高一预习：集合的概念与表示-初升高数学暑假专项提升（人教版）

第一章《集合与常用逻辑用语》

1.1集合的概念

【知识梳理】

知识点一元素与集合的概念

I.元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a,b,。…表示.

2.集合：把一些元素组成的总体叫做集合，（简称为集），常用大写拉丁字母4,氏C…表示.

3.集合相等：指构成两个集合的元素是一样的.

4.集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性.

知识点二元素与集合的关系

1.属于：如果。是集合A的元素，就说〃属于集合A,记作。£4

2.不属于：如果〃不是集合A中的元素，就说。不属于集合4记作

知识点三常见的数集及表示符号

数集非负整数集（自然数集）正整数集整数集有理数集实数集

符号NN*或N-ZQR

知识点四列举法

把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.

知识点五描述法

一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P。）的元素x所组成的集合表示为"£4|尸（x）},

这种表示集合的方法称为描述法.

【基础自测】

【答案】D

故选：D.

A.-5B.1C.5或TD.-5或1

【答案】B

综上所述：实数”的值为1.

故选：B

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

故6中共有3个元素.

故选:B.

4.下列说法中：①集合N与集合N*是同一个集合；②集合N中的元素都是集合Z中的元素；③集合Q中

的元素都是集合Z中的元素；④集合Q中的元素都是集合R中的元素.其中正确的有.

【答案】②④

【详解】因为集合N*表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，

所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确.

【例题详解】

一、集合的概念

例I(1)下面给出的四类对象中，构成集合的是()

A.某班视力较好的同学B.长寿的人

C.兀的近似值D.倒数等于它本身的数

【答案】D

【分析】根据集合的定义分析判断即可.

【详解】对于A,视力较好不是一个明确的定义，故不能构成集合；

对于B,长寿也不是一个明确的定义，故不能构成集合；

对于C,万的近似值没有明确近似到小数点后面几位，

不是明确的定义，故不能构成集合；

对于D,倒数等于自身的数很明确，只有1和1,故可以构成集合；

故选：D.

(2)(多选)下列各组中的M,P表示同一集合的是()

A.M={3,1},P={(3,1)}

B.M={(3,1)},P={(1,3)}

C.M山P={t\t=\j]l}

D.集合M={〃“〃?+125},P={V|>'=X2+ZV+5,.电R}

【答案】CD

【分析】利用集合相等的定义判断.

【详解】在A中，M={3,1}是数英，F={(3,1)}是点集，二者不是同一集合，故错误；

在B中，M={(3,1)},P={(1,3)}表示的不是同一个点的集合，二者不是同一集合，故错误；在C中，M={y|广

凶1}={3，|户1},P={/|/=|A|1}={/|/>1},二者表示同一集合，故正确；

在D中，M={〃巾应4,〃拒R},即M中元素为大于或等于4的所有实数,P={y|y=(.v+l)2+4},y=(x+l)2+4>4,所

以P中元素也为大于或等于4的所有实数，故M,P表示同一集合，故正确.

故选：CD

跟踪训练1(1)以下元素的全体能构成集合的是()

A.中国古代四大发明B.接近于1的所有正整数

C.未来世界的高科技产品D.地球上的小河流

【答案】A

【分析】根据集合的知识可选出答案.

【详解】中国古代四大发明具有确定性，能构成集合，故A满足；

接近于1的正整数不确定，不能构成集合，故B不满足；

未来世界的高科技产品不确定，不能构成集合，故C不满足；

地球上的小河流不确定，不能构成集合，故D不满足；

故选：A

(2)」知集合人=Q|.¥2+〃1+<7=0}={2},贝ij〃=,q=.

【答案】44

【分析】根据A={x[f+px+q=0}={2},由2是方程.F+px+q=O的等艰求解.

【详解】因为A={x|x2+px+q=Q}={2},

故答案为：4,4

【分析】利用集合元素的互异性求解.

【详解】集合｛3,x,.P-2.r｝中，f-2许3,且小2日，且户3,

解得g3且口-1且*0,

故选：C.

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形

【答案】D

【分析】根据集合元素的互异性即可判断.

故选：D.

四、集合的表示方法

所以，可以取-1,2,3,4.

【点睛】考查描述法、列举法表示集合的定义，清楚Z表示整数集，属于基础题.

（2）用适当的形式表示下列集合，并指明它是有限集还是无限集.

③被5除余1的自然数的集合；

【分析】①直接解出方程即可，用列举法；（2）解不等式，解集为无限，用描述法表示；（3）元素有无限个,

所以用描述法；④代表元素为丁，解集为无限集用描述法表示.

跟踪训练4用列举法表示下列集合：

（2）不大于10的非负奇数集；

【分析】根据列举法的定义进行表示即可.

（2）不大于10即为小于或等于10,非负是大于或等于0,

跟踪训练5表示下列集合：

⑵请用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合；

⑶请用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合；

【分析】根据题意逐项代入分析即可求解.

【课堂巩固】

1.下列各组对象中不能形成集合的是（）

A.高一数学课本中较难的题B.高二（2）班全体学生家长

C.高三年级开设的所有课程D.高一（12）班个子高于1.7m的学生

【答案】A

【分析】根据集合的三要素确定性，互异性和无序性逐个判断即可；

【详解】对A,高一数学课本中较难的题不具有确定性，不能形成集合；

对BCD,各组对象均满足确定性，互异性和无序性，能形成集合

故选:A

2.下列说法正确的是（）

B.。与｛（）｝是同一个集合

【答案】A

【分析】根据集合的定义和性质逐项判断可得答案

【详解】集合中的元素具有无序性，故A正确；

0是不含任何元素的集合，｛0｝是含有一个元素。的集合，故B错误；

故选：A.

A.1B.1C.2D.2

【答案】C

【分析】利用集合中元素有意义，集合相等的意义列式计算作答.

故选:C

4.下列关系中，正确的是（）

【答案】C

【分析】根据元素与集合的关系求解.

故选：C

A.矩形B.平行四边形C.梯形D.菱形

【答案】C

故选：C.

6.（多选）下面说法中正确的是（）

【答案】AC

【分析】根据正整数集的含义即可判断A,B,C的正误，根据集合中列举法即可判断D选项的正误.

【详解】对于A,因为N+是正整数集，而最小的正整数是1,故A正确：

故选：AC.

【答案】13

【分析】由题列举出集合即得.

12346

112346

2

2123

22

24

312

333

]_33

41

4242

_1_2

61

6323

故答案为：13

【答案】2

【详解】根据题意分2种情况讨论：

故答案为：2

10.给出下列说法:

其中正确的是（填序号）.

【答案】①③

【分析】根据题意，结合集合的表示方法，逐项判定，即可求解，得到答案.

【点睛】本题主要考查了集合的表示方法及其应用，其中解答中熟记集合的表示方法一一列举法、描述法,

以及集合表示方法的改写是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

11.用列举法表示下列集合：

(1)满足一2幺42且短1Z的元素组成的集合A；

(2)方程(工一2汽%-3)=0的解组成的集合Mx

(4)15的正约数组成的集合N.

【答案】⑴{一2,一1,0,1,2}(2)/={2,3}(3)8={(尤)，)|(3,2)}(4)及={1,3515}

(2)求解出方程的根，即可表示集合M；

(4)找到15的正约数，即可表示集合N.

.•.2和3是方程的根，

【点睛】本题考查集合的列举法，区分点集和数集，属于简单题.

12.用描述法表示下列集合，并思考能否用列举法表示该集合

(1)所有能被3整除的自然数

【答案】答案见解析.

【分析】根据集合的表示法求解.

【课时作业】

1.已知集合A={x|f+p.r+g=x},B={x|(x—l)2+p(x—l)+^=x+3}»当A={2}时，集合4=()

A.{1}B.{1,2}

C.{2,5}D.{1,5}

【答案】D

(详解】由A={x|f+px+q=x}={2}知,

团22+2p+q=2,且/=(/)-1)2—4«=0.

计算得出夕=-3,q=4.

则(.r-l)2+p(x-l)+g=x+3可化为(%—1)2—3(工一1)+4=%+3：

即(工一1)2—4(工-1)=0；

贝IJ/一1=0或x—1=4,

计算得出％=1或x=5.

所以集合8={1,5}.

故选：D.

【答案】A

【分析】分别对工，y,z的符号进行讨论，计算出集合M的所有元素，再进行判断.

【详解】根据题意，分4种情况讨论；

故选：A.

3.以某些整数为元素的集合P具有以下性质:

（1）尸中元素有正数，也有负数；（2）P中元素有奇数，也有偶数;

则下列选项哪个是正确的（）

A.集合。中一定有0但没有2B.集合P中一定芍0可能有2

C.集合夕中可能有。可能有2D.集合。中既没有0又没有2

【答案】A

故选:A.

A.3B.1C.-3D.-1

【答案】C

故选：C.

【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关集合的问题，在解题的过程中，关键是用好集合中元素的互异性

对参数的值进行取舍.

【答案】C

【分析】化简集合A,根据集合B中元素的性质求出集合B.

故选:C

6.由大于-3且小于11的偶数所组成的集合是

A.{x|-3<x<ll,xSQ}

B.{x|-3<x<ll}

C.{x|-3Vx<11,x=2k,kfflN}

D.{x|-3<x<ll,x=2k,k0Z}

【答案】D

【详解】试题分析：先确定集介元素的范围是-3VXV11,同时再确定偶数的形式，利用描述法表示集合.

解：因为所求的数为偶数，所以可设为x=2k,k团z,又因为大于-3且小于11,所以-3VXV11.

即大于-3且小于11的偶数所组成的集合是{x|-3VxVll,x=2k,kHZ）.

故选D.

点评：本题的考点是利用描述法表示集合.比较基础.

【答案】C

【分析】先解方程组，然后再利用集合的表示方法判断即可

对于AB,是用描述法表示方程组的解集，所以AB正确，

对于D,是用列举法表示方程组的解集，所以D正确，

故选：C

A.0B.2C.3D.6

【答案】D

【详解】试题分析：根据题意，结合题目的新运算法则，可得集合A*B中的元素可能的情况；再由集合元

素的互异性，可得集合A*B,进而可得答案解：根据题意，设A={1,2},B={0,2},则集合A*B中的元素可

能为：0、2、0、4,又由集合元素的互异性，则A*B={0,2,4},其所有元素之和为6；故选D.

考点：元素的互异

点评：解题时，注意结合集合元素的互异性，对所得集合的元素的分析，对其进行取舍

9.（多选）下列说法中，正确的是（）

B.R中最小的元素是0

C.6的近似值的全体构成一个集合

D.一个集合中不可以有两个相同的元素

【答案】AD

【分析］根据集合的概念及集合中元素的三个特性：确定性、无序性、互异性即可判断四个选项的正误.

因为实数集中没有最小的元素，所以B错误；

因为的近似值”不具有确定性，所以不能构成集合，故C错误；

同一集合中的元素是互不相同的，故D正确.

故选：AD.

【答案】ABD

故选：ABD.

【答案】-1

【分析】根据集合相等的定义及集合中元素的互异性即可求解.

故答案为：-1.

12.已知集合A是由0,粗，加一3加+2三个元素构成的集合，且2a4,则实数团=

【答案】3

【分析】根据集合与元素的关系，分类求得〃?的值，然后利用集合元素的互异性检验取舍.

【详解】由题意知，〃?=2或/-3〃?+2=2,

解得〃7=2或〃7=0或〃7=3,经验证，

当m=0或m=2时，

不满足集合中元素的互异性，

当加=3时，满足题意，

故m=3.

答案:3

13.用描述法表示图中阴影部分的点构成的集合为.

【答案】{(x,y)|0<x<2K0<y<l}

点睹：本题考查集合的描述法的概念及其应用，解答本题的关铤是图中的阴影部分的点的坐标满足的条件

为集合的元素的公共属性.

【分析】由集合的描述法可知集合所含元素.

【点睛】本题主要考查了集合的描述法，属于中档题.

16.已知集合八={1,2},B={(x,y)|X0A,y团A,x+y0A},则B中所含元素的个数为.

【答案】1

【分析】首先根据题中的条件，B={(x,y)|X0A,y0A,x+y@A},结合A={1,2},写出集合B,并且找到

集合B的元素个数