高考数学 一轮复习：等比数列及其前n项和（九大题型）（讲义）原卷版

第03讲等比数列及其前〃项和

目录

考情分析

L等比数列的有关概念

」等比数列的常用性质

题型一：等比数列的基本运算

题型二：等比数列的判定与证明

题型三：等比数列项的性质应用

题型四：等比数列前n项和的性质

提升•必考题型突破—题型五：求数列的通项厮

题型六：奇偶项求和问题的讨论

题型七：等差数列与等t徽列的综合应用

题型八：等比数列的范围与最值问题

题型九：等比数列的实际应用

真题感悟

©000

考点要求考题统计考情分析

（1）理解等比数列的概念.高考对等比数列的考查相对稳定，考

（2）掌握等比数列的通项公查内容、频率、题型、难度均变化不

2023年甲卷（理）第5题，5分

式与前〃项和公式.大.重点是（1〉选择题、填空题多单

2023年H卷第8题，5分

（3）了解等比数列与指数函独考查基本量的计算；（2）解答题多

2023年乙卷（理）第15题，5分

数的关系.与等差数列结合考查，或结合实际问

题或其他知识考查.

等比数列及其前n项和

佻,Q*+m,a*+2m,..•仍是等比数列

等比我列的常用性质

Sn,Sjn—Sn,S3n-S.,...也成等比数列

若｛0｝,｛心｝是等比数列，则｛。决，也是等比数列

一夯基-必备基础知识梳理

知识点一.等比数列的有关概念

（1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个

数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为&±=“.

（2）等比中项：如果”，G,b成等比数列，那么G叫做“与方的等比中项.

即G是”与〃的等比中项=〃，G,6成等比数列=b=".

知识点二.等比数列的有关公式

（1）等比数列的通项公式

设等比数列｛%｝的首项为个，公比为虱”0）,则它的通项公式4=4ai=cq"（c=5）（4,4wO）.

q

推广形式：aa…

（2）等比数列的前〃项和公式

叫（q=1）

等比数列｛凡｝的公比为式夕工0），其前〃项和为5“=•—_a「a“q

-；=-；（4/1）

\-q\-q

注①等比数列的前”项和公式有两种形式，在求等比数列的前“项和时，首先要判断公比。是否为1,再

由q的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比q是否为1时，要分夕=1与,/工1两种情况讨论求解.

②己知％<7（4-1）,〃（项数），则利用s=4（1-*“）求解;己知卬4.<7（qq1）,则利用S“_4卫艮求解.

1-4\-q

③S“=二/）=3W+q=kq”-k（k=O.q，1），S,,为关于q”的指数型函数，且系数与常数互

1—q1—q1—q

为相反数.

知识点三.等比数列的性质

（1）等比中项的推广.

若机+〃=p+q时，则4M特别地,当〃?+〃=2〃时，%%=*

（2）①设｛〃“｝为等比数列，则｛4/“｝（1为非零常数），M,|｝,｛""｝仍为等比数列.

②设｛%｝与｛bj为等比数列，则｛«„b“｝也为等比数列.

（3）等比数列｛%｝的单调性（等比数列的单调性由首项/与公比q决定）.

a>0a.<0

当〈1或;।时，｛0“｝为递增数列；

的>1[0<^<1"

a>0a<0

当〈二।或V।时，⑼,｝为递减数列.

0<”1[g>li

（4）其他衍生等比数列.

若已知等比数列公比为9,前〃项和为s“，则:

①等间距抽取

%％%2p-+ST）,，…为等比数歹I」，公比为

②等长度截取

黑,邑”「黑,又”-£,,・为等比数列，公比为。"（当。=-1时，，〃不为偶数）.

【解题方法总结】

（1）若6+〃=〃+“=2A（〃？，n»p,q,&eAT），则—"p'"g-4♦

（2）若｛a“）,｛/乙）（项数相同）是等比数列，则｛MJ（2wO）仍是等比

%W

数列.

（3）在等比数列｛〃,）中.等距离取出若干项也构成一个等比数列.即q.小,a—.燹…为

A.682,；B.-682,-2C.682,（或一2D.-682,；或-2

变式4.（2023•江西抚州•统考模拟预测）已知正项等比数列｛%｝的前〃项和为S”，若的5=34,邑=39,

则=（）

A.64B.81C.128D.192

变式5.（2023•江西•校联考模次预测）已知等比数列｛q｝的前4项和为30，q-%=15,则%=（）

A.-B.：C.1D.2

42

【解题方法总结】

等比数列基本量运算的解题策略

（1）等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量仆，“，Q,4,S“，

一般可以“知三求二”，通过列方程（组）便可迎刃而解.

（2）等比数列的前〃项和公式涉及对公比q的分类讨论：

当“=1时，S“=〃4；当时，S=©（1-4”）=巧二4』.

”\-q\-q

题型二：等比数列的判定与证明

例4.（2023•全国•高三专题练习）甲、乙两个容器中分别盛有浓度为10%,20%的某种溶液500mL同

时从甲、乙两个容器中取出100ml溶液，将其倒入对方的容器并搅匀，这称为一次调和.记囚=10%,

々=20%,经（〃-】）次调和后，甲、乙两个容器的溶液浓度分别为外,2.

⑴试用。…如表示％,久.

（2）证明：数列｛«,-2｝是等比数列，并求出心,2的通项.

例5.(2023•全国•高三专题练习)己知数列｛4｝满足4s,-24=20,〃cN*,其中S“为｛4｝的前〃项和.证

明：

⑴信一外是等比数列.

/O

1111

------1-------1-------1---F----------<1

(Q\n

一’6〃1—36a2+36%—36^Z1+3x(—l)

例6.（2023•安徽亳州•蒙城第一中学校联考模拟预测）甲、乙、丙三个小学生相互抛沙包，第一次由甲

抛出，每次抛出时，抛沙包者等可能的将沙包抛给另外两个人中的任何一个，设第〃ND次抛沙包后

沙包在甲手中的方法数为%,在丙手中的方法数为2.

⑴求证:数列｛。川+凡｝为等比数列，并求出｛4｝的通项;

（2）求证:当〃为偶数时，an>bn.

变式6.（2023•广东东莞•校考三模）已知数列｛q｝和｛2｝,%=2,=1,J=22.

⑴求证数列1是等比数列；

⑵求数列;的前〃项和J

a

为偶数

变式7.（2023•全国,高三专题练习）设数列｛4｝的首项6=&,且%]=，I

+

4-〃为奇数

⑴求“2,%；

⑵判断数列｛2｝是否为等比数列，并证明你的结论;

（3）求2+〃2+L+bn.

变式8.（2023•全国•高三专题练习）已知数列｛4｝、｛2｝满足4<%=3a“-勿+/,4,……“T,teR,

,且卬=1,bt=0.

⑴求证：｛%+〃｝是等比数列;

（2）若｛4｝是递增数列，求实数，的取值范围.

变式9.（2023•全国•高三专题练习）数列｛4｝的前〃和S“满足5'=2q-“〃wN）

⑴求4的值及。“与J的关系；

（2）求证：｛《+1｝是等比数列，并求出｛/｝的通项公式.

变式10.（2023•云南•校联考三模）已知数列｛4｝有递推关系记

a“=d—A*eZ）若数列｛2｝的递推式形如仇用=（〃,g,reR且〃/#0）,也即分子中不再含有常

数项.

（1）求实数上的值;

13

（2）证明：丁为等比数列，并求其首项和公比.

b„5

变式11.（2023•福建厦门•统考模拟预测）已知数列｛4｝满足q=1必出=十匚，〃eN,

⑴证明九二?是等比数列；

1%+1J

3

⑵若白=£71求｛包｝的前〃项和s“.

变式12.（2023・山东潍坊・三模）已知数列｛k｝和｛2｝满足6=3,々=Za„+l=a„+2b„tb„+l=2an+bn.

⑴证明：｛q+"｝和｛«，-2｝都是等比数列；

⑵求佃也｝的前〃项和S“.

【解题方法总结】

等比数列的判定方法

若色』q（q为非零常数，〃eM或2（q为非零常数且〃22,则｛/｝

定义法

是等比数列

中项公式法若数列｛凡｝中，《户0且4+「=%.%2（〃WAO，则｛〃“｝是等比数列

若数列｛q｝的通项公式可写成4=cW-（G4均为非零常数，〃cN'），则｛4｝是等

通项公式法

比数列

前〃项和公式法若数列｛为｝的前〃项和3'=拈““》（£为非零常数，（7*0,1）,则（%）是等比数列

题型三：等比数列项的性质应用

例7.（2023•全国•高三对口高考）已知等比数列｛4｝的前〃项和为S.=3”Jc,则。=.

例8.（2023•山东泰安•统考二模）若〃?，〃是函数_内+〃（〃＞。,4＞0）的两个不同零点，且〃?，

〃，-2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则国=.

例9.（2023•全国•高三专题练习）已知数列｛%｝中，卬工。，品机,〃eN1,且小、卬是函数

/（*）=2—+19x+20的两个零点，则叫=.

变式13.（2023南三课时练习）已知等比数列｛4｝的公比＜/=-g,该数列前9项的乘积为1,则％=.

变式14.（2023•江西•校联考二模）在正项等比数列｛/｝中，出与如是方程/-30式+10=0的两个根,

则1g4+1g出++电4。=.

变式15.（2023•全国•高三专感练习）等比数列｛q｝中，4%=256,%+4=40,则公比q均值为

变式16.（2023•全国•高三专题练习）在1和9之间插入三个数，使这五个数组成正项等比数列，则中间

三个数的积等于.

变式17.（2023泗川成都府三四川省成都市玉林中学校考阶段练习）若数列｛4｝是等比数歹U，且“臼阳=8,

贝1」叫=.

变式18.（2023•全国•高三专题练习）已知正项数列｛4｝是公比不等于1的等比数列，且*+3.3=0,

2

若f（%）=；~2，则/3）+/（q）+…+/（%）23）=_________•

1+X

变式19.（2023•四川成都•统考二模）已知等比数列｛4｝的首项为1，且线+。4=2（%+4）,则a-9=

变式20.（2023•重庆•高三阶段练习）在等比数列｛q｝中，《+出=30,％+4=60,则%+4=

【解题方法总结】

（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件、利用性质，特别是性质“若〃?+〃=〃+,=2右

则心,。尸品•%=《、”，可以减少运算量,提高解题速度.

（2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注

意设而不求思想的运用.

题型四：等比数列前〃项和的性质

例10.（2023例国例三对口高考）已知数列｛4｝为等比数列,S“为其前〃项和.若SgM13几,工。+S3L14O,

则/的值为.

例11.（2073•河北沧州校考模拟预测）已知等比数列｛«,｝的前，，项和为S,,,若S、=2,S,=6,则％=.

例12.（2023•高三课时练习）己知S”是正项等比数列｛4｝的前〃项和，例=20,则%-2S&+SX,的最小

值为.

变式21.（2023•全国•高三专题练习）已知数列｛4｝是等比数列，S“是其前”项和,且4=15,%=195,

则§24=.

变式22.（2023•全国•高三专题练习）设正项等比数列｛4｝的前〃项和为s“，若54=10$2,则蜘的值为

变式23.（2023•全国嘀三专题练习）设正项等比数列｛k｝的前〃项和为S,,,且21°%-（210+1国+$0=0,

则公比“=.

变式24.（2023•重庆•高三统考阶段练习）已知等比数列｛4｝的前〃项和为S“，S6=7,%+6=-3,则

%+%_

a2,

变式25.（2023•全国•高三专题练习）已知正项等比数列｛4｝的前〃项和为S”，若邑=4,又=19,则§6,

S9的等差中项为.

变式26.（2023•江西南昌•南昌十中校考模拟预测）已知等比数列｛«,｝的前〃项和为S“，若/=3,\=9,

则九的值为

【解题方法总结】

（1）等比数列｛%｝中，所有奇数项之和又与所有偶数项之和“具有的性质，设公比为j

①若共有2〃项，则且1=外②若共有2〃+1项，$奇-4

S舟"S俄

（2）等比数列｛4｝中，S4表示它的前k项和.当”7时,有弟应「耳应*—52«,...也戌等比数列，

公比为

题型五：求数列的通项巴

例13.（2023•广西玉林•统考三模）记数列｛为｝的前〃项和为5“，已知向量，〃=（《“，），—若

6=2,且加〃%则｛4｝通项为.

例14.（2023•内蒙古包头-高三统考期末）已知数列｛4｝和也,｝满足q=1,々=2,%=3a“f+4,

%=3。-°4.则数列｛/+bn］的通项/+2=.

例15.（2023•上海浦东新•高三校考开学考试）设暮函数/（刈=白，数列｛4｝满足:%=2021,且*=/（《）

CwN），则数列｛%｝的通项

变式27.（2023•江苏•高三专题练习）写出一个满足前5项的和为31,且递减的等比数列的通项%=

变式28.（2023•山西太原•统考模拟预测）已知数列｛4｝的前〃项和为S“且满足S.+q=-2,则数列｛%｝

的通项〃”=.

变式29.（2023•上海•高三专题练习）数列｛4｝的前”项和为■，%=Laz=2S”,则数列的通项4=

变式30.（2023•内蒙古包头-高三统考期中）已知数列｛4｝的通项/与前〃项和S“之间满足关系

S“=2—3a„,贝lj%=

变式31.（2023•上海•高三专题练习）数列｛4｝的通项4=3吁高幻的通项纥=2”,由a“与』中公共

项，并按原顺序组成一个新的数列化“｝，求付“｝的前”项和.

【解题方法总结】

（1）等比数列的通项公式

设等比数列｛a“｝的首项为q，公比为夕（夕工0）,则它的通项公式=c"（c="）（q,g。0）.

q

推广形式：a“=a『q”f

（2）等比数列的前〃项和公式

〃q(q=i)

等比数列｛a,J的公比为式9工0）,其前八项和为S”=«q（l-q"）ay-anq

—：=—（qh］）

\-ql-q

题型六：奇偶项求和问题的讨论

2《,〃是偶数，

例16.(2023•湖南长沙•长郡中学校联考模拟预测)已知数列｛"”｝满足/=3,且。川

是奇数.

(1)设包…求数列｛2｝的通项公式;

(2)设数列｛4｝的前〃项和为s“，求使得不等式s.>2023成立的〃的最小值.

g%,〃为奇数，

例17.(2023•河北•模拟预测)已知数列｛k｝满足［=2,

%+:，〃为偶数・

(1)记d证明：数列｛包｝为等比数列;

(2)记cn=a2n--f求数列｛｝的前，1项和r,.

例18.(2023•山东济宁•统考二模)已知数列｛气｝的前〃项和为用=2q("22,〃€N)且

4=LS5=15.

⑴求数列｛《,｝的通项公式；

(2)若bn1Ht数,求数列｛纥｝的前2〃项和T2n.

变式32.(2023•天津南开•统考二模)设｛4｝为等比数列，｛勿｝为公差不为零的等差数列，且6=々=3,

=4，%=217.

⑴求｛《｝和｛纥｝的通项公式;

T1

⑵记｛4｝的前〃项和为S“，｛2｝的前〃项和为％,证明：y-^-：

n+1

丁七,〃为奇数

。+2，求爱..

(3)记c“=/

1-1

，〃为偶数

一07)9+1)

变式33.（2023•湖南邵阳•统考三模）记S”为等差数列｛%｝的前〃项和，己知生=5,&=81,数列｛2｝

,

满足（由+a2b2++J6=（w-l）-3"+3.

⑴求数列｛%｝与数列｛2｝的通项公式；

为奇数

⑵数列｛。”｝满足4=•[〃为偶数，〃为偶数，求｛°“｝前2〃项和匕.

变式34.（2023・全国•高三专题练习）已知各项为正数的等比数列｛4｝满足a“y==16",〃GN..

⑴求数列｛4｝的通项公式；

4”,〃为奇数

(2)设4=1,勿+|二：洛伸好，求数列也,｝的前2〃项和先.

-"+〃,〃为偶数

变式35.（2023•湖南长沙•长沙市实验中学校考三模）已知数列｛4｝满足："=2,且对任意的〃EN*,

祟，〃是奇数,

2向。“+2,〃是偶数.

⑴求巴，的值，并证明数列｛4,-+：｝是等比数歹

（2）设bn=%一（〃eN*）,求数列他,｝的前〃项和北.

-a+/1-1〃为奇数

变式36.（2023•全国•高三专题练习）已知数列｛4｝满足q=1,2"'，记勿=%"，

%-2〃,〃为偶数

求数列｛4｝的通项公式.

【解题方法总结】

求解等比数列的前〃项和S“，要准确地记住求和公式，并合理选取公式，尤其是要注意其项数〃的值;

对于奇偶项通项不统•问题要注意分类讨论.主要是从〃为奇数、偶数进行分类.

题型七：等差数列与等比数列的综合应用

例19.（2023•全国•高三专题练习）已知数列｛4｝为等差数列，［=1,6=4①+1,前〃项和为S”，

数列｛2｝满足仇=蕾,求证：

⑴数列｛2｝为等差数列；

（2）数列｛4｝中任意三项均不能构成等比数列.

例20.（2023•辽宁锦州•高三渤海大学附属高级中学校考期末）在等差数列｛4｝中，卬+4=12g+%=16.

⑴求等差数列｛k｝的通项公式；

⑵设数列｛2凡+包｝是首项为1,公比为2的等比数列，求数列｛2｝的前〃项和S”

例21.（2023•全国•高三专题练习）已知S“为等差数列｛k｝的前〃项和，且6=1,.在①/，

S3,即成等比数列，②邑.-2S.=2M,③数列｛£｝为等差数列，这三个条件中任选一个填入横线，使得

条件完整，并解答：

⑴求％；

〃为奇数

⑵若1〃为偶数，求数列｛"J的前2"+1项和刀川.

。必+2’

注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

变式37.(2023•四川资阳•统考一模)已知等比数列｛4｝的前“项和为S"，且』,九，S.(其中^^N*)

成等差数列.问：%.，-%”是否成等差数列？并说明理由.

变式38.(2023•江苏•高考真题)已知｛4｝是等差数列，｛2｝是公比为g的等比数列，4=4,

记s“为数列｛2｝的前〃项和.

⑴若4=4(mJ是大于2正整数),求证：Si=dM；

⑵若&=q3是某一正整数)，求证：夕是整数，且数列｛2｝中每一项都是数列｛«,｝中的项：

(3)是否存在这样的正数q,使等比数列｛勿｝中有三项成等差数列？若存在，写出一个g的值，并加以说明;

若不存在，请说明理由.

变式39.(2023•河南开封•高三校考阶段练习)公差不为0的等差数列｛4｝中，％+4=2,且外，外,小

成等比数列.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)若S,,为等差数列｛4｝的前〃项和，求使2<0成立的〃的最大值.

变式40.(2023•全国•高三专题练习)已知｛4｝是递增的等比数列，且勺-2,%+a=学・

⑴求数列｛%｝的通项公式；

⑵在4与G之间插入〃个数，使这〃+2个数组成一个公差为应的等差数列，在数列｛4｝中是否存在3项

(其中〃?，&，〃成等差数列)成等比数列.若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由.

变式41.(2023•全国•高三专题练习)设数列｛4｝的前〃项和为S“,q=。，%=1，

/电+1-(2〃+1)5„+(〃+1)5,,-)-I=0(〃..2).

(1)证明：｛%｝为等差数列；

(2)设么=2"”，在?和以“之间插入”个数，使这〃+2个数构成公差为4,的等差数列，求」-的前〃项和.

【解题方法总结】

（1）等差数列与等比数列的相互转化：等差数列通过指数运算转化为正项等比数列，正项等比数列通

过对数运算转化为等差数列.

（2）等差数列和等比数列的交汇，若一个数列既是等差数列又是等比数列，则该数列为非零常数数列.

题型八：等比数列的范围与最值问题

例22.（2023•上海闵行•上海市七宝中学校考二模）已知数列｛%｝为等比数列，首项4＞。，公比”（TO）,

则下列叙述不正确的是（）

A.数列｛&｝的最大项为4B.数列｛«,｝的最小项为必

C.数列｛%。褊｝为严格递增数列D.数列｛〃m।+%）为严格递增数列

例23.（2023唉国高三专题练习）设｛4｝是公比为。的等比数列，其前〃项的积为Z，并且满足条件：卬＞1,

a9MLi＞。，子=＜0.给出下列结论：①。＜”1;②大＜1;③。④使，＜1成立的最小的自

然数〃等于199.其中正确结论的编号是（）

A.①②③B.0@C.②③④D.①③④

例24.（2023•广西•统考模拟预测）已知正项等比数列｛/｝满足仆=8,卬+4%=:，则的？％取最大

值时"的值为（

C.10

变式42.（2023•陕西西安•统考二模）已如数列｛《,｝是无穷等比数列，若则数列｛%｝的前〃

项和S.（）.

A.无最大值，有最小值B.有最大值，有最小值

C.有最大值，无最小值D.无最大值，无最小值

变式43.（2023•全国•高三专题练习）已知数列｛4｝满足/v0,尸;为，则数列｛/｝是（）

A.递增数列B.递减数列C.常数列D.不能确定

变式44.（2023•全国•高三专题练习）已知｛.｝是递增的等比数列，且%v。，则其公比9满足（）

A.q<-\B.-1<夕<0

C.q>\D.0<q<l

变式45.（2023•贵州铜仁•高三统考期末）已知等比数列｛4｝的各项均为正数且公比大于1,前〃项积为

Z，且火生=。4，则使得。＞I的〃的最小值为（）

变式46.（2023•全国•高三专题练习）设无穷等比数列｛k｝的前〃项和为S”，若-qv/vq,则（）

A.｛Sj为递减数列B.｛S“｝为递增数列

c.数列｛Sj有最大项D.数列｛Sj有最小项

变式47.（2023•全国•高三专题练习）设等比数列｛4｝的公比为G其前〃项和为S“，并且满足条件

>】，%%>1,（%一1）3—1）v。,则下列结论正确的是（）

A.a7aB.0<</<1C.4,+火<生+/D.S“的最大值为

变式48.（2023•全国•高三专题练习）设等比数列｛%｝的公比为人其前〃项和为S“，前〃项积为7；,并

a—1

满足条件」\<0,则下列结论正确的是（）

“2020-1

A.S刈cS202GB.4。2。是数列｛（｝中的最大值

C.&必2闭-1<。D.数列｛，｝无最大值

变式49.（2023•江西赣州•高三校联考阶段练习）设公比为9的等比数列｛4｝的前〃项和为S“，前〃项积

为L，且4>1,—心皿*，竺吟<。，则下列结论正确的是（）

A.q>\B.S2021s2022-1>0

C.是数列｛"｝中的最大值D.数列｛，｝无最大值

变式50.（2023•黑龙江哈尔滨•高三尚志市尚志中学校考期中）设等比数列｛凡｝的公比为9,其前“项和

为S”，前〃项积为乙，且满足条件">为。2020%»1>1,（%3,-1）（。2闭-1）<。，则下列选项错误的是（）

A.0<67<1B.S2020+1>,^2021

C.弓侬是数列｛，｝中的最大项D.r4Ml>1

变式51.（2023喳:国高三专题练习）设等比数列S3的公比为4,其前〃项之积为％,并且满足条件：弓>L

。刈必网>1，咏二|<0,给出下列结论：①0<夕<1；②^2o2i-1>0；③刀.9是数列化,｝中的最大项;

“2020T

④使。>1成立的最大自然数等于4039：其中正确结论的序号为（）

A.①②B.0（3）C.①③④D.①②③④

变式52.（2023•全国•高三专题练习）已知数列｛4｝的前〃项和为S”，4=2,a,产0,%。向=45“.

⑴求％;

⑵设2=（-1>（3"-1）,数列他,｝的前八项和为J若XawN',都有成立，求实数Z的范围.

变式53.（2023•上海•高三专题练习）已知数列｛q｝是首项与公比都为〃的等比数列，其中">0,且

ax1,a=a"lga”（〃wN’），且｛〃,｝是递增数列，求”的范围.

变式54.（2023•上海宝山•高一上海交大附中校考阶段练习）己知正数数列M满足。.“之3/+2，且4<3川

对ACN"恒成立，贝色的范围为.

变式55.（2023•湖北武汉•统考模拟预测）已知等比数列｛4｝的各项均为正数，公比为生前〃项和S“，

若对于任意正整数〃有义”<25；,则q的范围为.

变式56.（2023•北京东城•北京市第五中学校考模拟预测）若三角形三边成等比数列，则公比q的范围是

题型九：等比数列的实际应用

例25.（2023•广东广州-广州市培正中学校考模拟预测）某牧场今年初牛的存栏数为1200,预计以后每

年存栏数的增长率为5%,且在每年年底卖出100头牛.设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为数列

弓，。2，。3,…，且满足递推公式：点|一左=广（。”