高考数学一轮复习（新高考版）空间向量及其应用

§7.5空间向量及其应用

【考试要求】1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正

交分解及其坐标表示2掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其

坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直4理解直线的方向向量及平面的法向

量5能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.6.能用向量方法证明立体匚何中

有关线面位置关系的一些简单定理.

主干梳理基础落实^

知识梳理

1.空间向量的有关概念

名称概念表示

零向量模为的向量0

单位向量长度（模）为L的向量

相等向量方向相同且模相等的向量a=b

相反向量方向相区且模相笠的向量a的相反向量为一〃

表示空间向量的有向线段所在的直线互

共线向量a//b

相平行或事合的向量

共面向量平行于同一个平面的向量

2.空间向量中的有关定理

⑴共线向量定理

空间两个向量〃与"力NO）共线的充要条件是存在唯•的实数2,使得〃

（2）共面向量定理

共面向量定理的向量表达式：p=xa+）力，其中x,a,力为不共线向量.

（3）空间向量基本定理

如果三个向量a,b,。不共面，那么对空间任一向量p,存在唯一的有序实数组以，y,z},

使得p=xa+）力+zc,{a,瓦c}叫做空间的一个基底.

3.空间向量的数量积及运算律

⑴数量积及相关概念

①两向量的夹角

已知两个非零向量4，b,在空间任取一点O,作万1=0,OB=b,则乙408叫做向量a,b

的夹角，记作(a,b),其范围是0W<«,b)，，若ia,b)岩，则称。与b互相垂电,

记作aVb.

②两向量的数量积

已知空间两个非零向量a,b,则同|力|cos(a,〃〉叫做向量。，力的数量积，记作a力，即。力

=|。||旬cos(a,b).

⑵空间向量数量积的运算津

①(痴).力=2(0力).

②交换律：ab=ba.

③分配律：a・(b+c)=a6+ac.

4.空间向量的坐标表示及其应用

设a=3i，。2，s)，b=(b\,b”bi).

向量表示坐标表示

数量积a，b©力i+a2b2+a由3

共线©=劝],。2=劝2，。3=劝3

ab=0

垂直a也i+。2力+a3b3=0

力关0)

模同q冼+ag+ag

夹角余a,b/______0-+。2岳+。3历

cos〈a,b—同步bW。)cosa，寸司+质屁+员+员

弦值

5.空间位置关系的向量表示

(1)直线的方向向量

直线的方向向量是指和这条直线平行(或在这条直线上)的有向线段所表示的向量，一条直线

的方向向量有无数个.

(2)平面的法向量

直线/_L平面a,取直线/的方向向量，则这个向量叫做衣面a的法向量.显然一个平面的法

向量杓无数个，它们是共线向量.

(3)

位置关系向量表示

八〃/2n\//〃20〃i=幺〃2

直线/],/2的方向向量分别为加，/12

/山2〃]_L〃2Q〃l〃2=0

l//a//±mO/rm=0

直线/的方向向量为〃，平面a的法向量为机

/_Lan//7M<=>n=zm

a//fin//m^n=/jn

平面a,0的法向量分别为〃，小

a邛〃_L=0

【微思考】

1.基向量和基底一样吗？0是否能作为基向量？

提示不一样.基底是指一个向量组，基向量是基底中的某一个向量；因为0与其他两个非

零向量共面，所以。不能作为基向量.

2.用向量法证明空间的线、面垂直关系的关键是什么？

提示需要确定直线的方向向量和平面的法向量，然后把证明线、面的垂直关系转化为向量

间的关系.

基础自测

题组一思考辨析

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)对于非零向量瓦若。力="c,则。=c.(X)

(2)在空间直角坐标系中，在0尸平面上的点的坐标一定是(0,b,c).(V)

(3)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反.(J)

(4)任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底.(X)

题组二教材改编

2.若{〃，4c}为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量

是()

A.{a,G+力，a^b}

B.{b,4+b,a-b]

C.{c,a+力，a~h]

D.{。+力，a—b,o+2b}

答案C

解析对于A,因为(a+岳+(〃一〃)=2a,所以a,a+b,。一力共面，不能构成基底，排除A；

对于B,因为(a+Z>)—(〃-b)=2b,所以力，a+4a一)共面，不能构成基底，排除B；对于D,

a+2)='|(a+b)一；(a—b),所以。+力，a-b,a+2)共面，不能构成基底，排除D；对于C,

若c,。+瓦a—b共面，贝IC=/(Q+〃)+〃(Q—〃)=a+〃)a+(2—〃)〃，则a,b,c共面，与{。，b,c]

为空间向量的一组基底相矛盾，故c,。+瓦。一〃可以构成空间向量的一组基底.

3.如图，在四面体Q4BC中，OA=a,OB=b,6c=c,点M在04上，且OM=2M4,N为

8c的中点，则疝=.

题型突破核心探究___________

J题型一空间向量的线性运算白主演练

1.在三棱锥0—48C中，M,N分别是OA,3C的中点，G是△A8C的重心，用基向曼苏，

0B.八表示济，则下列表示正确的是（）

I—Q

C.-7pA+\oB+\oC

o33

D.^OA+15B+1（9C

答案D

—►—►—>1—►2—►1—►）—>—►

解析MG=MA十AG=]OA十驶N=]OA十•CW-CM）

=^5A+|^5（dB+OC）—6A]=—1（9A4-15B+|dC.

5&=南+历=磊一筋+筋+《拉?=必1+4励+4交

,633J3J

2.在正方体ABCO-A/CQi中，点尸是G9的中点，且崩=病+工公+）筋],则实数x

+y的值为（）

A.-|B.号D.1

答案D

解析崩=曲+说|+5>=俞+扇|+拗=病+总+）浦],故X==y=l,所以x+y

_3

=2,

3.在正方体ABCO—ABCiOi中，点M,N分别是面对角线48与乱。的中点，若6\=a,

DC=b,DDi=c,则加等于（）

A，2（c4-^-a）B=a+b-c）C*a-c）D.；（c-a）

答案D

解析疏^=而1+^V=J丽+柄弓=[（函+篇i）+某7瓦+瓦乙）=“一万+c）+；（A—a）=

乙乙乙乙乙乙

Jie—a）.

4.在平行六面体48CQ-A'B'CD'中，若叱=x赢+y正+2zG7r，则x+y+z等

于(

5

-2

A.2B.

答案A

解析由空间向量的线性运算，得废才=启+叱=(泰+正)+西，

由题意知，AC=xAB+yBC-\-2zCC,

则x=l,y=l,2z=l,z=|,

所以x+)，+z=1+1+|=|.

思维升华用基向量表示指定向量的方法

(1)结合已知向量和所求向量观察图形.

(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中.

(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知忠向量表示出来.

J题型二共线向量定理、共面向量师生共研

定理的应用

例1已知A,B,C三点不共线，对平面A3C外的任一点O,若点M满足痂=/晶+渔+

0C).

⑴判断总，讪，祓?三个向量是否共面；

(2)判断点M是否在平面ABC内.

解(1)由题知—+为+衣=3丽，

所以万1一而=(南—为)+(而一次＞

即诂=屈/+(5/=一标一证，

所以而，论,证共面.

(2)由(1)知，MA,麻，讥共面且基线过同一点M,

所以M,A,B,。四点共面，从而点M在平面A8C内.

思维升华证明空间四点P,M,A,8共面的方法

(\)MP=xMA+vMB;

(2)对空间任一点。，决=南+制诵+.Y凝；

(3)对空间任一点O,OP=xOM+yOA^zOB(x^y^z=\Y

(4)万1/〃赢(或万〃证或而〃赢f).

跟踪训练1如图所示，已知斜三棱柱A6C—ASG，点M,N分别在AG和8c上，且满足

AM=kAC]t的=%反?(04W1).判断向量加是否与向量而，眉洪面.

解因为病=痴"BN=kBC,

所以疝=扇+矗+丽=奴焉+赢+A正

=k(C?AIDC)IAl3=k(C^AI证i)IAD=kn?AIAB

=AB-kAB\=AB-k(AA^Ab)

=(1—k)AB—kAA],

所以由共面向量定理知向量荻与向量荒，筋1共面.

J题型三空间向量数量积及其应用师生共研

例2如图所示，已知空间四边形A3CO的每条边和对角线长都等于1,点£,F,G分别是

A4,ADfCO的中点，计算:

(1)EFR4；

(2病前.

解设A8=*AC=b,AD=c.

则同=|力|=|c|=l,〈。，b>=<b,c〉=〈c,a)=60°,

(1)EF=^D=^c-^atBA=­a,

EF-BA=(^c-^•(一d)=乎2_10c=*

⑵由丽=（法+病+而（前一崩）

=（-%B+AD+4G-4。）（人。-A8）

=^—^AS+|Ac+^Ab^（Ab—45）

=（-&+荻+%）（。一°）

_1

=2,

■弓I申探究

已知MN是正方体内切球的一条直径，点户在正方体表面上运动，正方体的棱

长是2,则同玩曲的取值范围为（）

A.[0,4]B.[0,2]C.[l,4JD,[l,2]

答案B

解析设正方体内切球的球心为O,则O例=ON=1,

丽•丽=（历+南）•（历+麻）=赤+协（南+痂）+而加，

〈MN为球。的直径，

・,•苏+而=0,OMON=-\,

:.PMPN=PO2-\,

又尸在正方体表面上移动，

・••当P为正方体顶点时，I历I最大，最大值为小；当户为内切球与正方体的切点时，I历I最

小，最小值为1,

/.PO2-ie[0,2],

即丽.丽的取值范围为[0,2],

思维升华由向量数量积的定义知，要求。与力的数量积，需已知同，步|和〈°,b〉,〃与力

的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大，:、，才能使。协计算准确.

跟踪训练2如图，正四面体A8CZ）（所有棱长均相等）的棱长为1,E,F,G,H分别是正四面

体A8C。中各棱的中点，设前=a,AC=b,AD=c,试采用向量法解决下列问题：

（1）求庠的模长;

(2)求徐，丽的夹角.

解(1)因为正四面体A8CD的棱长为1,E,F,G,〃分别是正四面体48C。中各棱的中点,

AB=a,AC=b,AD=c,

~►1―►1——►1—►1―I

所以8E=5/?C=z（AC—A8）=]S—。），AF=^AD=-^c.

—>—►—►-►ijI

所以石6二七8+的+人/=一夏（〃一〃）一a+/c=g（c—。一〃）,

所以\EFf=：（c—。—bp=*2+苏+62—2<rc+2ab—2b©

=；（1+1+1-2X1X1Xcos6004-2X1XIXcos60°-2XIX1Xcos60°）=1,

故面1=坐

（2）在正四面体A8CD中，前=^c—a—b）,[函=当.

同理，而=2（b+c—。），|的=苧.

加rw；（C—"-b）'S+c—a）

所以cos侍,GH>=旦曲=^———±-——

丽曲2X2

=|[（c-a）2—b2]=2（c2+屋-2c・〃-b2）

=1（l+l—?.XIX1Xcos60。-1）=0.

所以序'与丽的夹角为90。.

,题型四向量法证明平行、垂直帅生共研

例3如图，已知A4_L平面48C,BB\//AA]tAB=AC=3,BC=2&AA尸巾,点E和”

分别为8C和4C的中点.

c

⑴求证:M〃平面4B8A；

（2）求证：平面AE4_L平面BCBT.

证明因为AB=AC,E为BC的中点,

所以4从LBC.

因为A4J_平面ABC,

所以过E作平行于8&的垂线为z轴，EC,E4所在直线分别为x轴，y轴,

建立如图所示的空间直角坐标系.

因为A8=3,BE=y[5,

所以AE=2,

所以七（0,0,0）,C（V5,0,0）,A（0,2,0）,6（一小，0,0）.

4（0,2,市），则掩,1,当）

⑴济=（坐,1,坐）Q=（一小,—2,0）,

筋产（0,0,巾）.

设平面AA由18的一个法向量为〃=（x,y,z）,

n-AB=0,

则J_

.wAAj=0,

x=-2,

f—y[5x—2y=0,

y=小,

15z=0

、z=0,

所以〃=（—2,小，0）.

因为呼•〃=亭X（—2）+l）＜d5+乎义0=0,

所以济

又EFQ平面48山A,

所以E产〃平面

（2）因为平面AE4i,

所以元=（小，0,0）为平面AE4的一个法向量.

又EA_L平面BCBi,

所以或=(0,2,0)为平面BCBx的一个法向量.

因为反'•函=0,

所以及'_L或，

故平面A£A|_L平面BC5.

思维升华(1)利用向量法证明平行问题

①线线平行：方向向量平行.

②线面平行：平面外的直线方向向量与平面法向量垂直.

③面面平行：两平面的法向量平行.

(2)利用向量法证明垂直问题的类型及常用方法

线线垂直问题证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零

直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判定定

线而垂直问题

理转化为证明线线,垂直

两个平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理转化为证明

面面垂直问题

线面垂直

跟踪训练3如图正方形48C。的边长为2啦，四边形5DE”是平行四边形，4。与4c交于

点、G,。为GC的中点，尸0=小，且/O_L平面AACD

(1)求证：AE〃平面8cr;

(2)求证：CF_L平面人/£

证明如图，

取8。的中点H,连接。4则OH〃BD,又四边形4BCZ)为正方形,

・・・AC_L8£>,••・O〃_LAC,

故以。为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则

4(3,0,0),C(-1,0,0),。(1,-2,0),尸(0,0,回5(1,2,0).

正=（一2,-2,0）,CF=（l,0,小），济=（-1,-2,5）,俞=（一2,-2,0）,崩=（-3.0,

小）.

(1)设平面8CT的一个法向量为〃=(x,)，，z).

〃辰=0,—2x—2），=0,

叫_即V

/+小z=0,

〃。尸=0,

取z=l,得〃=(一小，小，1).

又四边形8OE广为平行四也形，

.,.DE=BF=（-1,-2,回

：.AE=Ab-\~DE=BC+BF

=（—2,—2,0）+（—1,—2,小）

=（一3,-4,小），

・••危・〃=3小一4小+小=0,：,AEln,

又AEC平面BCF,

JAE〃平面BCF.

（2）・・・力=（-3,0,小），CF=（l,0,小）,

由（1）知危=（-3,-4,小），

ACF-AF=-3+3=0,

亦.危=-3+3=0,

ACFIAF,CFIAE,

即CFLAF,CFLAE,

又A£GA〃=A,AE,A/U平面A£F,

・・・。尸_1平面AEF.

课时精练

用基础保分练

1.已知向量。=(1/0),力=(-1,0,2),且履+力与2a—。互相垂直，则&的值是()

75

A.TJB.2C.JTD.1

答案A

解析因为。=(1,1,0),*=(-1,0,2),

所以〃心=—1,同=啦，向=/，

又ka+b与2a—b互相垂直，

所以（Aa+b＞（2。-5）=0,

即2川才一切力+2。仍一|力|2=0,

7

即44+4—2—5=0,所以&=不

2.如图，在平行六面体ABCO-A'1C'/）'中，4c与8。的交点为0,点M在BC.上,

且BM=2MC',则下列向量中与0M相等的向量是（）

B.一；靠+京Ab+3AX7*

€\%6+小。+%A'

D%8-、4£＞+/4'

答案C

解析因为3M=2MC',所以嬴=］战＞,

在平行六面体/IBCO—A'B'CD'中，

OM=OB-\-BM=OB-^BC7^=|D5+|（AD+A4Z）=^AB-Ab）-s^AD-\-AAr）

=3赢+看病.

3.在空间四边形ABC。中，嘉.诙+亚屈+弱就等于（）

A.-1B.0C.1D.不确定

答案B

解析如图，

令AB=a,AC=b,AD=c,

则人ECD-I■八。•力2+人D8C=0(c—c)+<••(/>—〃)="•<•一。7>+〃口一b・c+c协一c,4=0.

4.如图，在大小为45。的二面角A一七/一。中，四边形AB/花，CQE广都是边长为1的正方形,

则8,。两点间的距离是()

A.小B.^2C.ID.yj3~y[2

答案D

解析,・,应)=泳+应:+亘),

・・・|砺F=|的?+|前2+|的F+2而.匠+2后.访+2即•丽=1+1+1-/=3-陋，

故|而|=、3一

5.(多选)若4=(一1,九-2),6=(2,-1,1),。与力的夹角为120。，则力的值为()

A.17B.-17

C.-1D.1

答案AC

解析由已知0b=—2—2=—2—4,

1«|=41+/+4=75+%2,

|"=、4+1+1=加,

ab-A-41

Acos12O0=7-^7=..=

⑷步I75+产水r2

解得2=17或4=-1,故选AC.

6.(多选)已知空间中三点A(0,1,0),6(220),C(-1,3,1),则()

A.B与n是共线向量

B.B的单位向量是(1,1,0)

C.茄与正夹角的余弦值是一笔

D.平面ABC的一个法向量是(1,-2.5)

答案CD

解析由题意，对于A,矗=(2』,0),就=(-1,2,1),所以赢工庆，则施与戢:不是夫线向

量，所以不正确；

对于B,因为赢=(21,0),所以油的单位向量为(2乎，乎，或(一^^，—乎，0)，所以

不正确；

对于C,向量后一(2,1,0),ic-(-3,1,1),

所以cos<ABfBC>=ABBC=—所以C正确;

而II的

对于D,设平面ABC的一个法向量是〃=(x,)，，z),因为初=(2,1,0),AC=(-l,2,l),所以

〃.彘=(),3+产0,

,='I-c令x=l,

[〃•/=0l-x+2v+z=0,

所以平面人BC的一个法向量为〃=(1,-2,5),所以正确，故选CD.

7.(2021•西安模拟)如图所示，在四面体QABC中，OA=a,OB=b,OC=c,。为8c的中点,

E为A。的中点，则无=(用a,b,c表示).

答案

解析0E=OA+AE=0A

=OA-\-^(ob—OA)=}jOA-\-^ob

=2晶+；乂3(5^+历)=)+]++.

8.若“=(1.1.0),/>=(-1.0.2),则与a+力同方向的单位向曷星

答案(。，0甯

解析与。+力同方向的单位向量是点o』,2)=(o,坐，手).

9.已知A(l,—2,11),4(423),C(x,)，[5)三点共线，则孙=.

答案2

解析由三点共线得向量检与启共线，

即初=盛，

X—1y+24

(3,4,-8)=©x—1,y+2,4),-^—=4

解得x=一：,y=-4,：»xy=2.

10.在一直角坐标系中，已知4(一1,6),8(3,—8),现沿x轴将坐标平面折成60。的二面角,

则折叠后A，B两点间的距离为.

答案2717

解析在直角坐标系中，已知A(—l,6),3(3,一8),现沿x轴将坐标平面折成60。的二面角

后，

A(—1,6)在平面Qry上的射影为C,

作BDLx轴，交x轴于点。，

所以靠=就+诙+加，

所以协三危2+位十方层十2危.诙+2⑦•丽+2尿?•所

=62+42+82-2X6X8X7=68,

所以A8=2行.

11.如图,已知在直三棱柱A8C-A131cl中,AC.LBC,。为44的中点，AC=BC=BBi.

⑴求证：BC\±AB\；

(2)求证：4G〃平面CAD

证明如图，以G为原点，GA,GS,GC所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直

角坐标系.

设AC="C=/?“i=2,

则4(2,0,2),4(0,2,2),C(0A2),4(2,00),丛(0,2,0),C)(0,0,0),D(l,l,2).

⑴连接AS,

VBCi=(O,-2,-2),

A8i=(—2,2,—2),

ABCrAhi=0-4+4=0,

/.BCilABi,即8G_LA8.

(2)取41c的中点E,连接/*,

VE(1,O,D»，访=(0〉,l),

,

又就1=(0,-2,-2),..ED=-1BC1,

且ED和8G不重合，则EO〃8G.

又EOu平面CAiD,3cC平面CAiD,

故BG〃平面CA\D.

12.在平行六面体ABC。一MBCQ中，点E,尸分别在棱。。上，且的=；B田，DF

2

=^DD\.

（1）求证：A,E,Ci，“四点共面；

⑵若£尸=犬44+）月。+44|,求x+y+z的值.

⑴证明连接AG（图略），

•・,启=嬴+而+病

=AB+AO+/AAI+，AI

=（AS+g/L4I）+（AO+^/LAJ

=（赢+函+（病+5?）=赢+而

・・・A,E,Cl,尸四点共面.

⑵解,：EF=AF-AE

=俞+5>-（益+曲

=俞+,。。1

=—AB+AD+^AA],

又评=.\A5+“b+z后।,

・・・尸-1,y=\fz=|.

.*.x+y+z=—1+1+；=；.

技能提升练

13.(多选)已知向量<rb=A・c=a・c,b=(3,0,—1),c=(—1,5»—3),下列等式中正确的是(

A.(a'h)c=h-c

B.(a+〃)c=a(b+c)

C.(a+Z>+c)2=a2+^2+c2

T).\a-\-h-\-c\=\a—b—c\

答案BCD

解析由题意知〃•c=-3+0+3=0,

所以ab=b-c=a-c=O,

(〃山)c=0,6c=0,不相等，所以A选项错误；

(a+B)p-0(力+。)=。・。+力・c—a・c=O,

所以(a+b>c=a，S+c),所以B选项正确；

(〃+5+C)2=G2+炉+。2+为山+26。+2a•C=〃2+A2+/,所以c选项正确；

2222227

(a-b-c)=a+b~]-c-2ub±2bc-2a-c=a-1-b-\-ct

即(a+b+c)2=(a—力-c)2,|«+b+c|=|a—〃一c|,所以D选项正确.

14.如图，已知四棱柱A8CD—AI1GA的底面D81GU为平行四边形,E为棱AB的亡点,

AF=^AD,AG=2GAi，AQ与平面EFG交于点M,则患=.

2

答案n

解析由题图知，设俞=/3（o〈ki）,

由已知公|=初+病+屹|=2危+3万+孤;,

所以Qf=2Z4E+3/AF^AG