高考数学二轮复习专项突破（全国版文）数列的递推关系

微重点8数列的递推关系

数列的递推关系是高考重点考查内容，作为两类特殊数列——等差数列、等比数列，可

直接根据它们的通项公式求解，但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数歹J,再

利用公式求解，体现化归思想在数列中的应用.

考点一构造辅助数列

例1(1)已知数列｛痣｝满足0=1,3%+|=2知斯+i(〃£N")，则下列结论不正确的是()

A.15+1｝为等比数列

B.｛〃“｝的通项公式为m=0乂」

C.｛«,｝为递增数列

D喘的前〃项和T„=3n-n-\

答案C

解析因为an—3atl+1=2a:lan+\,

两边同除以a同〃+i,

I3

可得二；=：；+2，

所以六+匚3质+)

又十+1=2X0,

所以｛£+1｝是以2为首项，3为公比的等比数列，故A正确；

所以9+1=2X3"',即处i_1，

(-hi/入JI

所以｛的｝为递减数列，故B正确，C不正确；

所以《=2X3"J1,,的前〃项和为

cin

3(2X3°—1)+(2X3]-1)+…+(2X3〃r-l)

=2X(3°+35…+3门)一〃

1—3”

=2X----n=3n-n-\,故D正确.

I—5

⑵(2022・吕梁模拟)已知S〃为数列｛〃“｝的前〃项和，且〃|=1,%+|+%=3*2〃,则5100等于()

A.2|00-3B.2|00-2

C.2,01-3D.2,0,-2

答案D

解析由小+|+即=3'2"得,

4〃+L2"”=一伍〃—2").

又«i—2,=—1,

所以｛斯一2"｝是首项为-1,公比为一1的等比数列，所以如一2〃=(一1)。

即4=2”+(—1)”,

所以5IOO=2I4-22+-+299+2,()O+(-1)+(-1)2+-+(-1)"+(-1),0()

=2^+O=2J.

规律方法(1)若数列｛如｝满足小+|=〃即+q(〃WO,l,gWO),构造如+i+/=p(斯+2).

⑵若数列｛a,J满足为+]=网〃+fin)(p片0,1),构造a”+1+gQt+\)=p[a„+g(〃)].

跟踪演练1(1)在数列｛斯｝中，m=3,斯=2加|一〃+2(g2,〃£N*),若斯>980,则，的最

小值是()

A.8B.9C.10D.11

答案C

解析因为斯=2a“—i—〃+2(〃22,〃£N*),

所以斯一〃=2[即-]一(〃-1)](〃22,〃£N").

因为0=3,所以0—1=2,

所以数列｛〃“一〃｝是首项和公比都是2的等比数列，则如一〃=2",即斯=2"+〃，

因为%一m-1=2"-I+1X),

所以数列｛%｝是递增数列,

因为。9=521<980,«IO=1O34>98O,

所以满足斯>980的〃的最小值是10.

(2)(2022•兰州模拟)若数列｛斯｝满足曲+i=(〃+l"+l(〃£N*),且0=1,则。2023等于()

A.4045B.4044

C.2023D.2022

答案A

解析因为〃硒=(〃+1)如+1(〃£N),所以篙=臂+而%:资+%本，

即篙+卡=*+*即铠=中,所以代芳为常数列，又e，

所以铝=铝=2,

所以“立;2V=2

解得。2023=4045.

考点二利用斯与S”的关系

例2已知工是数列｛知｝的前〃项和，m=3,且当〃22时，S”，拳Sr成等差数列.

(1)求数列｛所｝的通项公式；

(2)设数列｛〃”｝满足为=1—・a，若岳・加»磔9，求正整数〃的值.

UnI/O

解(1)方法一由题意知当八22时，

S“+5”T=〃4”

S“+S”一1=n(Sn—S“_1),

*j〜"+।

整理得S“=—

n-I

由Si=0=3,

.・$=斗、…X9；X3=%+〃)，

经检验，5i=3也符合5”=孤+〃).

・•・当〃。2时，an=Sn-Sn-i

33

=#2+〃)一][(〃—1月+(〃-1)]=3〃.

=

“1=3也满足an3ri,

・•・数列｛6｝的通项公式为0=3儿

方法二由题意知当〃22时，S〃+S〃7=〃a〃，

:.当时，SLI+S”-2=(〃-1)«1，

两式相减得4“+〃”1=〃。“一(〃一1)4“1(〃白3),

即(〃一1)斯=〃斯7,

〃印训,

慌为常数列,

・•・当〃23时,

又由52+Si=2a2得“2=6,

同理可得侑=9,

.且一丝_色一々

,,3-2-1T

•臂=岸=3,即an=3n,

；・数列｛斯｝的通项公式为备=3〃.

91

(2)由⑴得bn=।一片=1-^2

-•^=2X7X3X3X4X4X…X~n~X~~n~=^ii~'

由7T=T拓'付〃=88.

规律方法在处理斗，处妁式子时，一般情况下，如果要证明_/(如)为等差(等比)数列，就消

去S”，如果要证明人S〃)为等差(等比)数列，就消去小；但有些题目要求求｛为｝的通项公式，

表面上看应该消去S”，但这会导致解题陷入死胡同，这时需要反其道而行之，先消去诙，求

山S”，然后利用dn=Sn—Sn-1求出

跟踪演练2(1)(2022♦焦作模拟)已知数列｛6｝满足----1■生必产2〃,则m+2a2

+22<73d-----F2?。21a2022等于()

2

A.2(22022-1)BJ(22O22+1)

C.j(24044-l)D.|(24(M4+1)

答案C

解析因为«i+1«2+^.d------H^;-r«M=2n,

所以当〃22时,

〃I+52+/G+…+上加1=2(〃-1),

两式相减得5*%=2,

所以斯=2"(〃与2),

又卬=2也适合该式，

故为=2".

所以｛斯｝为等比数列，

所以«|+2«2+22«34-***4-22027/2022

(2)(2022・济宁模拟)已知正项数列｛“〃｝的前〃项和为S”，若2a£=1+足，儿=1/2专，数列

｛儿｝的前n项和为T”,则满足的n的最小正整数的值为.

答案10

解析因为2asi=1+湍a.X),当〃=1时，2a5=1+鬲,解得S=l,

当〃22时，an=Sn-Sn-i,即2(S〃-Si)S”=l+(S”-Si)2,

整理得求一S%.1=1,所以数列｛S於是首项为W=l,公差为1的等差数列，

所以忌=I+(〃-l)x|=〃，又正项数列(〃”)的前〃项和为S”所以5“=加，

〃+2、2]〃+2I

所以S”+2=W+2,所以s=log2黑=log2=l°g----=51og2-1-=51log2（〃+2）

"*2n）乙〃乙

—Iog2〃],所以7；="+⑦+加H----H儿-1+b”=与[log?3—log21+log24—log22+log25-Iogz3

+…+log2（〃+1）-log2（〃-l）+log2（〃+2）-10g2〃]=51一1+10g2（〃+1）+log2（〃+2）]=][-1+

10g2（〃+l）（〃+2）],

由。23,即省一l+log2（/i+l）（〃+2）]土3,化简整理得/?+3〃一126±0,

当〃=9时，92+3X9-126=-18<0,当〃=10时，10-126=4>0,

所以满足的〃的最小正整数的值为10.

专题强化练

1.（2022•哈尔滨模拟）已知数列｛斯｝的首项为10,且24rH+斯=3,则满足不等式依〃一1|七

的〃的最小正整数的值为（）

A.9B.10C.11D.12

答案D

解析由2%+1+%=3,即a“+i=—得斯+1—1=—/（〃〃一I）,又。1-1=9,

所以数列｛斯一1｝是以9为首项，一蓝为公比的等比数列，

所以如一1=9X（—分厂I所以|小一1|<^,即为9X（一分卜击，

即即2”l>1125,所以〃212.

2.已知数列｛&“｝满足必+i=（〃+l）a”+2（〃£N）且ai=l,则。2023等于（）

A.6065B.6067

C.4044D.4043

答案B

解析因为nan+1=（〃+1）〃〃+2,

所以黑咛+木，

即箸_詈=2（/制，

。1=2信3

nn—1

…十

即a”=3〃一2,当〃=1时也成立,

贝U。2023=6067.

3.（2022.焦作模拟）已知数列他“｝的前〃项和S〃=（一1）%+/（〃£N*）,则Sioo等于（）

A.-2^)oB.0C.^TooD.'jmT

答案B

解析由题意知$102=。102+加L

所以5102—^102—5101—yi02»

一1

XSioi=—moi十I^TUT

1

所以0oi=5102,

故Sioo=Sioi—aioi=0.

4.（2022•衡阳模拟）已知数列｛斯｝满足2小”一〃消”7=1,则下列结论错误的是（）

\\

A.。2=可

数列［占｝为等差数列

B.

④的最小值为由

C.

D.。”的最大值为3

答案C

解析由2斯+1—«浦”+1=1,

得知+|=士?

所以11_।一一]_2_I___J_=1L

a”+i—1an—\I]an—\an—\an—\'a\—\2'

2—a”

故数列为以学为首项，―1为公差的等差数列，则一4=¥+(〃一”(一i)=?一〃,

I。”1乙斯—1z2

故诙=l+yj®—,。2=募，数列｛斯｝的最小值为47=-1,最大值为46=3.

~2~n

5.(2022•洛阳模拟)若数列｛4｝和｛仇｝满足m=2,2=0,2al+i=3a〃+儿+2%”+1=4〃+3”,一2,

贝0。2023+5023=.

答案22023

解析因为2a”+i=3。〃+儿+2,2b”+i=a”+3b”-2,

所以2a„4-14-2bn+!=3a„4-4-2+r/n4-3h„—2=4(«,f4-h„),即an+1+bll+)=1(cin+bn),

又0+济=2,

所以｛斯+6｝是以2为首项，2为公比的等比数列，

n

所以an+bn=2t

所以C12023+bl023=22023.

6.(2022•河南省重点高中联考)已知数列｛3｝中，斯：”=士,则满足〃”＞焉;的

a〃〃十幺。〃+]n~r11vuv

n的最大值为.

答案5

解析根据题意，

(〃+1)斯—2(〃+l)a”+]=a〃+2a〃+i,

。”+1〃

化简得

瓦-=2(〃+2)，

所以京n—1

=2(〃+1)，

an-\n-2

。〃-2-2〃

7=2X3("N2)，

运用累乘法计算得

aHn—1n—2〃-32、，1

a\2(〃+1)2〃202-1)2X42X3

=2〃-2.〃(〃+1)522),

且«i=4»

所以""=2"・/2(〃+1)‘〃22,ai=W符合该式，

当“”>1(；()0时,2"团(〃+1)<1000,

当〃=5时，2"•小〃十1)=950<1000,

当〃=6时，2"(〃+1)=2688>1000,

所以满足条件的〃的最大值为5.

7.(2022・邯郸模拟)已知数列｛斯｝满足桂科

⑴证明：数歹胆辿为