112*n4）=8,贝I」”.

答案e

解析加2）fl\n4）=a,n2a,nWn2+,n4

="3ln2=（QE2/=8,

.,.«ln2=2,.*.«=e.

题型三指对运算的应用

例3（1）（2024.重庆模拟）在经济学中，常用Logistic回归模型来分析还款信度评价问题.某银行统计得到

o-0.9740.127X

如下Logistic模型：P（i）=----，其中竹是客户年收入（单位:万元）,P（x）是按时还款概率的预测

值，如果某人年收入是10万元，那么他按时还款概率的预测值大约为（参考数据：In1.35。0.3）（）

A.0.35B.0.46C.0.57D.0.68

答案C

…一^-0.97+1.271

解析由题意得InL35R.3,所以e°%L35,所以汽⑼=二-。“»7=7^^

⑵（2024・贵阳模拟）电动汽车逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向.1898年Peukerl提出铅酸电池的容

量C（单位：Ah）、放电时间《单位：h）和放电电流/（单位：A）之间关系的经验公式：。=力，其中2为与

蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为7.5A时，放电时间为

60h；当放电电流为25A时，放电时间为15h,则该蓄电池的Pcukcrt常数7约为（参考数据：1g

2~0.301,1g3^0477）（）

A.1.12B.1.13C.1.14D.1.15

答案D

解析由题意知C=7.5;X60=25;X15,

所以圜：符号=4

两边取以1（）为底的对数.得理三=2怆2,

所以4年招5.]5.

1-Ig31-0.477

思维升华利用指数、对数运算解决实际问题时认清所给函数模型、变量、参数.利用待定系数法确定参数

的值，然后解决问题.

跟踪训练3(1)苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中,为了简化其中的大数之间的计算而发明了

对数.利用对数运算可以求大数的位数.已知lg5H.699,则231是()

A.9位数B.10位数

C.11位数D.12位数

答案B

解析记23i=M,

则31Xlg2=lgM,

fli］lg.W=31X(l-lg5户9.331,

则M-1O9-33,G(1O9,1O10),

故231是10位数.

(2)(2024.恩施模拟)区块链作为一种革新技术,已经应用于许多领域，在区块链技术中，若密码的长度设定

为256比特,则密码一共有2256种可能，因此为了破解密码，最坏情况需要进行22%次运算.现在有一台机器,

每秒能进行2.5X10"次运算，假设机器一直正常运转,那么在最坏情况下这台机器破译密码所需的时间

大约为(参考数据：lg2M.301,10°6'%4.5)()

A.4.5X1065秒B.4.5X1085秒

C.4.5X10"秒D.4.5X10,秒

答案A

解析由题意知所需时间/秒)，

X1U

Alg/=256lg2-(lg2.5+11)

=2561g2—(lg?+11)=2581g2—12=65.658,

，4IO。〉。涧=1()938X10叫秒).

课时精练

［分值：90分］

知识过关

一、单项选择题（每小题5分洪30分）

1.下列各式正确的是（）

A.J（-3）2二一3BJogB4=21ogM

C.V22=2D.aD°=l

答案C

解析J（-3）2=3,故A错误；log]=21og21M故B错误；7^=2.故C正确；a°=1,当aHO时成立.故D错

误.

2.21+加6々等于（）

A.4B.6C.8D.10

答案B

1

解析因为log\,Q/5=3^=log23,所以21+1°且企旧=21+10823=2乂210823=2乂3=6.

log222

3.若2A=1,lg2W.3U1,则x的值约为〔）

A.1.322B.1.410C.1.507D.1.669

答案A

解析因为2'=1,lg2-0.3015

所以_|5-怆5-馆2_l-21g21-2x0.301^

所以二r一1唯5一一-------。・3。1~1322・

4.（2024•武汉模拟）已知ab#1,1。&〃?=2/。潦〃?=3,贝1]4gtl西z等于（）

A.-B.：C.-D.；

6565

答案D

解析由换底公式得.1以以=氤=3哂疝=氤=*

所以唯加〃=蕨岛=1

5.数学家欧拉研究调和级数得到了以下的结果：当工较大时,1+：+：+…常数7=

0.557…）.利用以上.公式，可以估算++壶+…+熹的值为（）

A.ln30B.lnB3

C.-In3D.-In30

答案B

解析依题意可得1+/：+•••+表/300+%

+-----F—~ln1004-y,

两式相减可得」-+—d-----F—~ln300—In100=ln3.

101102300

6.（2024.大连模拟）本福特定律指出，一个没有人为编造的自然生成的数据（为正实数）中，首位非零的数字是

卜9这九个事件并不是等可能的，而是大约遵循这样一个公式：随机变量^是一个没有人为编造的首位非零

数字，则P（”攵）=但（1+以（攵=12…,9）,则根据本福特定律，在一个没有人为编造的数据中，首位非零数字是

8的概率约是（参考数据：1g2-0.301,lg3=0.477）（）

A.0.046B.0.051C.0.058D.0.067

答案B

解析由题意可得P(<=8)=1g-=1g9-1g8=21g3-31g2-2X0.477-3X0.301=0.051.

8

二、多项选择题(每小题6分，共12分)

7.下列判断正确的有（）

A.3(3—11)4=%一3

B.lnzn-ln〃=ln(/n+〃)(其中zn>0,〃>0)

C.JQ•{a•6=成(其中«>0)

】Iogi3

D.27-i=22

答案ACD

解析对于A,V(3-TT)4=|3—n|=7r—3,A正确；

对于B,由对数性质可知ln（7w/z）=lnm+lnz?,B错误；

111logi3、、i11logi3

对于D,27-W=(33)W=3r=£22=2-^=^^-1=%,D正确.

8.以下运算中正确的有()

A.若lg3="i,lg2=〃^iJlog518=W"K

1-71

B.[(l-V2)2p-(1+V2)-1+(14-V2)°=3-2V2

C.Q)-2-21n(lnee)=7

D.log231og94=2

答案AC

解析对于A,logsl8=^=隼手=笔乎=卓=故A正确；

Ig51-Ig21-Ig2l-n

对于比[(1_&)20_(1+或)-1+(1+际。=a_]_备+1=或_^^^=或+|一或=1,故13

错误；

对于C，(1)-2-2In(lnee)=9-2lne=9—2=7.故C正确；

对于D,log23Jog94=log23•譬芸=log23•丁J=1,故D错误.

•Og29210g23

三、填空题(每小题5分，共1。分)

9d+1性75现32+2-1崎3=.

答案；

4

解析住）-'+1密41陪2+2-呜3=（|广（-5）

,O82

4-；log23-log324-2l=1+：+[=*

10.(2024•荆州模拟)已知脸我|=*2岳=i=嘀10加=今则嗝1­("也…"向=

答案y

r-Vz

解析因为bgaM=loga2,22-=logQ]0"0=学则bi=a^(/=1,2,3,—,10),

匹匹三V2

Ig(bib2“.bio)lg(aj…%些)lg(q1a2...q10)2_V2

所以logaiQ…。10Sib?…bio)=

收(。1。2“。10)版(。1。2…do)lg(aia2...aio)2'

四、解答题（共27分）

11.(13分)计算下列各式的值：

_2

⑴(-3『+0.0024一10乂(遥-2尸+(或-百)。；(6分)

l,1

(2)(log.a+log92)(log43+log83)-el(7分)

_2

解⑴(-3§3+0.0024-10X(V5-2)-1+(V2-V3)0

,21

=("X®心岛尸一卷+1

=(1)3x(一，+5005-10X(75+2)-1-1

=-+IOA/5—10V5—20+1——

99

(2)。092+Iog92)(log43+logs3)—eln*

=(log32+|log32)Qlog234-^log23)一：

=^log32X-log23--=^X-Xlog32Xlog23--=---=0.

26426444

O25

12.(14分)已知P=8XV2+管]一(一2024)°,0=21og32-log3^+log38.

(1)分别求P和Q;(8分)

⑵若2a=5h=in,R-+]=Q,求〃M6分)

ab

i

解(1)P=8025XV2+(^)3-(-2024)°

1|73\31W

二(8X2》+(I)-1

Q=2]og32-log3^+Iog38=log3(4+?x8)=log?9=2.

(2)因为2a=5b=m>0,

所以“=10g2〃?.〃=10gs〃Z.

由换底公式得(=log,„2,1=log„,5，则机W1,

则!+i=log,n2+log,n5=log,„10,

由于｝+£=。,故log,J0=2,

所以jn=VT0.

IKf能力拓展

13题5分,14题6分洪11分

13.(2025・连云港模拟)19世纪美国天文学家西蒙・纽康在翻阅对数表时，偶然