垂直于弦的直径（基础知识专项突破）

专题24.2垂直于弦的直径

目录

一.知识梳理与题型分类精析.......................................................1

活动探究1：..........................................................................1

知识点1：圆的轴对称性...............................................................1

【题型1】圆的轴对称性...............................................................2

知识点2：垂直定理...................................................................3

【题型2】利用垂径定理求值...........................................................3

【题型3】利用垂径定理证明...........................................................4

知识点3：垂直定理的推论.............................................................6

【题型4】利用垂径定理推论求值证明..................................................6

知识点4：垂直定理的应用.............................................................7

【题型5】利用垂径定理推论求值证明..................................................7

二.同步练习.......................................................................8

【基础巩固（16题）】................................................................8

【能力提升（16题）】...............................................................14

【中考真题6题】....................................................................21

一.知识梳理与题型分类精析

如上图，我们如何来测出这个石拱桥的半径呢？我们可以把拱桥看成的一部分，本专题我们就来研

究如何测量石拱桥的高和半径.

活动探究1;

如上图沿圆心的直径所在直线折叠一次圆的纸片，发现两旁部分能互相重全，再折叠一次，我们就

找到了圆形纸片的圆心.这样我们就得到了；

知识点1：圆的轴对称性

圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.

【题型1】圆的轴对称性

【例题1】求证：圆是轴对称驾形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.

S是/VT的垂直平分线，即圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线所在的直线是它的对称轴.

图1

【变式】（2425六年级上•河南商丘・期中）圆是轴对称图形，它有一条对称轴，每条对称轴都是

这个圆的一所在的直线.

【答案】无数直径

【分析】本题考查了轴对称图形"如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重

合，那么这个图形叫做轴对称图形.这条宜线就是它的对称釉.〃，熟记轴对称图形的定义是解题关

键.根据轴对称图形的定义即可得.

解：圆是轴对称图形，它有无数条对称轴，每条对称轴都是这个圆的直径所在的直线.

故答案为：无数；直径.

【例题2】证明：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.

已知：如图，A8是0。的直径，CD是的弦，.

求证：.

证明：___________

【分析】根据命题，补全条件、结论以及推导过程即可;

解：已知：如图，A8是团。的直径，是团。的弦，

这样我们就得到了一个重要的定理:

知识点2：垂直定理

垂直于弦的直径平分弦.并且平分弦所对的两条弧.

【题型2】利用垂径定理求值

【例题3】【课本源题】如图，在00中，弦AB的长为8cm,圆心0到AB的距离为3cm,求00

【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，掌握垂径定理成为解题的关键.

解：如图，连接0C.

A

BC

团。是AB的中点，

即。为AC的中点.

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，垂径定理等知识，解题的关键是:

【例题5】求证：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.

己知：如图，在。。中，AA是非直径的弦，C。是直径，且C。平分A4,并交A8于点M,

C

D

ElCD是直径,

知识点3：垂直定理的推论

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

【题型4】利用垂径定理推论求值证明

【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形的中位线定理；熟练掌握垂径定理的推论：：平

分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦是解题的关键.

解：连接OC，如图：

团点石是8C的中点,

设。。的半径为广，

C

解：•.•点是弧AC的中点,

设圆的半径为R,连接0。,

解：如图，连接04，设圆的半径为广;

团。是0。中弦AB的中点，

知识点4:垂直定理的应用

垂径定理在建筑、测量、机械等领域广泛应用，关键是将实际问题中的“弧形结构”（如

拱桥、管道、轮子）抽象为圆，“跨度”“水深”等抽象为弦长或弓形高.

【题型5】利用垂径定理推论求值证明

【答案】24

故答案为：24.

【答案】B

设主桥拱半径为/?m,

故选：B

【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理，解题的关健是熟练运用垂径定理.

先作辅助线，利用垂径定理求出半径，再根据勾股定理计算.

二.同步练习

【基础巩固（16题）】

一、单选题

1.（2526九年级上•全国•周测）如图，在0。中，。。的半径为4,圆心到弦A3的距离0。为2,

则弦的长是（）

C.473D.4

【答案】C

【分析】本题主要考杳了垂径定理和勾股定理,掌握垂径定理的内容是解题的关键.

故选：C.

A.2.5B.2C.1.5D.1

【答案】B

故选：B.

A.5B.8C.12D.13

【答案】D

解：连接Q4,

9C.66D.6x/5

【答案】C

【分析】本题考查的是垂径定理，勾股定理，理解垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的

两条弧是解答关键.

【分析】本题考查「勾股定理，垂径定理，利用勾股定理求出人。，再根据垂径定理解答即可求解,

掌握以上知识点是解题的关键.

故选：D.

二、填空题

【答案】5

【分析】本题主要考查了垂径定理的推论，勾股定理，解一元一次方程等知识点，熟练掌握垂径定

理的推论及勾股定理是解题的关键.

解：如图，延长CO到圆心0,连接04,

【答案】8

解：如图，连接OC,

故答案为：8.

10.（2425九年级上•黑龙江绥化•期中）00的半径为5,两条平行弦的长为6和8,则这两条弦的

距离为.

【答案】7或1/1或7

解：分为两种情况：①当A8和C。在。的同旁时，如图1,

图1

即A8与CO的距离是1或7.

图2

【答案】2

【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题关键是利用勾股定理求出待求线段.

根据垂径定理，先利用勾股定理求出OC,再求出C。的长.

图2

三、解答题

A

【答案】证明见分析

【分析】本题主要考查了垂径定理、全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造直

【答案】上

16.（2025•河北秦皇岛•一模）如图1,某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门

打算在喷泉周围设置一圈防护栏现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如下:

信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以。为圆心，R为半径作防护栏所在圆.请根据以上信

息解答下列问题

（1）求喷泉的半径；

（2）要在防护栏上每隔1.5米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（4取3,结果保留

整数）

图1图2

【答案】（1）喷泉的半径为5米；（2）大约需要安装24盏景观灯

【分析】本题主要考查勾股定理、垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键;

答：喷泉的半径为5米；

答：大约需要安装24盏景观灯.

【能力提升（16题）】

一、单选题

O

AB

A.8B.12C.16D.20

【答案】C

故选C.

【答案】D

「•圆心在。。上，

设圆心为。点，连接。4,如图,

【答案】D

D

在。。中，

故选：D.

【答案】D

解：分圆心在内接三角形内和在内接三角形外两种情况讨论,

由题意可知，E,P,M,N,。五点共线,

团支架劣弧A8所在圆的半径是5cm.

【答案】B

延长80与团。相交于点G,

故选：R.

【点拨】本题考查了勾股定理、垂径定理、矩形、两点之间线段最短的知识；解题的关键是熟练掌

握勾股定理、垂径定理、矩形、两点之间线段最短的性质，从而完成求解.

二、填空题

【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的

关键.

根据题意画出图形，再根据勾股定理求出点仄C的坐标即可.

本题考查了垂径定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

解：连接。4,

故答案为：1.5.

E

a

【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，三角形中位线的应川,用了方程思想，解题的关键是熟

练掌握相关的定理和性质.

连接航.

D

【答案】8

力仁/

故答案为：8.

A\

【答案】2G

【分析】本题考查的是翻转变换的性质、垂径定理.，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形

的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键.

故答案：2G.

【答案】见分析

14.（2425九年级上・甘肃张掖•期末）如图，有一个圆形花园，圆心A处为一观光亭，8c是一条横

穿圆形花园的小路，与圆形花园的外围栅栏交于。、E两点，且两端点8、C与观光亭A距离相等.现

在要从观光亭A向小路8c修一条小路A尸，使A尸垂直于8C,与小路交于点〃，与外围栅栏交于点

【答案】（1）见分析；（2）花园的半径为50米

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂径定理，勾股定理.

(2)连接A。，设OA的半径为r米，利用垂径定理结合勾股定理列式计算即可求解.

(2)解：连