第25讲 图形的变化（讲义）【3大考点11大题型】（举一反三）（解析版）-2025年中考数学一轮复习（全国版）

页第25讲图形的变化【3大考点11大题型】考点一考点一尺规作图1.尺规作图的要求只用不带刻度的直尺和圆规通过有限次操作，完成画图的一种作图方法．尺规作图不一定要写作图步骤，但必须保留作图痕迹.2.五种基本尺规作图作一条线段等于已知线段步骤：1.作射线OP；2.在OP上截取OA=a，OA即为所求线段作角的平分线步骤：1.以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA.OB于点N.M；2.分别以点M.N为圆心，大于MN的长为半径作弧，相交于点P；3.画射线OP,OP即为所求角平分线作线段的垂直平分线步骤：1.分别以点A.B为圆心，以大于AB的长为半径，在AB两侧作弧；2.连接两弧交点所成直线即为所求线段的垂直平分线作一个角等于已知角步骤：1.在∠α上以点O为圆心.以适当的长为半径作弧，交∠α的两边于点P.Q；2.作射线O′A；3.以O′为圆心.OP长为半径作弧，交O′A于点M；4.以点M为圆心，PQ长为半径作弧，交前弧于点N；5.过点N作射线O′B，∠BO′A即为所求角过一点作已知直线的垂线步骤：1.在直线另一侧取点M；2.以P为圆心，以PM为半径画弧,交直线于A.B两点；3.分别以A.B为圆心，以大于12AB长为半径画弧，交M同侧于点N；4.连接PN,则直线PN即为所求垂线步骤：1.以点O为圆心，任意长为半径向点O两侧作弧，交直线于A.B两点；2.分别以点A.B为圆心，以大于AB长为半径向直线两侧作弧，交点分别为M.N；3.连接MN，MN即为所求垂线3.根据基本作图作三角形类型图示已知三角形的三边，求作三角形已知三角形的两边及其夹角，求作三角形abab已知三角形的两角及其夹边，求作三角形已知直角三角形一直角边和斜边，求作直角三角形4.根据基本作图作圆类型图示过不在同一直线上的三点作圆

（即三角形的外接圆）作三角形的内切圆【题型1尺规作图】【例1】（2024·山东德州·中考真题）已知∠AOB，点P为OA上一点，用尺规作图，过点P作OB的平行线．下列作图痕迹不正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查作图-复杂作图．作一个角等于已知角，作一个角的平分线，平分线的判定，菱形的判定和性质，据此判断即可．【详解】解：A、由作图知，OC是∠AOB的平分线，且PO=PC，∴∠1=∠2，∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴PC∥B、由作图知，PD是∠APC的平分线，且PO=OC，∴∠3=∠4，∠1=∠2，不能说明∠2与∠4相等，∴PD与OB不平行，故本选项符合题意；C、由作图知，PO=OD=CD=CP，∴四边形POCD是菱形，∴PC∥D、由作图知，∠1=∠O，∴PC∥故选：B．【变式1-1】（2024·山东青岛·中考真题）已知：如图，四边形ABCD，E为DC边上一点．求作：四边形内一点P，使EP∥BC，且点P到AB,AD的距离相等．【答案】见解析【分析】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，解题的关键是掌握作角平分线和作一个角等于已知角的尺规作图方法．作∠DAB的平分线AM，以E为顶点，ED为一边作∠DEN=∠C，EN交AM于P，点P即为所求．【详解】解：作∠DAB的平分线AM，以E为顶点，ED为一边作∠DEN＝∠C，EN交AM于P，如图，点【变式1-2】（2023·湖北·中考真题）已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度的直尺完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法，用虚线表示作图过程，实线表示作图结果）．

(1)在图1中作出以BE为对角线的一个菱形BMEN；(2)在图2中作出以BE为边的一个菱形BEPQ．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据菱形的性质对角线互相垂直平分即可作出图形．（2）根据菱形的性质四条边平行且相等即可作出图形．【详解】（1）解：如图，菱形BMEN即为所求（点M，N可以对调位置）：

（2）解：如图，菱形BEPQ即为所求．∵BEPQ是菱形，且要求BE为边，∴①当BE为上底边的时候，作BE∥PQ，且BE=PQ=BQ=EP，

②当BE为上底边的时候，作BE∥PQ，且BE=PQ=BQ=EP，

③当BE为下底边的时候，作BE∥PQ，且BE=PQ=BQ=EP，

④当BE为下底边的时候，作BE∥PQ，且BE=PQ=BQ=EP，

【点睛】本题考查了作图-复杂作图，复杂作图是结合了几何图形的性质和基本作图的方法，涉及到的知识点有菱形的性质和判定，解题的关键在于熟悉菱形的几何性质和正六边形的几何性质，将复杂作图拆解成基本作图．【变式1-3】（1）如图（1），点E, F分别在正方形ABCD边AB, CD上，连接EF．求作GH，使点G, （2）已知点P, Q, 【答案】（1）见解析；（2）见解析．【分析】本题考查了尺规作图，正方形的性质，圆的基本性质等，掌握尺规作图是解题的关键．（1）作EF的中垂线即可；（2）方法一：如图，连接QS，过点P作PF⊥QS，取PF=QS，连接FR，作PJ//FR，则PJ为正方形点P的边所在的直线，过点Q作PJ垂线，过点S作PJ垂线，所得的四边形为P, Q,R, S所在的正方形；方法二：连接PS, QR，作以PS, QR为直径的圆，两条中垂线交各自的圆于点M，点N，连接MN交两圆于点H，点K，连接【详解】解：（1）如图，分别以点E, F为圆心，大于12EF为半径画弧，连接交点，交BC于点G，交AD于点（2）方法一：如图，连接QS，过点P作PF⊥QS，取PF=QS，连接FR，作PJ∥FR，则PJ为正方形点P的边所在的直线，过点Q作PJ的垂线，过点S作PJ的垂线，所得的四边形为P, 方法二：连接PS, QR，作以PS, QR为直径的圆，两条中垂线交各自的圆于点M，点N，连接MN交两圆于点H，点K，连接PH、SH、KQ、KR，其中KQ、PH交于点L，连接PM、SM，则PM=SM，∠PMS=90°，∴∠MPS=∠MSP=45°；∵∠PHS=90°，∴∠PHM=∠PSM=45°，∠SHM=∠MPS=45°；同理∠LKH=∠TKH=45°，∴△LKH、△TKH都是等腰直角三角形，∴四边形LKTH是正方形，∴四边形LKTH是R, ∴LH为该正方形点P的边所在的直线．【题型2补充作图步骤及依据】【例2】（2025·重庆·模拟预测）如图，在▱ABCD中，∠BAC=90°，点E为线段BC的中点，连接AC(1)用尺规完成以下基本作图，过点E作AC的垂线交AC于点F，交AD于点G，连接CG；（保留作图痕迹，不写作法）(2)证明：DG+AE=BC．（补充完整证明过程）证明：∵∠BAC=90°，点E是线段BC的中点∴①__________．∵EF⊥AC，∴EF垂直平分AC∴∠∵四边形ABCD是平行四边形，∴AG∥∴∠∴②__________．∴AE∴③__________．∵AC⊥EG∵四边形AGCE是菱形，∴④__________．∴DG+AE=DG+AG=AD=BC．【答案】(1)见解析(2)AE=EC；∠EAC=∠GCA；四边形AGCE是平行四边形;AE=AG【分析】本题考查了作垂线，平行四边形的性质与判定，菱形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．（1）根据题意过点E作AC的垂线交AC于点F，交AD于点G，连接CG；（2）先证明四边形AGCE是平行四边形，进而证明四边形AGCE是菱形，根据菱形的性质得出AE=AG，即可得证．【详解】（1）解：如图所示，（2）证明：∵∠BAC=90°，点E是线段BC的中点∴AE=EC．∵EF⊥AC，∴EF垂直平分AC∴∠∵四边形ABCD是平行四边形，∴AG∥∴∠ECA=∴∠EAC=∠GCA．∴AE∴四边形AGCE是平行四边形．∵AC⊥EG∵四边形AGCE是菱形，∴AE=AG．∴DG+AE=DG+AG=AD=BC．【变式2-1】（2023·内蒙古赤峰·中考真题）已知：如图，点M在∠AOB的边OA上．求作：射线MN，使MN∥OB．且点N在∠AOB的平分线上．作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线OA，OB于点C，D．②分别以点C，D为圆心．大于12CD长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点③画射线OP．④以点M为圆心，OM长为半径画弧，交射线OP于点N．⑤画射线MN．射线MN即为所求．

(1)用尺规作图，依作法补全图形(保留作图痕迹)；(2)根据以上作图过程，完成下面的证明．证明：∵OP平分∠AOB．∴∠AON=①，∵OM=MN，∴∠AON=②，(

③

)．(括号内填写推理依据)∴∠BON=∠ONM．∴MN∥OB．(

④

)．(填写推理依据)【答案】(1)见解析(2)①∠BON，②∠MNO，③等边对等角；④内错角相等，两直线平行【分析】（1）根据题意用尺规作图，依作法补全图形即可；（2）由OP平分∠AOB推导∠AON=∠BON，由OM=MN推导∠AON=∠MNO，从而推出∠BON=∠ONM，继而利用“内错角相等，两直线平行”判定MN∥OB．【详解】（1）根据意义作图如下：射线MN即为所求作的射线．

（2）证明：∵OP平分∠AOB．∴∠AON=∠BON∵OM=MN，∴∠AON=∠MNO，(等边对等角∴∠BON=∠ONM．∴MN∥OB．(内错角相等，两直线平行)．(填写推理依据)故答案为：①∠BON，②∠MNO，③等边对等角；④内错角相等，两直线平行．【点睛】本题考查作尺规作图—作角平分线和相等线段，等边对等角，平行线的判定等知识，根据题意正确画出图形是解题的关键．【变式2-2】阅读下列材料，解决问题．如图1，已知正六边形ABCDEF，要求在正六边形ABCDEF的内部作一个矩形A1B1C1小明利用尺规作图只作了部分，如图2所示．(1)请你根据小明的作图思路，补画出矩形A1(2)在（1）的基础上，连接AC，若AC=4，则线段A1D1的长为(3)如图3，已知正五边形A2B2M，N分别在边A2B2【答案】(1)见解析(2)2，三角形中位线的性质定理(3)见解析【分析】本题主要考查了多边形的性质，熟练掌握矩形的性质、尺规作图以及正五边形和正六边形的性质是本题解题的关键．（1）再找出BC和DE的中点，即可构造矩形；（2）根据三角形中位线定理求解即可；（3）分别过C2，D2作C2D2的垂线，与A2B【详解】（1）解：如图：（2）解：如图，∵A1是AB的中点，D1是∴A1D1故答案为：2，三角形中位线的性质定理；（3）解：如图：【变式2-3】（2025·重庆·模拟预测）在学习了内切圆相关知识后，小麦同学进行了更深入的研究，他发现三角形的内切圆半径与这个三角形周长，面积之间有一定的数量关系，他的思路是利用面积法探索这三者之间的联系，请根据他的想法与思路，完成以下作图与填空．(1)如图，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，用尺规作图作∠ABC的角平分线分别交AD，AC于点O，E（不写作法，保留作图痕迹）．(2)在（1）的基础上，过O分别作OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N，OH⊥AC于点H，连接OC，根据题意完善图形，求证：OM=2∵AD平分∠BAC，OM⊥AB，OH⊥AC，∴OM=OH（填写依据：①_______），又∵BE平分∠ABC，OM⊥AB，ON⊥BC，∴OM=ON，∴②________，∵S△ABC=S∴OM=2对此，请你根据上述数量关系解决问题：当AB=42，AC=5，BC=7时，则△ABC【答案】(1)见解析；(2)①角平分线上的点到角两边距离相等；②ON=OH；③73−【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图、角平分线的性质、勾股定理、三角形内切圆的定义等知识点，掌握角平分线的性质成为解题的关键．（1）根据角平分线的尺规作图的作法即可解答；（2）根据角平分线的性质定理、三角形的面积公式、周长公式即可完成证明；如图：AB=42，AC=5，BC=7，过A作AD⊥CB，垂足为D，设AD=b，BD=a，则DC=7−a，运用勾股定理可求得AD=4，易求的△ABC【详解】（1）解：如图：即为所求．（2）解：∵AD平分∠BAC，OM⊥AB，OH⊥AC，∴OM=OH（填写依据：角平分线上的点到角两边距离相等），又∵BE平分∠ABC，OM⊥AB，ON⊥BC，∴OM=ON，∴ON=OH，∵S===12OM∴OM=2如图：AB=42，AC=5，BC=7，过A作AD⊥CB，垂足为D设AD=b，BD=a，则DC=7−a，∵AB∴422=a2∴S△ABC设内切圆半径为r，∵C△ABC∴r=2S△ABCC△ABC故答案为：角平分线上的点到角两边距离相等；ON=OH；73−【题型3与尺规作图有关的计算】【例3】（2024·海南·中考真题）如图，在▱ABCD中，AB=8，以点D为圆心作弧，交AB于点M、N，分别以点M、N为圆心，大于12MN为半径作弧，两弧交于点F，作直线DF交AB于点E，若∠BCE=∠DCE，DE=4，则四边形BCDE

A．22 B．21 C．20 D．18【答案】A【分析】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，尺规作图，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．利用勾股定理求得CE的长，再证明BE=BC，作BG⊥CE于点G，求得CG=EG=25，利用tan∠DCE=tan∠BCE，求得【详解】解：∵▱ABCD，AB=8，∴CD=AB=8，由作图知DE⊥AB，∵▱ABCD，∴AB∥∴DE⊥CD，∵DE=4，∴CE=4∵AB∥∴∠DCE=∠BEC，∵∠BCE=∠DCE，∴∠BCE=∠BEC，∴BE=BC，作BG⊥CE于点G，

则CG=EG=1∵∠DCE=∠BCE，∴tan∠DCE=∴DECD=BG∴BG=5∴BE=BC=5∴四边形BCDE的周长是4+8+5+5=22，故选：A．【变式3-1】（2024·湖北·中考真题）如图，AB是半圆O的直径，C为半圆O上一点，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA于点M，交BC于点N，分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点D，画射线BD，连接AC．若∠CAB=50°，则∠CBD的度数是（

A．30° B．25° C．20° D．15°【答案】C【分析】本题主要考查尺规作图，圆周角定理，熟练掌握角平分线的作图步骤以及圆周角定理是解答本题的关键．由圆周角定理得到∠ACB=90°，由直角三角形的性质得到∠ABC=40°，根据角平分线的定义即可求得答案．【详解】解：∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=50°，∴∠ABC=90°−50°=40°，由题意得，BD为∠ABC的平分线，∴∠CBD=∠ABD=1故选：C．【变式3-2】（2021·甘肃武威·中考真题）在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知AB,C是弦AB（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：①作线段AC的垂直平分线DE，分别交AB于点D,AC于点E，连接AD,CD；②以点D为圆心，DA长为半径作弧，交AB于点F（F,A两点不重合），连接DF,BD,BF．（2）直接写出引理的结论：线段BC,BF的数量关系．【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）BC=BF【分析】（1）①分别A,C为圆心，大于12AC为半径画弧，得到两弧的交点，过两弧的交点作直线（2）由作图可得：DA=DC=DF,再证明∠DBC=∠DBF,∠DFB=∠DCB,再证明△DCB≌△DFB,从而可得结论．【详解】解：（1）作出线段AC的垂直平分线DE，连接AD,CD；

以D为圆心，DA长为半径作弧，交AB于点F，连接DF,BD,BF，如图示：（2）结论：BC=BF．理由如下：由作图可得：DE是AC的垂直平分线，DA=DF,∴DA=DC=DF,∴∠DAC=∠DCA,AD∴∠DBC=∠DBF,∵四边形ABFD是圆的内接四边形，∴∠DAB+∠DFB=180°,∵∠DCA+∠DCB=180°,∴∠DFB=∠DCB,∵DB=DB,∴△DCB≌△DFB,∴BC=BF.【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练运用基础知识解题是关键．【变式3-3】（2024·江苏徐州·中考真题）在△ABC中，点D在边AB上，若CD2=AD⋅DB，则称点D(1)如图（1），在△ABC中，若∠ACB=90°，CD⊥AB于点D．试说明：点D是点C的“关联点”．(2)如图（2），已知点D在线段AB上，用无刻度的直尺和圆规作一个△ABC，使其同时满足下列条件：①点D为点C的“关联点”；②∠ACB是钝角（保留作图痕迹，不写作法）．(3)若△ABC为锐角三角形，且点D为点C的“关联点”．设AD=m，DB=n，用含m、n的代数式表示AC的取值范围（直接写出结果）．【答案】(1)证明见解析(2)图见解析(3)mn−m2【分析】（1）证△ACD∽△CBD，根据“关联点”的定义即可得结论；（2）以AB为直径作⊙O，过点D作AB的垂线，交⊙O于P，由圆周角定理可得∠APB=90°，由（1）可得DP2=AD⋅DB，以D为圆心，DP为半径作圆，在直线DP右侧的⊙D上取点C（3）分类讨论，①当m<n时，根据第二问可得出锐角三角形时C的位置，再利用勾股定理求出临界值范围即可，②当m<n时，同①方法．【详解】（1）证明：∵CD⊥AB，∴∠CDA=∠CDB=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，∴∠A=∠BCD，∵∠CDA=∠CDB=90°，∴△ACD∽△CBD，∴CDBD∴CD∴点D是点C的“关联点”．（2）解：如图，①作线段AB的垂直平分线，交AB于点O；②以O为圆心，OA为半径作圆；③过D作DP⊥AB交⊙O于点P；④以D为圆心，DP为半径画圆，则点C在⊙D上且在直线DP右侧．连接AC、BC，△ABC即为所求，证明：∵P在以AB为直径的圆上运动，∴∠APB=90°，由（1）可知：DP∵DC=DB，∴CD（3）①当m<n时，如图所示，结合第（2）问，我们发现当点C在直线DP左侧、A的右侧时，△ACB是锐角三角形，此时AC∵DC2=DA⋅DB，且DA=m∴D在Rt△ADC1在Rt△ADC2∴mn−②当m>n时，同理可得：mn+m综上所述，mn−m2<AC<【点睛】本题主要考查了尺规作图，圆周角定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识和正确理解题意是解题的关键．【题型4与尺规作图有关的证明】【例4】（2023·江苏连云港·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边AC于点D，连接BD，过点C作CE∥

(1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作⊙O的切线，交CE于点F；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）(2)在（1）的条件下，求证：BD=BF．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据尺规作图，过点B作AB的垂线，交CE于点F，即可求解；（2）根据题意切线的性质以及直径所对的圆周角是直角，证明∠BDC=∠BFC，根据平行线的性质以及等腰三角形的性质得出BCD=∠BCF，进而证明△BCD≌【详解】（1）解：方法不唯一，如图所示．

（2）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．又∵CE∥∴∠ABC=∠BCF，∴∠BCF=∠ACB．∵点D在以AB为直径的圆上，∴∠ADB=90°，∴∠BDC=90又∵BF为⊙O的切线，∴∠ABF=90°．∵CE∥∴∠BFC+∠ABF=180°，∴∠BFC=90°，∴∠BDC=∠BFC．∵在△BCD和△BCF中，∠BCD=∠BCF,∴△BCD≌∴BD=BF．【点睛】本题考查了作圆的切线，切线的性质，直径所对的圆周角是直角，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．【变式4-1】（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，在△ABC中，D是AB中点．(1)求作：AC的垂直平分线l（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2)若l交AC于点E，连接DE并延长至点F，使EF=2DE，连接BE，CF．补全图形，并证明四边形【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了尺规作图，中位线的性质，平行四边形的判定．（1）利用尺规作图作出线段AC的垂直平分线l即可；（2）由D，E分别为AB，AC的中点，根据中位线的性质，得到DE∥BC，DE=12BC【详解】（1）解：直线l如图所示，；（2）证明：补全图形，如图，由（1）作图知，E为AC的中点，∵D，E分别为AB，AC的中点，∴DE∥BC，∵EF=2DE，即：DE=1∴EF=BC，∵EF∥∴四边形BCFE是平行四边形．【变式4-2】（2024·广东·中考真题）如图，在△ABC中，∠C=90°．

(1)实践与操作：用尺规作图法作∠A的平分线AD交BC于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法）(2)应用与证明：在（1）的条件下，以点D为圆心，DC长为半径作⊙D．求证：AB与⊙D相切．【答案】(1)见解析(2)证明见解析【分析】本题考查了尺规作角平分线，角平分线的性质定理，切线的判定等知识．熟练上述知识是解题的关键．（1）利用尺规作角平分线的方法解答即可；（2）如图2，作DE⊥AB于E，由角平分线的性质定理可得DE=DC，由DE是半径，DE⊥AB，可证AB与⊙D相切．【详解】（1）解：如图1，AD即为所作；

（2）证明：如图2，作DE⊥AB于E，

∵AD是∠CAD的平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE=DC，∵DE是半径，DE⊥AB，∴AB与⊙D相切．【变式4-3】（2023·浙江嘉兴·中考真题）已知，AB是半径为1的⊙O的弦，⊙O的另一条弦CD满足CD=AB，且CD⊥AB于点H（其中点H在圆内，且AH>BH，

(1)在图1中用尺规作出弦CD与点H（不写作法，保留作图痕迹）．(2)连结AD，猜想，当弦AB的长度发生变化时，线段AD的长度是否变化？若发生变化，说明理由：若不变，求出AD的长度；(3)如图2，延长AH至点F，使得HF=AH，连结CF，∠HCF的平分线CP交AD的延长线于点P，点M为AP的中点，连结HM，若PD=12AD【答案】(1)作图见解析(2)线段AD是定长，长度不发生变化，值为2(3)证明见解析【分析】（1）以A，B为圆心，大于12AB长为半径画弧，交点为G，连接OG，与⊙O交点为E，F，与AB交点为M，则OG⊥AB，分别以E，F为圆心，大于12EF长为半径画弧，交点为N，连接ON，则ON∥AB，以O为圆心，OM长为半径画弧与ON交点为P，则OP=OM，以P为圆心，OP长为半径画弧，交直线ON于Q，以O，Q为圆心，大于12OQ长为半径画弧，交点为R，连接PR，则PR⊥AB，（2）如图2，连结AD，连接DO并延长交⊙O于E，连结AE，AC，过O作OF⊥AB于F，ON⊥CD于N，证明四边形OFHN是正方形，则可证△ACH是等腰直角三角形，则∠C=45°，由AD=AD，可知∠E=∠C=45°，由DE是⊙O的直径，可得∠EAD=90°，则△ADE是等腰直角三角形，（3）如图3，延长CD、FP，交点为G，由题意知MH是△APF的中位线，则MH∥PF，MH=12PF，由PD=12AD，可得MD=12PD，证明△MDH∽△PDG，则MHGP=MDPD=12，即GP=2MH=PF，如图3，作△CFG的外接圆，延长CP交外接圆于点N，连结GN、FN，由CP是【详解】（1）解：如图1，CD、点H即为所求；

（2）当弦AB的长度发生变化时，线段AD的长度不变；如图2，连结AD，连接DO并延长交⊙O于E，连结AE，AC，过O作OF⊥AB于F，ON⊥CD于N，则四边形OFHN是矩形，

∵AB=CD，AB⊥CD，∴OF=ON，∴四边形OFHN是正方形，∴FH=NH，∴AF+FH=CN+NH，即AH=CH，∴△ACH是等腰直角三角形，∴∠C=45°，∵AD=∴∠E=∠C=45°，∵DE是⊙O的直径，∴∠EAD=90°，∴∠ADE=45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴AE=AD，∴AD=DE⋅sin∴线段AD是定长，长度不发生变化，值为2；（3）证明：如图3，延长CD、FP，交点为G，

∵HF=AH，∴点H为AF的中点，又∵点M为AP的中点，∴MH是△APF的中位线，∴MH∥PF，MH=1又∵PD=12AD∴MD=1∵MH∥GP，∴∠MHD=∠PGD，又∵∠MDH=∠PDG，∴△MDH∽△PDG，∴MHGP=MD如图3，作△CFG的外接圆，延长CP交外接圆于点N，连结GN、FN，∵CP是∠HCF的平分线，∴∠GCP=∠FCP，∴GN=NF，∵GP=PF，GN=NF，PN=PN，∴△GPN≌△FPNSSS∴∠GPN=∠FPN=90°，∴PF⊥CP，∵MH∥PF，∴MH⊥CP．【点睛】本题考查了作垂线，同弧或等弧所对的圆周角相等，正弦，正方形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，中位线，直径所对的圆周角为直角，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，角平分线等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．考点二考点二展开图、投影1.正方体的平面展开图正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表面展开，可以得到11种不同的展开图，把它归为四类：一四一型有6种；二三一型有3种；三三型有1种；二二二型有一种.正方体展开图口诀：

①一线不过四;田凹应弃之；

②找相对面：相间，“Z”端是对面；③找邻面：间二，拐角邻面知.2.投影定义：一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影.照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面.3.平行投影概念：由平行光线形成的投影叫做平行投影.（例如：太阳光）特征：1）等高的物体垂直地面放置时（图1），在太阳光下，它们的影子一样长.

2）等长的物体平行于地面放置时（图2），它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度.图1图24.中心投影概念：由一点发出的光线形成的投影叫做中心投影.（例如：手电筒、路灯、台灯等）

特征：1）等高的物体垂直地面放置时（图3），在灯光下离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长.2）等长的物体平行于地面放置时（图4），一般情况下离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.

图3图45.正投影概念：当平行光线垂直投影面时叫正投影.正投影的分类：线段的正投影分为三种情况.如图所示.

①线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，与线段AB的长相等；、②线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，长小于线段AB的长；③线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点.【题型5识别常见几何体的展开图】【例5】（2023·四川达州·中考真题）下列图形中，是长方体表面展开图的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根据长方体有六个面，以及Z字型进行判断即可．【详解】解：A中展开图有7个面，不符合要求；B中展开图无法还原成长方体，不符合要求；C正确，故符合要求；D中展开图有5个面，不符合要求，故选：C．【点睛】本题考查了长方体的展开图．解题的关键在于对知识的熟练掌握．【变式5-1】（2024·江苏常州·中考真题）下列图形中，为四棱锥的侧面展开图的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握几何体的展开图是解题的关键．根据棱锥的侧面展开图的特征即可得到答案．【详解】解：棱锥的侧面是三角形，故四棱锥的侧面展开图的是故选：B．【变式5-2】下列几何体中，其侧面展开图为扇形的是(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】根据特殊几何体的展开图逐一进行分析判断即可得答案．【详解】A、圆柱的侧面展开图是矩形，故A错误；B、三棱柱的侧面展开图是矩形，故B错误；C、圆锥的侧面展开图是扇形，故C正确；D、三棱锥的侧面展开图是三个三角形拼成的图形，故D错误，故选C．【点睛】本题考查了几何体的展开图，熟记特殊几何体的侧面展开图是解题关键．【变式5-3】如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色，该几何体的表面展开图是（）A．B．C． D．【答案】B【分析】由平面图形的折叠及几何体的展开图解题，注意带图案的一个面不是底面．【详解】解：选项A和C带图案的一个面是底面，不能折叠成原几何体的形式；选项B能折叠成原几何体的形式；选项D折叠后下面带三角形的面与原几何体中的位置不同．故选B．【点睛】本题主要考查了几何体的展开图.解题时勿忘记正四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形.注意做题时可亲自动手操作一下，增强空间想象能力．【题型6由展开图确定几何体】【例6】（2024·江苏扬州·中考真题）如图是某几何体的表面展开后得到的平面图形，则该几何体是（

）A．三棱锥 B．圆锥 C．三棱柱 D．长方体【答案】C【分析】本题考查了常见几何体的展开图，掌握常见几何体展开图的特点是解题的关键．根据平面图形的特点，结合立体图形的特点即可求解．【详解】解：根据图示，上下是两个三角形，中间是长方形，∴该几何体是三棱柱，故选：C．【变式6-1】（2024·山东青岛·中考真题）如图①，将边长为2的正方形纸板沿虚线剪掉边长为1的小正方形，得到如图②的“纸板卡”，若用这样完全相同的“纸板卡”拼成正方形，最少需要块；如图③，将长、宽、高分别为4，2，2的长方体砖块，切割掉长、宽、高分别为【答案】12144【分析】本题考查展开图折叠成几何体，最小公倍数等知识，先拼成一个基础图形（体），再根据正方形（体）的特征，即可解答．【详解】解：先用2个图②拼成一个长为3，宽为2的长方形，面积为6，∵2,3的最小公倍数是6，如图，∴6个这样的长方形拼成一个面积为36的正方形，此时边长为6，∴需图②的个数：6×2=12（个）；同理用2个图④拼成长，宽，高分别为4,3,2的长方体，用4×3=12个这样的长方体拼成一个长，宽，高为12，12，2的长方体，用6个这样的长方体可以拼成长，宽，高为12，12，12的正方体，此时需要：2×3×4×6=144（个）．故答案为：12；144．【变式6-2】（2022·江苏泰州·中考真题）如图为一个几何体的表面展开图，则该几何体是(

)A．三棱锥 B．四棱锥 C．四棱柱 D．圆锥【答案】B【分析】底面为四边形，侧面为三角形可以折叠成四棱锥．【详解】解：由图可知，底面为四边形，侧面为三角形，∴该几何体是四棱锥，故选：B．【点睛】本题主要考查的是几何体的展开图，熟记常见立体图形的展开图特征是解题的关键．【变式6-3】（2021·江苏扬州·中考真题）把图中的纸片沿虚线折叠，可以围成一个几何体，这个几何体的名称是（

）A．五棱锥 B．五棱柱 C．六棱锥 D．六棱柱【答案】A【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．【详解】解：由图可知：折叠后，该几何体的底面是五边形，则该几何体为五棱锥，故选A．【点睛】本题考查了几何体的展开图，掌握各立体图形的展开图的特点是解决此类问题的关键．【题型7正方体展开图的常见类型与相对面】【例7】（2022·江苏徐州·中考真题）如图，已知骰子相对两面的点数之和为7，下列图形为该骰子表面展开图的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据骰子表面展开后，其相对面的点数之和是7，逐项判断即可作答．【详解】A项，2的对面是4，点数之和不为7，故A项错误；B项，2的对面是6，点数之和不为7，故B项错误；C项，2的对面是6，点数之和不为7，故C项错误；D项，1的对面是6，2的对面是5，3的对面是4，相对面的点数之和都为7，故D项正确；故选：D．【点睛】本题主要考查了立体图形的侧面展开图的知识，解答时，找准相对面是解答本题的关键．没有共同边的两个面即为相对的面．【变式7-1】（2022·山东淄博·中考真题）经过折叠可以围成正方体，且在正方体侧面上的字恰好环绕组成一个四字成语的图形是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据正方体侧面上的字恰好环绕组成一个四字成语，即是正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，且有两组相对的面，根据这一特点作答．【详解】解∶由正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形可知，A.“心”、“想”、“事”、“成”四个字没有相对的面，故不符合题意；B.“吉”、“祥”、“如”、“意”四个字没有相对的面，故不符合题意；C.“金”与“题”相对，“榜”、“名”是相对的面，故符合题意；D.“马”、“到”、“成”、“功”四个字没有相对的面，故不符合题意；故选∶C．【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，明确正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形是解题的关键．【变式7-2】（2023·山东青岛·中考真题）一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，其展开图如图①所示．在一张不透明的桌子上，按图②方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体，则该几何体能看得到的面上数字之和最小是（）

A．31 B．32 C．33 D．34【答案】B【分析】根据正方体展开图的特征，得出相对面上的数字，再结合正方体摆放方式，得出使该几何体能看得到的面上数字之和最小，则看不见的面数字之和要最大，即可解答．【详解】解：由图①可知：1的相对面是3，2的相对面是4，5的相对面是6，由图2可知：要使该几何体能看得到的面上数字之和最小，则看不见的面数字之和要最大，上面的正方体有一个面被遮住，则这个面数字为6，能看见的面数字之和为：1+2+3+4+5=15；左下的正方体有3个面被遮住，其中两个为相对面，则这三个面数字分别为4，5，6，能看见的面数字之和为：1+2+3=6；右下的正方体有2个面被遮住，这两个面不是相对面，则这两个面数字为4，6，能看见的面数字之和为：1+2+3+5=11；∴能看得到的面上数字之和最小为：15+6+11=32，故选：B．【点睛】本题主要考查了正方体的相对面，掌握正方体展开图中“相间一行是相对面”，是解题的关键．【变式7-3】如图给定的是纸盒的外表面，下面能由它折叠而成的是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】将A、B、C、D分别展开，能和原图相对应的即为正确答案：【详解】A、展开得到，不能和原图相对应，故本选项错误；B、展开得到

，能和原图相对，故本选项正确；C、展开得到

，不能和原图相对应，故本选项错误；D、展开得到

，不能和原图相对应，故本选项错误故选B【题型8平行投影与中心投影】【例8】（2020·贵州安顺·中考真题）在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形的可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了平行投影特点，熟练掌握平行投影的特点是解题的关键；平行投影特点是在同一时刻，不同物体的影子同向，且不同物体的物高和影长成比例．根据平行投影特点结合选项判断即可．【详解】解：A、影子的方向不相同，故本选项错误；B、影子的方向不相同，故本选项错误；C、相同树高与影子是成正比的，较高的树的影子长度小于较低的树的影子，故本选项错误；D、影子平行，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，故本选项正确；故选：D．【变式8-1】（2024·江苏常州·中考真题）下面是一天中四个不同时刻两个建筑物的影子：将它们按时间先后顺序进行排列，正确的是（

）A．③④②① B．②④③① C．③④①② D．③①②④【答案】C【分析】根据影子变化规律可知道时间的先后顺序．【详解】解：从早晨到傍晚物体的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再变长．所以正确的是③④①②．故选：C．【点睛】本题考查平行投影的特点和规律．在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚物体的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再变长．【变式8-2】（2021·江苏南京·中考真题）如图，正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】因为中心投影物体的高和影长成比例，正确的区分中心投影和平行投影，依次分析选项即可找到符合题意的选项【详解】因为正方形的对角线互相垂直，且一条对角线垂直地面，光源与对角线组成的平面垂直于地面，则有影子的对角线仍然互相垂直，且由于光源在平板的上方，则上方的边长影子会更长一些，故选D【点睛】本题考查了中心投影的概念，应用，利用中心投影的特点，理解中心投影物体的高和影长成比例是解题的关键．【变式8-3】（2022·浙江温州·中考真题）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA,OB，此时各叶片影子在点M右侧成线段CD，测得MC=8.5m,CD=13m，垂直于地面的木棒EF与影子FG的比为2∶3，则点O，M之间的距离等于【答案】1010+【分析】过点O作AC、BD的平行线，交CD于H，过点O作水平线OJ交BD于点J，过点B作BI⊥OJ，垂足为I，延长MO，使得OK＝OB，求出CH的长度，根据EFFG=OMMH=23，求出OM的长度，证明△BIO∽△JIB，得出BI=23IJ，【详解】如图，过点O作AC、BD的平行线，交CD于H，过点O作水平线OJ交BD于点J，过点B作BI⊥OJ，垂足为I，延长MO，使得OK＝OB，由题意可知，点O是AB的中点，∵OH∥AC∥BD，∴点H是CD的中点，∵CD=13m∴CH=HD=1∴MH=MC+CH=8.5+6.5=15m又∵由题意可知：EFFG∴OM15=2∴点O、M之间的距离等于10m∵BI⊥OJ，∴∠BIO=∠BIJ=90°，∵由题意可知：∠OBJ=∠OBI+∠JBI=90°，又∵∠BOI+∠OBI=90°，∴∠BOI=∠JBI，∴△BIO∽△JIB，∴BIIJ∴BI=23IJ∵OJ∥CD,OH∥DJ，∴四边形OHDJ是平行四边形，∴OJ=HD=6.5m∵OJ=OI+IJ=4∴IJ=4.5m，BI=3m，∵在Rt△OBI中，由勾股定理得：OB∴OB=O∴OB=OK=13∴MK=MO+OK=10+∴叶片外端离地面的最大高度等于10+13故答案为：10，10+13【点睛】本题主要考查了投影和相似的应用，及勾股定理和平行四边形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．考点三考点三几何体的三视图1.三视图的概念：一个物体在三个投影面内同时进行正投影，①在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；②在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；③在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图.主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图.

2.三视图之间的关系：1）位置关系：三视图的位置是有规定的，主视图要在左边，它的下方应是俯视图，左视图在其右边，2）大小关系：三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等的原则.

3.画几何体三视图的基本方法：画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体

1）确定主视图的位置，画出主视图；

2）在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；

3）在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”.

【注意】几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线.4.由三视图确定几何体的方法：1）由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．2）由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析：①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高；②从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线；③熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助.利用三视图计算几何体面积的方法：利用三视图先想象出实物形状，再进一步画出展开图，然后计算面积.【题型9已知几何体判定三视图】【例9】（2024·内蒙古·中考真题）如图所示的几何体，其主视图是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了主视图“从正面观察物体所得到的视图是主视图”，熟记主视图的定义是解题关键．根据主视图的定义求解即可得．【详解】解：这个几何体的主视图是故选：A．【变式9-1】（2024·吉林长春·中考真题）南湖公园是长春市著名旅游景点之一，图①是公园中“四角亭”景观的照片，图②是其航拍照片，则图③是“四角亭”景观的（）．A．主视图 B．俯视图 C．左视图 D．右视图【答案】B【分析】本题主要考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图的定义是解决本题的关键．根据三视图主视图、俯视图、左视图的定义即可解答．【详解】解：由题意可知图③是从“四角亭”上方看到的，即为俯视图．故选B．【变式9-2】（2024·吉林·中考真题）葫芦在我国古代被看作吉祥之物．下图是—个工艺葫芦的示意图，关于它的三视图说法正确的是（

）A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同C．左视图与俯视图相同 D．主视图、左视图与俯视图都相同【答案】A【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据三视图的定义找到葫芦的三视图即可得到答案．【详解】解：葫芦的俯视图是两个同心圆，且带有圆心，主视图和左视图都是下面一个较大的圆，中间一个较小的圆，上面是一条线段，故选：A．【变式9-3】（2024·宁夏·中考真题）用5个大小相同的小正方体搭一个几何体，其主视图、左视图如图2，现将其中4个小正方体按图1方式摆放，则最后一个小正方体应放在（）A．①号位置 B．②号位置 C．③号位置 D．④号位置【答案】B【分析】本题考查了由三视图判断几何体，掌握简单组合体三视图的画法和形状是正确解答的关键．根据题意主视图和左视图即可得到结论．【详解】据主视图、左视图可知，最后一个小正方体应放在②号位置．故选：B【题型10根据视图判断几何体的组成】【例10】（2024·山东东营·中考真题）某几何体的俯视图如图所示，下列几何体（箭头所示为正面）的俯视图与其相同的是（

）A．B．C． D．【答案】C【分析】本题考查了三视图的判断，根据图形特点，正确的确定出俯视图是关键．首先由俯视图可知该几何体共两列，左边一列最底层共三个正方体，右边一列最底层共一个正方体，找出正确的答案即可．【详解】解：由俯视图可知该几何体共两列，左边一列最底层共三个正方体，右边一列最底层共一个正方体，由此可得只有C符合题意，故选：C．【变式10-1】（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）下图是某几何体的三视图，则这个几何体是（

）

A．

B．

C．D．

【答案】C【分析】认真观察三视图结合选项确定正确的答案即可．【详解】解：结合三视图发现：该几何体为圆柱和长方体的结合体，故选：C．【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是有足够的空间想象能力，掌握三视图的定义.【变式10-2】（2021·广西·中考真题）如图是一个几何体的主视图，则该几何体是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．依题意，由几何体的主视图即可判断该几何体的形状．【详解】解：由该几何体的主视图可知，该几何体是选项C中的图形．故选：C．【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也考查了空间想象能力．【变式10-3】（2023·四川眉山·中考真题）由相同的小正方体搭成的立体图形的部分视图如图所示，则搭成该立体图形的小正方体的最少个数为（

）

A．6 B．9 C．10 D．14【答案】B【分析】根据俯视图可得底层最少有6个，再结合左视图可得第二层最少有2个，即可解答．【详解】解：根据俯视图可得搭成该立体图形的小正方体第三层最少为6个，根据左视图第二层有2个，可得搭成该立体图形的小正方体第二层最少为2个，根据左视图第三层有1个，可得搭成该立体图形的小正方体第三层最少为1个，故搭成该立体图形的小正方体最少为6+2+1=9个，故选：B．【点睛】本题考查了由三视图判断小立方体的个数，准确地得出每层最少的小正方体个数是解题的关键．【题型11利用三视图计算几何体的面积或体积】【例11】（2021·山东菏泽·中考真题）如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据计算这个几何体的体积为（

）A．12π B．18π C．24π D．30π【答案】B【分析】根据三视图可以确定该几何体是空心圆柱体，再利用已知数据计算空心圆柱体的体积．【详解】解：先由三视图确定该几何体是空心圆柱体，底面外圆直径是4，内圆直径是2，高是6．空心圆柱体的体积为π×(42)2×6-π×故选：B．【点睛】本题主要考查由三视图确定几何体和求圆柱体的体积，考查学生的空间想象．【变式11-1】某几何体的三视图如图所示，则下列说法错误的是（

）A．该几何体是长方体B．该几何体的高是3C．底面有一边的长是1D．该几何体的表面积为18平方单位【答案】D【分析】根据几何体的三视图判断出几何体的形状，然后根据数据进行表面积计算即可.【详解】解：A、该几何体是长方体，正确；B、该几何体的高为3，正确；C、底面有一边的长是1，正确；D、该几何体的表面积为：2×1×2+2×3+1×3故选D．【点睛】本题考查的是几何体的三视图，熟练掌握几何体的三视图是解题的关键.【变式11-2】（2020·湖南怀化·中考真题）如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是（结果保留π）．【答案】24πcm²【分析】根据三视图确定该几何体是圆柱体，再计算圆柱体的侧面积．【详解】解：先由三视图确定该几何体是圆柱体，底面半径是4÷2=2cm，高是6cm，圆柱的侧面展开图是一个长方形，长方形的长是圆柱的底面周长，长方形的宽是圆柱的高，且底面周长为：2π×2=4π(cm)，∴这个圆柱的侧面积是4π×6=24π(cm²)．故答案为：24πcm²．【点睛】此题主要考查了由三视图确定几何体和求圆柱体的侧面积，关键是根据三视图确定该几何体是圆柱体．【变式11-3】如图，一个几何体由5个大小相同、棱长为1的小正方体搭成，下列关于这个几何体的说法正确的是（）A．主视图的面积为5 B．左视图的面积为3C．俯视图的面积为3 D．三种视图的面积都是4【答案】B【分析】先得出这个几何体的三视图（主视图、左视图、俯视图），再根据正方形的面积计算即可．【详解】这个几何体的三视图如下：A、从正面看，可以看到4个正方形，面积为4，此项错误B、从左面看，可以看到3个正方形，面积为3，此项正确C、从上面看，可以看到4个正方形，面积为4，此项错误D、三种视图的面积不相同，此项错误故选：B．【点睛】本题考查了三视图（主视图、左视图、俯视图），掌握三视图的相关概念是解题关键．【新考向：新考法】1．（2022·湖北恩施·中考真题）下图是一个正方体纸盒的展开图，将其折叠成一个正方体后，有“振”字一面的相对面上的字是（

）A．“恩” B．“乡” C．“村” D．“兴”【答案】D【分析】根据正方体的平面展开图的特点即可得．【详解】解：由正方体的平面展开图的特点得：“恩”字与“乡”字在相对面上，“施”字与“村”字在相对面上，“振”字与“兴”字在相对面上，故选：D．【点睛】本题考查了正方体的平面展开图，熟练掌握正方体的平面展开图的特点是解题关键．2．（2023·湖南·中考真题）作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图是从左面看到的图形的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查了从三个方面看物体，准确把握从正面、左面和上面三个方向看立体图形得到的平面图形是解决问题的关键．从正面、左面和上面三个方向看立体图形得到的平面图形，注意所有的看到的或看不到的棱都应表现在视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线．【详解】解：从左面看，得到的平面图形是，故选：B．【新考向：新趋势】1．请写出一个主视图、左视图和俯视图完全一样的几何体．【答案】正方体（答案不唯一）【分析】本题考查学生对三视图的掌握程度以及灵活运用能力．主视图、左视图、俯视图是物体分别从正面、左面和上面看，所得到的图形．【详解】解：球的三视图都为圆；正方体的三视图都为正方形．故答案为：正方体（答案不唯一）．2．春蕾数学兴趣小组用一块正方形木板在阳光做投影实验，这块正方形木板在地面上形成的投影是可能是（写出符合题意的两个图形即可）【答案】正方形、菱形（答案不唯一）．【详解】解：根据平行投影的特点：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行．所以，在同一时刻，这块正方形木板在地面上形成的投影是平行四边形或特殊的平行四边形，例如，正方形、菱形（答案不唯一）．故答案为：正方形、菱形（答案不唯一）．3．如图，平面内的两条直线l1、l2,点A、B在直线l2上，过点A、B两点分别作直线l1的垂线，垂足分别为A1、B1，我们把线段A1B1叫做线段AB在直线l2上的正投影，其长度可记作T（AB，CD）或T（AB，l2）,特别地，线段AC在直线l2上的正投影就是线段A1C，请依据上述定义解决如下问题.（1）如图1，在锐角△ABC中，AB=5，T（AC，AB）=3，则T（BC，AB）=；（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，T（AC，AB）=4，T（BC，AB）=9，求△ABC的面积；（3）如图3，在钝角△ABC中，∠A=60°，点D在AB边上，∠ACD=90°，T（AD，AC）=2，T（BC，AB）=6，求T（BC，CD）.【答案】（1）2；（2）△ABC的面积=39；（3）T（BC，CD）=7【分析】(1)如图1，过C作CH⊥AB，根据正投影的定义求出BH的长即可；(2)如图2，过点C作CH⊥AB于H，由正投影的定义可知AH=4，BH=9，再根据相似三角形的性质求出CH的长即可解决问题；(3)如图3，过C作CH⊥AB于H，过B作BK⊥CD于K，求出CD、DK即可得答案.【详解】(1)如图1，过C作CH⊥AB，垂足为H，∵T(AC，AB)=3，∴AH=3，∵AB=5，∴BH=AB-AH=2，∴T(BC，AB)=BH=2，故答案为2；(2)如图2，过点C作CH⊥AB于H，则∠AHC=∠CHB=90°，∴∠B+∠HCB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠B+∠A=90°∴∠A=∠HCB，∴△ACH∽△CBH，∴CH：BH=AH：CH，∴CH2=AH·BH，∵T(AC，AB)=4，T(BC，AB)=9，∴AH=4，BH=9，∴AB=AH+BH=13，CH=6，∴S△ABC=(AB·CH)÷2=13×6÷2=39；(3)如图3，过C作CH⊥AB于H，过B作BK⊥CD于K，∵∠ACD=90°，T(AD，AC)=2，∴AC=2，∵∠A=60°，∴∠ADC=∠BDK=30°，∴CD=AC·tan60°=23，AD=2AC=4，AH=12∴DH=4-1=3，∵T(BC，AB)=6，CH⊥AB，∴BH=6，∴DB=BH-DH=3，在Rt△BDK中，∠K=90°，BD=3，∠BDK=30°，∴DK=BD·cos30°=33∴T(BC，CD)=CK=CD+DK=3+323=

【点睛】本题是三角形综合题，考查了正投影的定义，解直角三角形，相似三角形的判定与性质等知识，理解题意，正确添加辅助线，构建直角三角形是解题问题的关键.【新考向：新情境】1．定义：两组邻边对应相等的四边形为筝形．如图，在筝形ABCD中，AB=AD，BC=CD，请利用尺规（无刻度的直尺和圆规），在筝形ABCD中找一点P，连接PB、PD，使折线BPD将筝形【答案】见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，作垂线，中线等知识．熟练掌握作垂线，中线是解题的关键．作出AC的中点P，连接BP、DP，则折线BPD将筝形ABCD的面积等分．【详解】解：如图，连接AC，作AC的垂直平分线，交AC于P，连接PB、PD，∴AP=CP，∴S△ABP=S∵S△ABP+S∴S△ABP=S∵AB=AD，BC=CD，∴△ABC≌△ADCSSS∴S△ABC∴S△ABP∴S四边形∴折线BPD即为所作．2．定义：自一点引出的两条射线分别经过已知线段的两端点，则这两条射线所成的角称为该点对已知线段的视角，如图①，∠APB是点P对线段AB的视角．问题：如图②，已知线段AB与直线l，在直线l上取一点P，使点P对线段AB的视角最大．小明的分析思路如下：过A、B两点，作⊙O使其与直线l相切，切点为P，则点P对线段AB的视角最大，即∠APB最大．小明的证明过程：为了证明点P的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点Q，连接AQ、BQ，如图②，设直线BQ交圆O于点H，连接AH，则∠APB=∠AHB．（依据1）∵∠AHB=∠AQH+∠QAH．（依据2）∴∠APB=∠AQH+∠QAH∴∠APB>∠AQH所以，点P对线段AB的视角最大．(1)请写出小明证明过程中的依据1和依据2；依据1：________________________________________依据2：________________________________________(2)应用：在足球电子游戏中，足球队球门的视角越大，越容易被踢进，如图③，A、B是足球门的两端，线段AB是球门的宽，CD是球场边线，∠ADC是直角，EF⊥CD．①若球员沿EF带球前进，记足球所在的位置为点P，在图③中，用直尺和圆规在EF上求作点P，使点P对AB的视角最大（不写作法，保留作图痕迹）．②若AB=10，DE=25，直接写出①中所作的点P对AB的最大视角的度数（参考数据：sin67°≈【答案】(1)同弧所对的圆周角相等；三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和(2)①见解析；②23°【分析】（1）根据圆周角定理，三角形外角的性质，即可求解；（2）①作线段AB的垂直平分线交EF于点P，点P即为所求；②过A、B两点，作⊙O使其与直线EF相切，切点为P，设OP交AB于点M，设OA=OP=OB=x，则OP⊥EF，可得四边形DEPM是矩形，从而得到PM=DE=25，OM⊥AB，在Rt△BOM中，根据勾股定理，可得OM=12，从而得到∠ABO=67°，进而得到∠AOB=180−67−67=46°【详解】（1）解：在直线l上另外任取一点Q，连接AQ、BQ，如图②，设直线BQ交圆O于点H，连接AH，则∠APB=∠AHB．（同弧所对的圆周角相等）∵∠AHB=∠AQH+∠QAH．（三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和．）∴∠APB=∠AQH+∠QAH∴∠APB>∠AQH，所以，点P对线段AB的视角最大．（2）解：①如图，作线段AB的垂直平分线交EF于点P，点P即为所求．②过A、B两点，作⊙O使其与直线EF相切，切点为P，设OP交AB于点M，设OA=OP=OB=x，则OP⊥EF，∴∠DMP=∠D=∠DEP=90°，∴四边形DEPM是矩形，∴PM=DE=25，OM⊥AB，∴OM=25−x，BM=1在Rt△BOM中，O∴52∴x=13，∴OM=12，∴OM:BM=2.4，∵tan∴∠ABO=67°，∴∠AOB=180−67−67=46°，∴∠APB=1∴最大视角是23°．【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了解直角三角形、直线和圆相切等，这种新定义类的题目，通常按照题设的顺序求解，一般比较容易解答．3．综合与实践．【实践背景】人体工学座椅通常具有可调节的功能，座椅的倾斜度、高度和深度等都可以根据使用者的需求进行调整．座椅在如图1的形态下，靠背与座面基本垂直，脚板收拢于座面下方，其结构简图如图3所示．【实践操作】现需要将座椅从图1的形态变成适合小李的图2的形态，使得靠背AE与脚板BF平行，请在图4中用尺规作图法画出脚板BF；（保留作图痕迹，不要求写出作法）【升级设计】如图5，现将上述座椅简图置于平面直角坐标系中，把靠背AE由直变曲，并赋予座面AB一定的座位深度，使其不再与地面平行．其中曲线AE是二次函数的部分图象，点A为顶点：线段AB=582cm（实际生产时取（1）求该二次函数的解析式；（2）如果座椅两扶手之间相距60cm【答案】（实践操作）见解析；（升级设计）（1）y=9【分析】该题主要考查了尺规作图，待定系数法求二次函数解析式和二次函数的图象和性质，长方体的展开图等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．（实践操作）根据尺规作平行线的方法作图即可；（升级设计）（1）根据待定系数法求解即可；（2）根据题意得出当座椅位于图3位置时，体积最小，画图即可．【详解】（实践操作）解：如图所示，BF即为所求．（升级设计）（1）解：∵点A50,40∴可设二次函数的表达式为y=ax−50把E70,130代入表达式，得130=a解得：a=9∴二次函数的表达式为y=9（2）解：根据题意可得，当座椅位于图3位置时，体积最小，此时，所需的长方体的长宽高分别是70−50−45设计图如图所示．【新考向：跨学科】1．手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，图1中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁4米，爸爸拿着的光源与小明的距离为2米，如图2所示．若在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，则光源与小明的距离应（

）A．增加0.5米 B．增加1米 C．增加2米 D．减少1米【答案】C【分析】本题考查了中心投影、相似三角形的判定与性质，解题是关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解答问题，根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质构建方程求解即可．【详解】解：如图：点O为光源，AB为小明的手，CD表示小狗手影，则AB∥CD，作OE⊥AB，延长OE交CD于F，则OF⊥CD，，∵AB∥CD，∴∠OAB=∠OCD，∠OBA=∠ODC，∴△OAB∽△OCD，∴ABCD∵OE=2米，OF=6米，∴ABCD令AB=k，则CD=3k，∵在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，如图，，即AB=k，C′D′∴ABC′D∴OE∴光源与小明的距离应增加4−2=2米，故选：C．2．手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的．图中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁1米，爸爸拿着的光源与小明的距离为2米．在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离应（

）

A．减少32米 B．增加32米 C．减少53米 【答案】A【分析】根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质构建方程求解即可．【详解】解：如图，点O为光源，AB表示小明的手，CD表示小狗手影，则AB∥CD，过点O作OE⊥AB，延长OE交CD于F，则OF⊥CD，

∵AB∥CD，∴△AOB∽△COD，则ABCD∵EF=1米，OE=2米，则OF=3米，∴ABCD设AB=2k，CD=3k∵在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，如图，

即AB=2k，C′D′=6k∴ABC则O′∴O′∴光源与小明的距离变化为：OE−O故选：A．【点睛】此题考查了中心投影，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解答问题．1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图是由七个完全相同的小正方体组成的立体图形，选项给出的四个平面图形中不属于其三视图的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据立方体的结构，按照三视图的要求判断选项中是否是三视图．【详解】A项为左视图，B项为俯视图，C项不属于三视图，D项为主视图，故选：C．【点睛】本题主要考查了立体图形的三视图问题，主要训练学生的空间想象力．2．（2024·四川达州·中考真题）如图，正方体的表面展开图上写有“我们热爱中国”六个字，还原成正方体后“我”的对面的字是（

）

A．热 B．爱 C．中 D．国【答案】B【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，据此作答即可．【详解】解：正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，则与“我”字相对的字是“爱”，与“们”字相对的字是“中”，与“国”字相对的字是“热”，故选：B．3．（2024·北京·中考真题）下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法.（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；（2）作射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C（3）过点D′作射线O′B

上述方法通过判定△C′O′D′≌△CODA．三边分别相等的两个三角形全等B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等【答案】A【分析】根据基本作图中，判定三角形全等的依据是边边边，解答即可.本题考查了作一个角等于已知角的基本作图，熟练掌握作图的依据是解题的关键.【详解】解：根据上述基本作图，可得OC=O故可得判定三角形全等的依据是边边边，故选A.4．（2005·广东深圳·中考真题）如图是胡老师画的一幅写生画，四位同学对这幅画的作画时间作了猜测.根据胡老师给出的方向坐标，猜测比较合理的是（）A．小明：“早上8点” B．小亮：“中午12点”C．小刚：“下午5点” D．小红：“什么时间都行”【答案】C【详解】可根据平行投影的特点分析求解，或根据常识直接确定答案．解：根据题意：影子在物体的东方，根据北半球，从早晨到傍晚影子的指向是：西-西北-北-东北-东，可得应该是下午．故选C．本题考查了平行投影的特点和规律．在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚影子的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再变长．5．（2023·湖北黄石·中考真题）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于12BC的长为半径画弧，两弧相交于E，F两点，EF和BC交于点O；②以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D；③分别以点D，C为圆心，大于12CD的长为半径画弧，两弧相交于点M﹐连接AM，AM和CD交于点N，连接ON若

A．2 B．52 C．4 D．【答案】A【分析】利用三角形中位线定理以及线段的垂直平分线的性质求解．【详解】解：由作图可知EF垂直平分线段BC，AM垂直平分线段CD，∴OB=OC，∴ON=1∵AB=9，∴BD=AB−AD=9−5=4，∴ON=1故选：A．【点睛】本题考查作图-基本作图，三角形中位线定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．6．（2020·内蒙古呼和浩特·中考真题）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为．【答案】3π+4【分析】首先根据三视图判断几何体的形状，然后计算其表面积即可．【详解】解：观察该几何体的三视图发现其为半个圆柱，半圆柱的直径为2，高为1，故其表面积为：π×12+（π+2）×2=3π+4，故答案为：3π+4．【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是首先根据三视图得到几何体的形状，难度不大．7．（2023·四川·中考真题）如图，a∥b，直线l与直线a，b分别交于B，A两点，分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线EF，分别交直线a，b于点C，D，连接AC，若∠CDA=34°，则

【答案】56°/56度【分析】先判断EF为线段AB的垂直平分线，即可得∠CAB=∠CBA，∠ACD=∠BCD，再由a∥b，可得∠CDA=∠BCD=34°，即有∠ACD=∠BCD=34°，利用三角形内角和定理可求【详解】解：由作图可知EF为线段AB的垂直平分线，∴AC=BC，∴∠CAB=∠CBA，∠ACD=∠BCD，∵a∥∴∠CDA=∠BCD=34°，∴∠ACD=∠BCD=34°，∵∠ACD+∠BCD+∠CAB+∠CBA=180°，∴∠CAB=56°，故答案为：56°．【点睛】本题考查了垂直平分线的作图、垂直平分线的性质、平行线的性质以及三角形内角和定理等知识，判断EF为线段AB的垂直平分线是解答本题的关键．8．如图，小明将一张正方形包装纸，剪成图1所示形状，用它包在一个棱长为10dm的