高一预习：对数-初升高数学暑假专项提升（人教版）

4.3对数

【知识梳理】

知识点一对数的有关概念

一般地，如果〃=N3>()，且〃KI)，那么数工叫做以。为底N的对数，记作x=logW，

其中。叫做对数的底数，N叫做真数.

常用对数与自然对数：

通常将以10为底的对数叫做常用对数,以e(e=2.71828…)为底的对数称为自然对数,

logW可简记为lgN,

logcN简记为InN.

知识点二对数与指数的关系

一般地，有对数与指数的关系：

若q>0,且aW1,则炉=N<=Mog“N=x.

1ogw*=x(a>0,且a#I).

知识点三对数的性质

1.1的对数为零.

2.底的对数为1.

3.零和负数没有对数.

知识点四对数运算性质

如果G>0,且“Wl,M>0,N>0,那么：

(l)log“(MW)=log,"+logaN；

(2)log，w=log“M-log〃N；

⑶log〃M"=GR).

知识点五换底公式

1.Iog^/?=|(。>0,且aWl；c>0»且cW1；Zx>0).

2.对数换底公式的重要推论：

(1)1。§川=总冲>0,且NW1；Q0,且arl)；

(3)logflZ>logz>clog<4=log«J(a>0,。>0,c>0,d>0,且KWI,bWLcWl).

【基础自测】

1.下列指数式与对数式互化不正确的一组是（）

A.e0=l与In1=0

--I11

B.83=:与］og85=_g

£

（2.1。发9=2与93=3

D.Iog77=l与7'=7

【答案】C

2.化简;log612-21og6g的结果为（）

A.6^2B.12^2C.Iog6小D.eqD.；

【答案】C

-

【详解】原式=10g6，/—10g62=：0g6^5=10g6,V3.

Iogz9=

-

'iog23---------

【答案】2

【答案】13

5.若对数1奥—1）（左一3）有意义，则x的取值范围是.

答案12)U⑵+8)

x—1>0,

【详解】由上一1XI,得得人>方且xW2.

2r_3>0,

【例题详解】

一、指数式与对数式的互化

例I将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：

【分析】根据对数式与指数式的互化即可得解.

跟踪训练1将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：

【分析】(1)由对数的定义改写；

(2)由对数的定义改写；

(3)由对数的定义改写；

(4)由对数的定义改写.

二、利用对数式与指数式的关系求值

例2求下列各式中工的值：

【分析】根据对数的定义，进而进行指对数式的互化即可求得答案.

跟踪训练2求下列各式中x的值：

(1)Iog.v3=y;

2

(2)log64-r=--；

(3)—lne2=x；

(5)Iogs[log3(log2.v)]=0.

【答案】(1)9；(2)—；(3)-2；(4)3；(5)8.

16

【分析】利用对数的概念及指数式对数式互化即得.

【详解】(1)由Iogx3=；,得[=3,所以x=9.

(3)因为一。为=%,所以lnM=-%,e2=e-x,于是x=-2.

解得x=l或x=3,又因为x=l时，X2-2=-1<0,舍去；

【分析】由对数和指数基的运算性质计算即可.

7

故答案为：--

【答案】①②1

【分析】①根据对数的运算法则比简，即可求得答案；

②根据对数的运算法则结合完全平方公式化简，即可求得答案；

【答案】ACD

【分析】根据对数的运算逐项分析判断.

故选：ACD.

【答案】1

【分析】根据对数的运算法则性质化简即可得解.

=1

故答案为：1

五、对数换底公式的应用

【答案】C

故选：C.

I1

A.1B.2C.-D.-

【答案】A

【分析】运用对数的定义和换底公式、以及运算性质，计算即可得到所求值.

故选：A.

【答案】-18

【分析】根据对数运算法则和换底公式直接求解即可.

故答案为：-18.

【答案】C

故选:C

六、对数的综合应用

4

A.1000B.100C.2D.

3

【答案】B

故选:B.

【答案】A

故选：A

【课堂巩固】

32

A.2B.3C.-D.-

23

【答案】D

【分析】指数式化为对数式，得出结果.

故选:D

2.Ig8+31g5的值为()

A.-3B.—1C.1D.3

【答案】D

【详解】lg8+31g5=31g2+31g5=3(lg2+lg5)=3.

A.4=1,b=AB.a=2,b=-2C.a=4,b=3D.a=4,b=-4

【答案】D

【分析】由题得方程2〃+匕=4,3^=8,解方程即得解.

026+Z>=22=4,3a+b=23=8,

解得。=4,b=-4,

故选：D.

A.7B.8C.9D.10

【答案】A

因此，该手机至少可以待机7小时.

故选：A.

5.(多选)下列指数式与对数式互化正确的是()

【答案】AC

故选：AC.

【答案】V3/3I

【分析】将对数式化为指数式来求得正确答案.

故答案为：上

【答案】1

【分析】根据指数塞的运算性质及对数的运算性质计算即可.

故答案为：1.

【答案】10

【分析】根据对数的运算性质计算即可.

故答案为：10.

【答案】8

【分析】根据对数的概念计算即可.

故答案为：8.

11.将下列指数式与对数式互化：

【分析】(1)(2)(3)(4)(5)(6)利用指数式与对数式的互化公式直接求解作答.

12.求下列各式中的x值：

【答案】(1)125；(2)-；(3)^；(4)-1

【分析】将对数式化为指数式，从而可得出答案.

【答案】|9

14.计算下列各式的值：

(2)[(1—Iog63)2+log62-log6l8]-Mog64；

(3)(log43+Iogs3)(log32+log92).

22

(2)原式=[(log66—log63)+Iog62-iog6(2x3)]4-log64

222

=^log6^)+log62-(log62+Iog63)jrlog62

=[(log62)2+(log62)2-I-21og621og63]-r2Iog62

=log62+log<»3=log6(2X3)=l.

(3)(log43+log83)(log32+log92)

一Ug4十1g8人g13十lg9j

【课时作业】

A.1B.2C.4D.9

【答案】B

【分析】根据对数的定义，结合指数式的运算律，可得答案.

故选：B.

2.下列运算中正确的是（）

【答案】D

【分析】根据换底公式判断A,将根式化成分数指数累，再根据塞的运算法则计算B,根据指数基的运算法

则判断C,根据对数的性质判断D.

故选:D.

【答案】B

故选：B

A.11倍B.倍C.1。1。倍D.I。】？倍

【答案】B

因此喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的10*唔.

故选：B.

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

故选：D.

A.4B.8C.16D.32

【答案】c

故面的最小值为16.

故选：C.

【答案】A

故选：A

A.100B.115C.230D.345

【答案】B

【分析】根据指数与对数的联系计算即可.

故选：B

【答案】-3

【分析】根据指数和对数的运算公式进行求解.

故答案为：-3.

【答案】1

【分析】由对数换底公式以及对数恒等式、对数运算法则进行计算求得结果.

故答案为：L

【答案】4

【分析】直接利用对数的换底公式求解即可.

故答案为：4.

【答案】1

【分析】利用换底公式、对数的运算性质计算