高考数学一轮复习 一元函数的导数及其应用 重难点突破03 原函数与导函数混合还原问题 （十三大题型）解析版

重难点突破03原函数与导函数混合还原问题

目录

题型一:利用短7Q)构造型

题型二：利用构造型

xn

题型三：利用构造型

题型四：用喟■构造型

题型五：利用sinx,tanx^jf(x)构造型

题型六：利用cosi与/(1)构造型

原函数与导函数混合还

原问题题型七：复杂型：陵与a/Q)+bg㈤等构造型

I题型八：复杂型：(生r+b)与/(k)型

题型九：复杂型：与ln(依r+b)结合型

题型十：麓杂型：基础型添加因式型

题型十一：复杂型：二次构造

题型十二：综合构造

题型十三：找出原函数

方法技巧总结

1、对于xff(x)+/(x)>0(<0),构造g(x)=x•/(x),

2、对于xf\x)+kf(x)>0(<0),构造g(x)=xk-f(x)

3、对于“(幻-/*)>0(<0),构造以外=幺

x

4、对于—4(x)>0(<0)，构造且(幻=绰

X

5、对于广⑶+/(%)>o(<0),构造g(x)=e「/(x),

6、对于/'(x)+0(x)>0(vO)，构造&(©=*•/(x)

7、对于r(x)-/O0(<0),构造g(x)=券,

(V。)，构造身。)二等

8、对于/'。)-4。)>0

9、对于sinX•/'(•¥)+cosx-f(x)>0(<O),构造g(x)=f(.r)-sinx,

10、对于sin.r.f\x)—cosx-f(.r)>0(V0).构造g(x)=

sinx

11、对于cosrf'(x)-sinx-/(x)>0(<0),构造g(x)=f(x)-cosx，

12、对于8srr(x)+sinx・/(x)>0(<0),构造身(x)=3

cosx

13、对于八力一/0)>&(<0),构造g(x)=e'"(x)-灯

14、X'JTf\x)Inx+>0(<0),构造g(%)=lnx/(x)

x

15、r(X)+C="(X)+G¥f；r(x)+g'(x)="(x)+g(x)]'；r(x)-g'(x)="(x)-g(x)]'；

16、r(x)g(x)+/(x)g'(x)=[f(x)g*)]';/'⑴』)7(x)g3=[阴]，.

g~(x)g(x)

必考题型归纳

题型一：利用x”/(x)构造型

例1.(安徽省马鞍山第二中学2022-2023学年高三上学期10月段考数学试题)已知人工)的定义域为(0,+?),

/'(%)为/*)的导函数，且满足/⑺则不等式〃]+1)>(X-1)/卜2-1)的解集是()

A.(0,1)B.(2,+?)C.(1,2)D.(1,+?)

【答案】B

【解析】根据题意,构造函数y=步意),xe(0,-boo),则.y'=/(x)+V(K)<0,

所以函数y=V(-v)的图象在(o,+/)上单调递减.

又因为/(x+l)>(x—1),所以为+l)”x+l)>¥T/y—l),

所以Ovx+lcf-i,解得x>2或XV-1(舍).

所以不等式/(x+l)>(x-的解集是(2,y).

故选:B.

例2.(河南省温县第一高级中学2022-2023学年高三上学期12月月考数学试题)已知函数/(%)的定义域

为(0,xo),且满足/'(刈+矿(x)>0(/彳可是/(x)的导函数)，则不等式的解集

为()

A.(-<»,2)B.(1,-KO)C.(1,2)D.(-1,2)

【答案】C

【蟀析】令g(%)=」a),则g'(")=/a)+")>o,即鼠刈在(o,长。)上递增,

又上+1>0,则(x—等价干(丁_1)/(\2_])<*+1)/*+1),即g(f—Dvg*+D.

x2-l>0

所以「+1>0,解得lvx<2,原不等式解集为(1,2).

x2-I<x+l

故透:C

例3.(黑龙江省大庆实验中学2023届高三卜学期5月考前得分训练(三)数学试题)已知函数/(x)的定

义域为(0,+8),/(力为函数/(工)的导函数，若f为(力+功(力=1,/(1)=0,则不等式/Q-3)>0的解

集为()

A.(0,2)B.(log23,2)C.(log23,+^o)D.(2,+oo)

【答案】D

【解析】由题意得，.『aH/ah,，

X

即(.叫'=(lnx+c)\

所以与(%)=hu+c,即外力=叱+£,

*XX

又"1)=0,所以c=0,故/(力=皿，

X

(。)=匕牡=0,可得x=e,

x~

在(oe上，八幻>0,〃x)单调递增；

在(e,«Q)上，/'(x)<0,/(幻单调递减，

所以fM的极大值为/(e尸-.简图如下:

所以f(x)>。，2V-3>1,x>2.

故选：D.

变式1.(2023届高三第七次百校大联考数学试题(新高考))已知定义在R上的偶函数y=/(x)的导函数

为y=/'(x),当x>0时，且"2)=1,则不等式/(2x-l)<3的解集为()

x2x-1

B.(同

【答案】C

【解析】当x>0时，")+小)>0,所以当x>0时，4'(*+/(力>0,

x

令尸(X)=M(X),则当x>0时，/(力=靖(工)+)(">。，

故F")=.炉⑴在(0,转)上单调递增，

乂因为y=/(x)在R上为偶困数，所以外刈=犷(可在R上为奇困数，

故尸(x)=MXx)在R上单调递增，因为“2)=1,所以尸(2)=2f(2)=2,

1O

当工时，/(2工一1)<—可变形为(2x-l)/(2x-l)<2,即尸(21-1)<尸(2),

因为尸(同二叶(同在R上单调递增，所以2工一1<2,解得x<"|,^1<x<|；

2

当时，〃2x—1)<彳—可变形为(2x-l)/(2x-l)>2,即尸(2x-l)>尸(2),

22x—1

因为*x)=4(x)在R上单调递增，所以2x-l>2,解得故无解.

综上不等式/(2x-—2的解集为,1亍3；、.

ZfX-111乙)

故选:C.

变式2.(四川省绵阳市盐亭中学2023屈高三第二次模拟考试数学试题)已知定义在(0,+00)上的函数“力满

o3

足2V(“+//，(力〈0,/(2)=4,则关于x的不等式■的解集为()

4x

A.(0,4)B.(2,-HX))C.(4,-KO)D.(0,2)

【答案】D

【解析】令力(x)=x7(x),则〃㈤=2V(x)+fr(x)<0,所以〃(力在(0,长。)单调递减,

不等式/(力>5可以转化为/〃力>4、：=22/(2),即〃(”>旗2),所以0<x<2.

故选:D.

变式3.(河南省豫北重点高中2022-2023学年高三下学期4月份模拟考试文科数学试题)已知函数””的

定义域为(。，+司，其导函数是门x),且2〃力+矿(x)>x.若"2)=1,则不等式3〃x)7—二>0的解

X

集是()

A.(0,2)B.(2,+oo)

C・传)D.你杵)

【答案】B

【解析】构造函数双力=//(到4%3,其中%>0,

,

则/(工)=26工)+打3一f=x^2f(x)+^(.x)-x~\>0,

|QA

故函数g(x)=xRx)-y3在(0,+句上为增函数，且g(2)=”⑵J",

因为x>0,由3/(x)-x-g>0可得即g(x)>g(2),解得X>2.

AJJ

故选:B.

变式4.(广西15所名校大联考2023届高三高考精准备考原创模拟卷(一)数学试题)已知/(x)是定义在

R二的偶函数，其导函数为r*)J(—1)=4,且3/(X)+4'W>3,则不等式/(x)<1+2的解集为()

x

A.(^o,-l)u(l,+oo)B.(-l,0)U(0,l)C.(0,1)D.(l,+oo)

【答案】C

【解析】设g(X)=//(x)一总

则g(x)在R上为奇函数，且晨0)=0.

又g'(x)=3x\f(x)+x3f\x)-3x2=x2[3f(x)+矿(x)-3],

当x>()时，g'(x)>0,所以g(x)在(0,+»)上为增函数,

因此g(x)在R上为增函数.

3

又f(-l)=/⑴=4,当x>0时，不等式/(x)vl+弓•化为“3/(肘一，<3,

即g(x)<g⑴，

所以0<柒v1；

当”<0时，不等式+j化为只/3>丁+3,即g(x)>3=g(l),

解得K>1,故无解，

故不等式f(x)<1+j的解集为((),1).

故选:C

【解题方法总结】

1、对于#'(x)+f(x)>0(vO),构造g(x)=x/(x),

2、对于xf\x)+kf(x)>0(<0),构造g(%)=/•/(x)

题型二：利用出构造型

例4.(河南省信阳市息县第一高级中学2022-2023学年高三上学期9月月考数学试题)已知定义在(0,+?)

的函数“X)满足：V.re(O,-Kx)),/(x)-^(.r)<O,其中.盟1)为了⑴的导函数，则不等式

⑵—3)/(x+1)>(x+l)/(2x—3)的解集为()

A.■1,4)B.(4,”)

C.(-1,4)D.(F4)

【答案】A

【解析】设==f(”,

因为Vx«0,+oo)J(x)-矿(x)<0,

所以在(0,+?)上蛆x)>0,

所以g(x)在(0,+?)上单调递增,

由已知，/(x)的定义域为(0,+?),

所以x+l>0,2x-3>0,

所以(2x—3)〃x+l)>(x+l)/(2x—3)等价于巫由>坐

x+12x-3

即g(x+l)>g(2x—3),

x+1>0

3

所以2x-3〉0,解得六4<4,

x+l>2x-3

所以原不等式的解集是.

IZ/

故选：A.

例5.已知定义域为⑶后期的偶函数心),其导函数为f(x)f对任意正实数x满足疗(戈)>2仆),若gix)="，

X

则不等式g(X)Vg(D的解集是()

A.(—8,1)B.(-1,1)

C.(-co,O)U(OJ)D.(-|,0)U(0,l)

【答案】D

【解析】因为/&)是定义域为｛中子0｝的偶函数，所以次—x)=/U).对任意正实数x满足

所以十

因为&*)=」詈，所以g(%)也是偶函数.

当i£(0,+oc)时，g，(x)=/'(x)；2/(x)>o

X

所以g(x)在(0,+oo)上单调递增,在(一8,0)单调递减,

若g(x)vg(l),则MV1(*O),解得04V1或一14<0,

故g(x)vg⑴的解集是(一l,0)U(0,l),

故选：D

例6.(江苏省苏州市2023届高三下学期3月模拟数学试题)已知函数“X)是定义在R上的奇函数，/⑵=0,

当工>0时，有M"(x)-/(x)>0成立，则不等式MX">。的解集是()

A.(―oo,—2)u(2,+8)B.(―2,0)<J(2,+8)

C.(―oo,—2)D(0,2)D.(2,+8)

【答案】A

【解析】才⑺>0成立设屋力=四,

=r(x)L)>o,即x>。时&(外是增函数,

则/(%)=

X2

当H>2时，g(x)>g⑵=0,此时〃x)>o；

0cx<2时，g(%)vg⑵=0,此时/(x)<0.

又f(x)是奇函数，所以一2Vx<0时，/(%)=-/(-%)>0；

XV-2时/(x)=>0

则不等式x/(x)>0等价为"吃°或・

可得x>2或x<-2,

则不等式.矿3>()的解集是(y,-2)52,+8),

故选：A.

变式5.(西藏昌都市第四高级中学2023届高三一模数学试题)已知函数/(x)是定义在(-卜,0)(0,+?)的

奇函数，当xe(0,+8)时，才(x)</(x),则不等式V(2T)+(X—2)/(5)V0的解集为()

A.(-oo,-3)v(3,+oo)B.(一3,0)5。，3)

C.(-3,O)cy(O,7)D.(f-3)0(2,7)

【答案】D

【解析】令g(x)二以立，

X

,:当。£(0,+8)时，婷(x)v/(x),

・•・当K«0,+8)时，go"：；"%,

g(x)在(0,4-00)上单调递减;

又FW为(-卜，0)(0，+?)的奇函数，

.：g(T尸&D=2H=/LD=g(x),即g(x)为偶函数，

f-AX

・•.g(x)在(70,0)上单调递增;

又由不等式3(2T)+(X-2)/⑸<0得3(2-X)V(2T)/(5),

当2—x>0,即xv2时，不等式可化为‘」一“〈"1,即g(2—x)vg(5),

2-x5

由g(x)在(0，+8)上单调递减得2-x>5,解得x<-3,故人<-3；

当2-“。，即、>2时，不等式可化为‘G-X)>丝1，即g(2—x)>g(5)=g(—5),

2-x5

由8(”在(f，。)上单调递增得2-/>一5,解得x<7,故2Vx<7；

综上所述，不等式T(2-x)+(x—2)〃5)<0的解集为：(—―3)〃2,7).

故选：D.

【解题方法总结】

1、对于x-/'(x)—/(x)>0(<0),构造g(x)二九2,

2、对于x・r(x)—©V)>0«0),构造g(x)=华

题型三：利用*/(x)构造型

例7.(河南省2022-2023学年高三上学期第五次联考文科数学试题)已知定义在R上的函数/(力满足

/5)+r(x)>。，且有43)=3,则”x)>3e3T的解集为()

A.(3,+cc)B.C.(f3)D.(-oo,l)

【答案】A

【解析】设/(x)=/(x"x,则门x)=r(”C+/(x).e、=e[/a)+r(x)]>0,

・・・/(x)在R上单调递增.

又"3)=3,则/(3)=/⑶看=城.

If(x)>3e=等价于/(x)ex>3e3,即F(x)>F(3),

・••义>3,即所求不等式的解集为(3,+8).

故选:A.

例8.(河南省2022-2023学年高三上学期第五次联考数学试题)已知定义在R上的函数/(“满足

1/W+rw>o,且有/⑴=g,则2〃力>苫的解集为()

A.(y,2)B.(l,+oo)

C.(-oo,l)D.(2,-KO)

【答案】B

【解析】设外力则尸3=r(x)+1(x)A=Ai/(x)+r(x)>o,

所以函数尸(X)在K上单调递增，又"1)=5,所以F⑴=./"⑴

[一x与12.

又2/")■等价于即尸(">产⑴，所以x〉l，

即所求不等式的解集为(1,+8).

故选：B

例9.(广东省佛山市顺德区北洛镇莘村中学2023届高三模拟仿真数学试题)已知尸(“是函数

)，=/("(xeR)的导函数，对于任意的xeR都有f'(x)+f(x)>l,且"0)=2023,则不等式

e'/(x)>e，+2022的解集是()

A.(2022,田)B.(t,0)52023,+。)

C.(-co,0)u(0,4oo)D.(O,+8)

【答案】D

【解析】法一：构造特殊函数.令，(x)=2O23,则r(x)+/(x)=2023>l满足题目条件，把/(力=2023代

入ev/(x)>ex+2022得2023eT>er+2022解得x>0,

故选：D.

法二：构造辅助函数.令g(x)=eY(x)—e*,则<(x)=e、(/(x)+r(x)T>0,

所以g(x)在R上单调递增，

又因为g(0)=/(0)-l=2022,所以e"(x)>e'+2022og(x)>g(0),所以x>0,

故选：D.

变式6.(宁夏吴忠市2023届高三一轮联考数学试题)函数/(X)的定义域是R,"0)=2,对任意xwR,

y(x)+r(x)>i,则不等式:的解集为()

A.{小>0}B.{x\x<0}

C.{x|x<-lngx>1}D.{x|x<-lng()<X<l}

【答案】A

【解析】构造函数g(x)=e/(x)-e，T,则g(0)=/(0)-2=0,

，(x)=e[/(x)+rW-l]>0,则函数g(x)在R上单调递增，

由eJ/(x)>e'+l可得g(x)=e，/(x)-e，-l>0=g(0),可得x>0,

因此,不等式ev«/W>er+l的解集为{x\x>0).

故选：A.

【解题方法总结】

1、对于八x)+/(x)>。(<0),构造g(x)=e，/(x),

2、对于广(力+33>0(<0),构造g(x)=*./(x)

题型四：用等构造型

例10.(安徽省六安市第一中学2022-2023学年高二下学期期末数学试题)定义在(-2,2)上的函数/(%)的导

函数为广(6,满足：/(x)+?r/(-x)=0,41)=/,且当4>0时，八x)>2/(x),则不等式//(2一幻〈/

的解集为()

A.(1,4)B.(-2,1)C.(1,-KO)D.(0,1)

【答案】A

【解析】令田”=绅，则/g(x)+*e2g(r)=()可得g(x)+g(T)=()

e~

所以8("=呈是(一2⑵上的奇函数，

/⑴=尸⑺--2/"3=/叫2/3

*e~x

当工>0时，/")>2/(x),所以g'(x)>0,

川耳=绚是(0,2)上单调递增，

所以g(x)=q?是(-2,2)上单调递增，

因为4)=鸟4=1，

由rV(2-幻</可得e2xe2(2~x)g(2-^)<e4gpg(2-x)<1=g(1),

f(\[_2<2—x<2

由g")=4上r是(-2⑵上单调递增，可得解得：1VXV4,

vre2-x<\

所以不等式*/(27)</的解集为(1,4),

故选：A.

例11.(广东省汕头市2023届高三三模数学试题)已知定义在R上的函数/(x)的导函数为/"),且满足

/'(x)-/(x)>0,〃2021)=62，则不等式/gln.r卜爪的解集为()

A.(片叫+8)B.(。,/⑶)c.(*2：位)D.(。，泮%)

【答案】D

【解析】令，=1lnx,则工=产，

e

所以不等式上加x卜G等价转化为不等式/")vQ="，即*<I

构造函数g(z)=40,则g，⑴J。)：/"

ee

由题意，g")=/⑴：")〉0,所以g(r)为R上的增函数，

e

又f(2021)=e202l所以g(2021)J(督If,

所以4/)=半<1=8(2021),解得f<2021,BP^lnX<2021,

所以

故选：D.

例12.(陕西省安康市2023届高三下学期4月三模数学试题)已知函数的定义域为R,且对任意xeR,

/。)一/，(“<0恒成立，则e'/G+lAeVQx—)的解集是()

A.(4,+co)B.(-1,4)

C.(f,3)D.(f4)

【答案】D

【解析】设雇“卜斗。，该函数的定义域为R,

则$(x)=f(x)：〃x)〉o,所以g(x)在R上单调递增.

e

由<f(x+l)>e4/(2x—3)可得^Bp^(x+i)>^(2x-3),

又g(x)在R上单调递增，所以x+l>2x—3,解得x<4.

所以原不等式的解集是(9,4),

故选：D.

变式7.(新疆克拉玛依市2023届高三三模数学试题)定义在R上的函数/*)的导函数为,'。)，f(-l)=,

对干任意的实数x均有In3/x)〈广@)成立，且，=/(T)+i的图像关于点(枭1)对称，则不等式

小)-31>0的解集为()

A.(1,+oo)B.(-1,+oo)C.(一8,—I)D.(-oo,I)

【答案】A

【解析】因为y=f(x-；)+i的图像关于点(g,I)对称，

所以丁=/(x)是奇函数，

因为对任意的实数”均有加3./(x)<f\x)成立，

所以对任意的实数%均有ln3/x)-r(x)<0成立，

令雇了人孥，

“八」'(")3'-仆)373/”)-/(机3

则一河"r，

所以g(x)在R上递增，

因为g(l)=孚=/,

又f（x）-37＞0o*_g＞0=攀＞gg（x）＞g（］）,

所以X＞1,

故选:A

变式8.（浙江省绍兴市新昌中学2023屈高三下学期5月适应性考试数学试题）若定义在R上的函数/（%）的

导函数为八幻，且满足了'（X）＞/（。/（2022）=呼，则不等式0向＜五的解集为（）

A.（0,产）B.（0产）

C.仔叱+句D.（e6066,钙）

【答案】A

【解析】由题可设由劝=券,因为/'（力一/（幻＞0,

贝ijF（,v）=r（x）e'："x）e'二八幻-/⑸＞。，

e~xer

所以函数网幻在R上单调递增，

乂产（2022）=\警）=1,不等式Jn［〈近可转化为心1，

eIJ/l|..r

e3

（1、

F-Inx＜1=F（2022）,

（3）

所以glnx＜2022,解得Ovxved66,

所以不等式呜Inx）〈五的解集为（。产）.

故选：A.

变式9.（吉林省长春市吉大附中实验学校2022-2023学年高三上学期第四次摸底考试数学试题）设尸（“是

（\\

函数的导函数，且/'（x）＞3f（x）（xcR）,/-=e（e为自然对数的底数），则不等式/（lnx）＜V的

解集为（）

A.（0,；）B.（；,+8）C.（0,脏）D.（泥,+oo）

【答案】C

【解析】令g（x）=室，则g'（.x）=’（Lx"）'

ee

因为r(x)>3/(x)(xeR),

所以g，3J(x)：V(』)>o,

e

所以函数g(x)在R上为增函数，

/(ln.r)

不等式即不等式<

x>0

又加)=岑2等，

所以不等式/(lnx)<V即为g(ln.r)<gR

即Inxvg,解得Ovx<正，

所以不等式/(lnx)<V的解集为(0.%).

故逃；C.

变式10.(四川省绵阳市南山中学2022-2023学年高三二诊热身考试数学试题)已知定义在R上的可导函数

/(x)的导函数为/'(力，满足门力<〃力,K/(-x)=/(2+x),/(2)=1,则不等式/㈤的解集为

()

A.(f2)B.(2,+co)C.(l,+oo)D.(0,-H»)

【答案】D

【解析】因为/(—x)=/(x+2),所以y=/(x)的图像关于直线」=1对称，所以/(())=/⑵=1,

设g(x)=华，则g(x)/⑴丁⑴,因为/")</(幻，所以gG)='⑸：<0,所以晨幻在R上

eee

为减函数，

又8(。)=/建=1，因为/(x)ve1所以g(x)vl,,g(x)vg(。)，所以x>0.

e

故选：D.

变式11.(山东省烟台市2023届高三二模数学试题)已知函数的定义域为R,其导函数为((力，且

满足r(x)+/(x)=cL/(0)=0,则不等式(e2，-l)f(x)<e」的解集为().

e

(.\\(\\

A.-1,一B.e

\e)

C.(-1J)D.(Te)

【答案】C

【解析】由r(x)+/3=e7得e/(x)+e"(x)=l,即卜"(刈'=1,

可设e"(力=x+m,

当x=0时，因/(。)=0得，〃=0，

所以f(力=疣-',

(e」—l),f(x)ve—"J化为xe-,(e5—1)ve—,

ce

即-xe~x<e--,

e

设展力=把'一人©-",

因g(T)=-ve-'+胧，=g(x),故g(x)为偶函数

g'(x)=ev+Aev+xe~x-。，

当“20时，因xe'+AcfNO,ev-e'*>0,

故/("=er+疣'+疣r-e-x>0,所以g(力在区间［0,+e)上单凋递增，

因膜1)=€-葭，

所以当时93=k-刀尸<0-g的解集为［0,1),

又因g(x)为偶函数,故g(x)<e」的解集为(T1).

e

故选:C

变式12.(江西省九江十校2023届高三第二次联考数学试题)设函数/*)的定义域为R，其导函数为

且满足/(幻>/'*)+1，"0)=2023,则不等式eU)>eT+2022(其中e为自然对数的底数)的解集是

()

A.(2022,+oo)B.(-oc,2023)C.(0,2022)D.(—,0)

【答案】D

【解析】设g(x)=£"，

e

•・•J\x)>/")+>即/V)-/(x)+KO,

・"=以上3<。，

c'

••・g㈤在R上单调递减,又如(0)=2023,

/.不等式eT/(x)>e-+2022o>2022=/(0)-1="°一,

e'e

即g(x)>g(0),：.x<0,

••・原不等式的解集为(-8,0).

故选：D

【解题方法总结】

1、对于小f叱°«0）,构造g”,，

2、对于八x）-V（x）>。«0）,构造以工）=绰

e

题型五：利用sinx、tanx与/（x）构造型

例13.（江西省2023届高三教学质量监测数学试题）定义在区间上上的可导函数/（X）关于）'轴对称，

当¥《0,"时，/'（x）cou>/（x）sin（—x）恒成立，则不等式•/15一11.0的解集为（）

taiiv

n兀

A.

【答案】C

【解析】因为f'（x）8Sx>f（x）sin（T），化简得f'（x）8Sx+/（x）sinx>0,

构造函数"“=四,⑴=re。》欣,

cosxcos-x

即当Kd0,yl时,F（A）>0,F（X）单调递增,

\乙）

即尸（力呜-4）.因为尸（X）为偶函数且在1£（0弓）上单调递增,

九兀、

兀n

所以—<—

22（42）

故选：C.

例14.（天津市南开中学2023届高三下学期统练二数学试题）已知可导函数上的奇

函数.当。彳|时，则不等式x+^()的解集为(

xw/(x)+/'(x)tanx>0,8sx•/+sinx-.fT>0)

IN，I//

【答案】D

【解析】当xe(0,/)时，/(x)+/,(x)tanx>0,则cos见x)+/'(.T)sinx>0

则函数sinM(x)在(0制上单调递增，又可导函数小)是定义在卜卦，上的奇函数

则sinmx)是卜会9上的偶函数，且在(-")单调递减，

可得XW，则X+gw

;乙)乙\L)

(

则XW-*。时,不等式cosx-/J++sinx/(-x)>0

可化为sin|x+勺./卜+卷卜由㈠»/㈠)

又由函数sin虫x)在(0,上单调递增，且*(0,£|,丹枭卜技

则有］>X+'|>T>0,解之得常<X<0

故选：D

例15.函数》=/*)对任意的”T满足x+2/(©+/(x)sin2x=炉"(其中f\x)是函数八#的导函数),

乙乙)

则下列不等式成立的是()

A./用>扃图

c分/图

【答案】D

【解析】令尸(x)=/(x)tanx,

如)=小嗡+小)熹/f(A)sinACOSX+/(A)/*(x|sin2x+2/(x)

cos"x2cos^x

xl

又由已知可得,2f(x)+f(x)sin2x=e--x>0f所以尸(x)20,

所以/")在xe上单调递增

上的奇函数.当工€卜），5时，f（K）+r（x）tanx>0,则不

等式COS.L/fx+1+sinx./（一）>0的解集为（）

<71T[\7T7Cb%。

A.B.C.2^4,D.

【答案】D

【解析】当马时,/(.r)+/,(x)taii.r>0,则cos4(x)+r(x)sinx>0

呜）上单调递增，乂口」导出数小）是定义在

上的奇困效

nn

则上的偶函数，且在卜会0）单调递减,

sin~2f2,

nn7t

——<x+—<—

2227t71

由，,可得xc卜泉oj,则X+

7t71222

——<-X<—

22

f-pO时，小等式cos"x+n

贝1殷4-sinx/(-A)>0

2>

可化为sin1%+5•/1+京>sin(-x)/(-x)

呜）上单调递增，且一e）'x+^e[°寸）,

则有]>x+]>-k>0，解之得一：<工<。

故选：D

【解题方法总结】

1、对于sinx•ff(x)+cosx-f(x)>0(<0),构造g(x)=f(x)-sinx,

2、对于sinx・/”(x)-cosx*/(x)>0(<0),构造g(x)="^

sinx

3、对于正切型，可以通分（或者去分母）构造正弦或者余弦积商型

题型六：利用cosX与f(x)构造型

例16.(重庆市九龙坡区2023届高三二模数学试题

当0"苫时，有r(x)cosx+/(x)sinx>0成立，则关于x的不等式/⑺>2/⑶.cosx的解集为(

)

/\

兀71

B.3,

【解析】构造函数g(x)=3，0«x<1，

cosx2

f(x)cosX-f(x)(cosx)rf\x)cosx+/(x)sinx

gCO=；=；>U

COS-XCOS-X

所以函数在［°封单调递增'

因为函数”力为偶函数，所以函数g*)=/3也为偶函数，

COSX

且函数g(x)=3在!单调递增，所以函数g(x)=△*在(-鼻。〕单调递减,

cosxL2/cosx\2J

因为/e所以cosx>0,

f(x)佃

关干x•ccsx可变为幺」>、),也即g(x)>

71

COSXcoccs—

3

匕IIn

所以g(IN)>呜)，则，解得々-W或

nn3223

—<x<

22

故选:C

例17.已知偶函数f(x)的定义域为，宗9，其导函数为/"),当0<x<］时，有r(x)cosx+/(x)sinx<0

/\

成立，则关于X的不等式/⑴<亚/7・cosx的解集为()

【答案】B

【解析】由题意，设g*)=3,则g'(x)=/(v)8sv4/("smr,

cosxcosX

当0<x后时，因为r(x)cosx+/(x)sinx<。，则有g(t)<0.

所以g(©在(0段)上单调递减，

又因为/(外在上是偶函数，可得g(r)=上「d=d2=g(x),

I22)cos(-x)cosx

所以g(x)是偶函数，

由fM<应/(g］cosX,nJ得""<x/2/(-y),即<..-,即g(x)<)

k47COSX4COSX714

LU〉

4

又由g(%)为偶函数，且在上为减函数，且定义域为则有1封>£,

解得一］<x<一5或；■VXV］，

即不等式的解集为(-1,-?卜仔,'

故选:B.

例18.设函数/(X)在R上存在导数厂(不)，对任意的xtR,有/(汇)+/(-x)=28SX,且在［0,”)上有

f'(x)>-sinx,则不等式/(X)-/?—xNcosx-sinx的解集是()

7T兀7T

A.Y,~7B.C.D.—,+co

46

【答案】B

【解析】设尸(6=〃x)—cosx,

V/(x)+/(-x)=2cosx,gp/(x)-cosx=cosx-/(-x),gpF|x)=-F(-x),故尸(x)是奇函数,

由于函数f(力在R上存在导函数f'(H，所以，函数/“)在R上连续，则函数尸(可在R上连续.

;在［0,+oo)上有/*(x)>-sinx,/.Fr(x)=/*(x)4-sinx>0,

故尸(x)在［(),”)单调递增，

又•・•尸(X)是奇函数，且尸(力在/?上连续，.••尸(X)在R上单调递增,

>cosx-sinx,

/./(x)-cosx>f----x-sinx=

即尸（司2户（、-x）Ax>|-x,故

故选:B.

【解题方法总结