高一预习：指数-初升高数学暑假专项提升（人教版）

第四章《指数函数与对数函数》

4.1指数

【知识梳理】

知识点一根式

(1)如果炉=4,那么X叫做。的〃次方根.

(2)式子血叫做根式，其中〃叫做根指数，。叫做被开方数.

⑶即)”=a

当〃为奇数时，啦?=〃，当〃为偶数时，，7=同=]

[一小a<0.

知识点二分数指数募

m

正数的正分数指数基，an=赤河。>0，〃?，n>l).

m

正数的负分数指数塞，a"=一!=—!—(a>0,〃?，〃£N",〃>1).

0的正分数指数幕为0,0的负分数指数幕没有意义.

知识点三指数幕的运算性质

【基础自测】

1.已知"m—A)2=a—〃,则()

A.a>bB.a^b

C.a<bD.ciWb

【答案】B

【详解】yj(a-b)2=\a-b\=a—b,

所以。一620,所以故选B.

2.下列根式与分数指数幕的互化正确的是()

B.eq=)?3。＜0)

C.”

D.一=—W(xH。)

【答案】C

I

【详解】一#=一X2(入＞0)；

A.9+小B.与C.9^5D.64

【答案】C

4.化简

【答案】业—1

【详解】要使原式有意义，则

【答案】兀+8

【例题详解】

一、〃次方根的概念

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】根据根式与指数式的意义及性质求解即可.

②错误；

所以当"为偶数时，〃＜0时不成立，所以④错误.

故选:B.

(2)若81的平方根为小-8的立方根为从贝ija=,a+b=.

【答案】±9；T1或7

【分析】利用〃次方根的概念即得.

【详解】因为81的平方根为以所以〃=均.又因为一8的立方根为-2,所以〃=-2.

所以a+b=—11或a+b=7.

故答案为：±9；-11或7.

跟踪训练1(1)已知7=8,则x等于•()

A.2^2B.cqC.一班D.

【答案】B

7

【详解】因为7为奇数，8的7次方根只有一个遍.

(2)若十5有意义,则x的取值范围是：

若云石有意义，则x的取值范围是.

5

-

2

二、利用根式的性质化简或求值

【答案】A

【分析】结合指数幕的运算性质，可求出答案.

故选：A.

【答案】A

故选:A.

(3)求下列各式的值；

【答案】(i)-6

(2)化简：

(自(3一小；

(ii>J(a—8)2(。>〃)；

y+N(1+叱1-a)'.

4

【详解】(1川(3一兀)4=13一兀|=兀一3.

2

(2),/a>bt.\yl(a—b)=\a—b\=a—b.

(3)由题意知a—120,即a21.原式=〃-1+|1—〃|+1—a=a—1+〃-1+1

三、根式与分数指数幕的互化

例3(1)卜.列根式与分数指数哥的互化正确的是()

【答案】B

五、分数指数募运算的综合应用

2

【答案】（1）7：（2）47；（3）］

跟踪训练5化简，求值：

1Q

【答案】⑴逐；⑵6；⑶有

47

【课堂巩固】

1.下列说法正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】根据根式的运算，逐一判断即可.

【详解】49的平方根是±7,故①错误；

故选:A.

2.在①^/（一4产；啦（-4尸,⑤初，加/滔中，时各式子有意义的是（）

A.①②B.®®

C.①②③④D.①®@

【答案】B

【答案】C

【分析】根据指数幕的运算化简，然后根据。力的大小关系讨论即可.

故选:C.

1_553

A.a2B.〃6C./D,°2

【答案】C

【分析】利用指数事的运算性质化简可得结果.

故选：C.

【答案】B

故选:B.

6.计算：

7.（扪-4.（-2尸+（；））_92=.

【答案】卷19

【洋解】原式=2—4x(—/)+1-|=2+^+1-j=y.

8.化简d（l-々.［（，言）G=______.

【答案】Rr

【详解】要使原式有意义，则。-1>0.

9.若6=3'，1。'=厉，则102ALy=,

【答案】:

10.设「幻=#上一4,若（）<〃W1,则/（。+5）=.

【答案】

【详解】f（。+£）=［（。+»-4=f2+>2=d（〃-£>2=卜一

因为OvcWl,所以aW：,

11.计算下列各式，式中字母均为正数.

【分析】（1）根据指数式的乘法运算律即可求解；（2）根据指数式的乘法运算律和指数塞的运算律即可求解;

12.计算下列各式：

【分析】（1）利用实数指数事的运算法则直接计算作答.

⑵利用实数指数幕的运算法则结合单项式的除法法则直接计算作答.

⑶将给定等式两边平方直接计算即可作答.

【课时作业】

【答案】C

【分析】根据根式运算求解.

故选：c.

【答案】D

【分析】结合指数函数的运算法则以及根式与指数鼎的转换即可求出结果.

故选：D.

【答案】C

【分析】根据给定条件化根式为分数指数幕，再借助帮的运算法则计算即得.

故选：C

【答案】A

故选：A.

A.1B.3C.5D.7

【答案】C

【分析】根据根式的性质求出”,V，即可得解.

故选:C

A.1B.〃自C.D.

【答案】D

【分析】由指数运算法则直接计算可得结果.

故选:D.

7.下列各式中成立的一项（）

【答案】D

【分析】根据指数暴的运算性质可判断AC选项；根据根式与指数塞的互化可判断BD选项.

故选：D.

【答案】D

故选：D.

9.（多选）下列各式正确的是（）

【答案】BD

【分析】利用根式的运算直接求解.

故B,D选项中的式子正确.

故选：BD.

【答案】AC

【分析】解不等式求x的范围，结合根式的性质化简代数式即可

故选：AC.

【答案】6

【分析】根据根式指数基的互化，以及指数制的运算性质，准确运算，即可求解.

【详解】根据根式指数鼎的互化，以及指数哥的运算性质，

故答案为：6

【答案】al

【分析】根据根式的性质即可求解.

故原式=。1+1la\+la=al.

故答案为：

【答案】3

【分析】将根式化成指数暴，再根据廨的运算法则计算可得；

故答案为：^-3

【答案】8

【分析】由已知代数式有意义确定工的范围，结合根式的运算性质化简目标式求其值.

故答案为：8.

15.将下列根式化成分数指数幕的形式.

【答案】（1）；（2）（3）L9.

【分析】（1）将根式化为分数指数基，结合分数指数基的运算法则，计算即可得解；

（2）将根式化为分数指数第，结合分数指数幕的运算法则，计算即可得解：

（3）将根式化为分数指数累，结合分数指数幕的运算法则，计算即可得解.

【点睛】本题考查了根式化为分数指数累及分数指数新的运算，考查了运算求解能力，属于基础题.

16.化简

【答案】（1）/；（2）4

【分析】（1）利用根式和分数指数幕的互化运算即可得解：

（2）结合指数的运算性质即可得解.

【点睛】方法点睛：木题考查指数幕的运算，解题时一定要先把小数或带分数化成假分数，再利用分数指

数种的运算，化询求值，考有学生的计算能力，属于基础题.

【分析】（1）由指数制的运算法则进行求解即可；

（2）利用指数累的运算法则，结合完全平方