第27讲 解直角三角形（讲义）【2大考点12大题型】（举一反三）（原卷版）-2025年中考数学一轮复习（全国版）

第第页第27讲解直角三角形【2大考点12大题型】考点一考点一锐角的三角函数1.锐角三角函数在中，，则的三角函数为定义表达式取值范围关系正弦(∠A为锐角)余弦(∠A为锐角)正切(∠A为锐角)2.特殊角的三角函数值三角函数30°45°60°1【题型1求角的三角函数值】【例1】（2024·四川资阳·中考真题）第14届国际数学教育大会（JCME−14）会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若EF：AH=1：3，则A．55 B．35 C．45【变式1-1】（2024·云南·中考真题）在△ABC中，若∠B=90°,AB=3,BC=4，则tanA=（

A．45 B．35 C．43【变式1-2】（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在矩形ABCD中，E,F是边BC上两点，且BE=EF=FC，连接DE,AF,DE与AF相交于点G，连接BG．若AB=4，BC=6，则sin∠GBF的值为（

A．1010 B．31010 C．1【变式1-3】（2024·四川达州·中考真题）如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2，∠ABD=120°，其中点A，B，C都在格点上，则tan∠BCD的值为（

A．2 B．23 C．32【题型2由角的三角函数值求边长】【例2】（2024·山东泰安·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，AH是⊙O的切线，点C为⊙O上任意一点，点D为AC的中点，连接BD交AC于点E，延长BD与AH相交于点F，若DF=1，tanB=12，则AE

【变式2-1】（2023·四川南充·中考真题）如图，小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达B处，再向正北方向走到C处，已知∠BAC=α，则A，C两处相距（

）

A．xsinα米 B．xcosα米 C．x⋅sin【变式2-2】（2023·山东·中考真题）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D，E在边BC上，若∠DAE=30°，tan∠EAC=1

【变式2-3】（2023·四川巴中·中考真题）如图，已知正方形ABCD和正方形BEFG，点G在AD上，GF与CD交于点H，tan∠ABG=12，正方形ABCD的边长为8，则BH

【题型3求特殊角的三角函数值】【例3】（2020·四川攀枝花·中考真题）计算：sin60°=．【变式3-1】（2025·上海闵行·一模）用含特殊锐角的三角比的式子表示：2=【变式3-2】（2024·上海·模拟预测）正二十边形中心角的正弦值为【变式3-3】（2024·天津·中考真题）2cos45∘A．0 B．1 C．22−1 【题型4含特殊角的三角函数值的混合运算】【例4】（2024·广东深圳·中考真题）计算：−2⋅cos【变式4-1】（2024·四川遂宁·中考真题）计算：sin45°+【变式4-2】（2024·黑龙江大庆·中考真题）求值：3−2【变式4-3】（2024·四川广元·中考真题）计算：2024−π【题型5由特殊角的三角函数值判断三角形形状】【例5】（2024·安徽芜湖·一模）在△ABC中，2cosA−22+1−A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形【变式5-1】在△ABC中，∠C，∠B为锐角，且满足sinC−22＋(32－cosB)2A．100° B．105° C．90° D．60°【变式5-2】在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，若sinA=32，cosB=12，则△ABC的形状为【变式5-3】（2021·贵州黔西·模拟预测）在△ABC中，若∠A，∠B都是锐角，且sinA=12，cosB=1A．钝角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形【题型6利用三角函数间的关系求解】【例6】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°(1)求证：sin2(2)若sinB+cosB=【变式6-1】计算：sin²48°+sin【变式6-2】如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在边AC上，满足BC2=CD⋅AC，若sin∠A=cos【变式6-3】若a为锐角．(1)求证：①sinα=cos90(2)试求：sin2考点二考点二解直角三角形及其应用1.解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：sinA＝eq\f(∠A的对边,斜边)＝eq\f(a,c)cosA＝eq\f(∠A的邻边,斜边)＝eq\f(b,c)tanA＝eq\f(∠A的对边,∠A的邻边)＝eq\f(a,b)④S△ABC=12ab=122.解直角三角形的应用（1）坡度坡角在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：

坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角.

坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离l的比叫做坡度，用字母i表示，则i=hl（2）仰角俯角问题仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角（3）方位角问题方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角.

方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.【题型7网格中解直角三角形】【例7】新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，已知在5×5的网格图形中，△ABC的顶点A、B、C都在格点上．请按要求完成下列问题：(1)S△ABC=；sin(2)请仅用无刻度的直尺在线段AB上求作一点P，使S△ACP【变式7-1】如图是由六个全等的菱形组成的网格图，菱形的顶点称为格点，A、O、B、C均在格点上，当菱形的边长为1且∠AOB=60°时，则sin∠BAC=【变式7-2】如图，A，B，C，D均为正方形网格中的格点，AB,CD相交于点E，则tan∠AEC=（

A．2 B．3 C．3 D．2+【变式7-3】图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，所画三角形的面积均为152(1)在图①中画一个△ABC，使tanA=1(2)在图②中画一个△ABD，使tanA=(3)在图③中画一个△ABE，使tanA=【题型8构造直角三角形解直角三角形】【例8】（2024·广东广州·一模）已知在四边形ABCD中，∠BAD=75°，∠ABC=∠ADC=90°，AB=BC=42（1）CD的长是；（2）若E是CD边上一个动点，连接AE，过点D作DF⊥AE，垂足为点F，在AF上截取FP=FD，当△PBC的面积最小时，点P到BC的距离是【变式8-1】如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AB=7，BC=9，CD=3，则四边形ABCD的面积为（

）

A．48 B．50 C．52 D．54【变式8-2】（2022·湖北荆门·中考真题）如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未曾受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为120m的正方形，且每一个侧面与地面成60°角，则金字塔原来高度为(

)

A．120m B．603m C．605m D．1203m【变式8-3】如图，将45°的∠AOB按图摆放在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2cm，若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为cm（结果精确到0.1cm，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，

【题型9仰角、俯角问题】【例9】（2024·天津·中考真题）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔AB的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点C,D,E依次在同一条水平直线上，DE=36 m,EC⊥AB，垂足为C．在D处测得桥塔顶部B的仰角（∠CDB）为45°，测得桥塔底部A的俯角（∠CDA）为6°，又在E处测得桥塔顶部B的仰角（∠CEB）为(1)求线段CD的长（结果取整数）；(2)求桥塔AB的高度（结果取整数）．参考数据：tan31°≈0.6,【变式9-1】（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点A测得该楼顶部点C的仰角为60°，测得底部点B的俯角为45°，点A与楼BC的水平距离AD=50m，则这栋楼的高度为【变式9-2】（2024·新疆·中考真题）数学活动课上为了测量学校旗杆的高度，某小组进行了以下实践活动：（1）准备测量工具①测角仪：把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪（图1），利用它可以测量仰角或俯角；②皮尺．（2）实地测量数据①将这个测角仪用手托起，拿到眼前，使视线沿着测角仪的直径刚好到达旗杆的最高点（图2）；②用皮尺测出所站位置到旗杆底部的距离为16.8m，眼睛到地面的距离为1.6（3）计算旗杆高度①根据图3中测角仪的读数，得出仰角α的度数为；②根据测量数据，画出示意图4，AB=1.6m,BC=16.8m，求旗杆CD的高度（精确到0.1m）；（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70③若测量者仍站在原处（B点），能否用三角板替代测角仪测出仰角α？若能，请写出测量方法；若不能，该如何调整位置才能用三角板测出仰角α，请写出测量方法．【变式9-3】（2023·湖北黄石·中考真题）如图，某飞机于空中A处探测到某地面目标在点B处，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看到点B的俯角为37°飞机保持飞行高度不变，且与地面目标分别在两条平行直线上同向运动．当飞机飞行943米到达点D时，地面目标此时运动到点E处，从点E看到点D的仰角为47.4°，则地面目标运动的距离BE约为米．（参考数据：tan37°≈

【题型10方位角问题】【例10】（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，CD是一座南北走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路l上由北向南行驶，在A处测得桥头C在南偏东30°方向上，继续行驶1500米后到达B处，测得桥头C在南偏东60°方向上，桥头D在南偏东45°方向上，求大桥CD的长度．（结果精确到1米，参考数据：3≈1.73【变式10-1】（2024·重庆·中考真题）如图，A，B，C，D分别是某公园四个景点，B在A的正东方向，D在A的正北方向，且在C的北偏西60°方向，C在A的北偏东30°方向，且在B的北偏西15°方向，AB=2千米．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，

(1)求BC的长度（结果精确到0.1千米）；(2)甲、乙两人从景点D出发去景点B，甲选择的路线为：D−C−B，乙选择的路线为：D−A−B．请计算说明谁选择的路线较近？【变式10-2】（2024·四川宜宾·中考真题）宜宾地标广场位于三江汇合口（如图1，左侧是岷江，右侧是金沙江，正面是长江）．某同学在数学实践中测量长江口的宽度，他在长江口的两岸选择两个标点C、D，在地标广场上选择两个观测点A、B（点A、B、C、D在同一水平面，且AB∥CD）．如图2所示，在点A处测得点C在北偏西18.17°方向上，测得点D在北偏东21.34°方向上；在B处测得点C在北偏西21.34°方向上，测得点D在北偏东18.17°方向上，测得AB=100米．求长江口的宽度CD的值（结果精确到1米）．（参考数据：sin18.17°≈0.31，cos18.17°≈0.95，tan18.17°≈0.33，sin21.34°≈0.36，【变式10-3】（2024·江苏连云港·中考真题）图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为22km，南门O设立在A6A(1)∠CA1A2=__________°(2)求点A1到道路BC(3)若该小组成员小李出南门O后沿道路MB向东行走，求她离B处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响？（结果精确到0.1km，参考数据：2≈1.41，sin76°≈0.97，tan76°≈4.00，【题型11坡度坡比问题】【例11】（2024·四川眉山·中考真题）如图，斜坡CD的坡度i=1:2，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树AB，当太阳光与水平面的夹角为60°时，大树在斜坡上的影子BE长为10米，则大树AB的高为米．【变式11-1】（2022·贵州毕节·中考真题）如图，某地一座建筑物的截面图的高BC=5m，坡面AB的坡度为1:3，则AB的长为（A．103m B．10m C．5m【变式11-2】（2024·四川广安·中考真题）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在某地安装了一批风力发电机，如图（1）某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图（2）为测量示意图（点A，B，C，D均在同一平面内，AB⊥BC）．已知斜坡CD长为20米，斜坡CD的坡角为60°，在斜坡顶部D处测得风力发电机塔杆顶端A点的仰角为20°，坡底与塔杆底的距离BC=30米，求该风力发电机塔杆AB的高度．（结果精确到个位；参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36

【变式11-3】（2023·四川自贡·中考真题）为测量学校后山高度，数学兴趣小组活动过程如下：

(1)测量坡角如图1，后山一侧有三段相对平直的山坡AB，BC，如图2，同学们将两根直杆MN，MP的一端放在坡面起始端A处，直杆MP沿坡面AB方向放置，在直杆MN另一端N用细线系小重物G，当直杆MN与铅垂线NG重合时，测得两杆夹角α的度数，由此可得山坡AB坡角β的度数．请直接写出(2)测量山高同学们测得山坡AB，BC，CD的坡长依次为40米，50米，40米，坡角依次为24°，30°，45°；为求BH，小熠同学在作业本上画了一个含24°角的(3)测量改进由于测量工作量较大，同学们围绕如何优化测量进行了深入探究，有了以下新的测量方法．

如图4，5，在学校操场上，将直杆NP置于MN的顶端，当MN与铅垂线NG重合时，转动直杆NP，使点N，P，D共线，测得∠MNP的度数，从而得到山顶仰角β1，向后山方向前进40米，采用相同方式，测得山顶仰角β2；画一个含β1的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为a1厘米，b1厘米，再画一个含β2的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为a2厘米，b2厘米．已知杆高【题型12坡度坡比与仰角俯角问题综合】【例12】（2024·四川巴中·中考真题）某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡BE的坡度i=1:3，BE=6m，在B处测得电线塔CD顶部D的仰角为45°，在E处测得电线塔CD顶部D的仰角为(1)求点B离水平地面的高度AB．(2)求电线塔CD的高度（结果保留根号）．【变式12-1】（2023·四川内江·中考真题）某中学依山而建，校门A处有一坡角α=30°的斜坡AB，长度为30米，在坡顶B处测得教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF=45°，离B点4米远的E处有一个花台，在E处测得C的仰角∠CEF=60°，CF的延长线交水平线AM于点D，求DC的长（结果保留根号）．

【变式12-2】（2023·湖北随州·中考真题）某校学生开展综合实践活动，测量某建筑物的高度AB，在建筑物附近有一斜坡，坡长CD=10米，坡角α=30°，小华在C处测得建筑物顶端A的仰角为60°，在D处测得建筑物顶端A的仰角为30°．（已知点A，B，C，D在同一平面内，B，C在同一水平线上）

(1)求点D到地面BC的距离；(2)求该建筑物的高度AB．【变式12-3】（2022·内蒙古·中考真题）在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C处测得该建筑物顶端B的仰角为60°，沿山坡向上走20m到达D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．已知山坡坡度i=3:4，即tanθ=34，请你帮助该小组计算建筑物的高度AB【新考向：新考法】1．（2024·宁夏·中考真题）如图1是三星堆遗址出土的陶盉（hè），图2是其示意图．已知管状短流AB=2cm，四边形BCDE是器身，BE∥CD,BC=DE=11cm,∠ABE=120°,∠CBE=80°．器身底部CD距地面的高度为21.5cm，则该陶盉管状短流口A距地面的高度约为cm（结果精确到2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，数学活动小组在用几何画板绘制几何图形时，发现了如“花朵”形的美丽图案，他们将等腰三角形OBC置于平面直角坐标系中，点O的坐标为(0，0)，点B的坐标为(1，0)，点C在第一象限，∠OBC=120°．将△OBC沿x轴正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后，点O的对应点为O′，点C的对应点为C′，OC与O′C′的交点为A【新考向：新趋势】1．（2024·山西·中考真题）研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的3D扫描仪采集纪念碑的相关数据．数据采集：如图，点A是纪念碑顶部一点，AB的长表示点A到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点M处竖直上升，飞行至距离地面20米的点C处时，测得点A的仰角∠ACD=18.4°；然后沿CN方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角∠NCD=37°，当到达点A正上方的点E处时，测得AE=9米；…数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，E，A，B三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点A到地面的距离AB的长（结果精确到1米．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin18.4°≈0.32，2．（2024·西藏·中考真题）在数学综合实践活动中，次仁和格桑自主设计了“测量家附近的一座小山高度”的探究作业．如图，次仁在A处测得山顶C的仰角为30°；格桑在B处测得山顶C的仰角为45°．已知两人所处位置的水平距离MN=210米，A处距地面的垂直高度AM=30米，B处距地面的垂直高度BN=20米，点M，F，N在同一条直线上，求小山CF的高度．（结果保留根号）

3．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，在徐州云龙湖旅游景区，点A为“彭城风华”观演场地，点B为“水族展览馆”，点C为“徐州汉画像石艺术馆”．已知∠BAC=60°，∠BCA=45°，AC=1640m．求“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离AB（精确到1m）．（参考数据：【新考向：新情境】1．（2024·山东青岛·中考真题）“滑滑梯”是同学们小时候经常玩的游戏，滑梯的坡角越小，安全性越高．从安全性及适用性出发，小亮同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮小亮解决方案中的问题．方案名称滑梯安全改造测量工具测角仪、皮尺等方案设计如图，将滑梯顶端BC拓宽为BE，使CE=1m，并将原来的滑梯CF改为EG，（图中所有点均在同一平面内，点B,C,E在同一直线上，点A,D,F,G测量数据【步骤一】利用皮尺测量滑梯的高度CD=1.8m【步骤二】在点F处用测角仪测得∠CFD=42°；【步骤三】在点G处用测角仪测得∠EGD=32°．解决问题调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求FG的长）（参考数据：sin32°≈2.（2024·山东济南·中考真题）城市轨道交通发展迅猛，为市民出行带来极大方便，某校“综合实践”小组想测得轻轨高架站的相关距离，数据勘测组通过勘测得到了如下记录表：综合实践活动记录表活动内容测量轻轨高架站的相关距离测量工具测倾器，红外测距仪等过程资料相关数据及说明：图中点A,B,C,D，E,F在同平面内，房顶AB，吊顶CF和地面DE所在的直线都平行，点F在与地面垂直的中轴线AE上，∠BCD=98°，∠CDE=97°,AE=8.5m成果梳理……请根据记录表提供的信息完成下列问题：(1)求点C到地面DE的距离；(2)求顶部线段BC的长．（结果精确到0.01m，参考数据：sin15°≈0.259，cos15°≈0.966，tan【新考向：跨学科】1．（2024·福建·中考真题）无动力帆船是借助风力前行的．下图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角∠PDA为70°，帆与航行方向的夹角∠PDQ为30°，风对帆的作用力F为400N．根据物理知识，F可以分解为两个力F1与F2，其中与帆平行的力F1不起作用，与帆垂直的力F2仪可以分解为两个力f1与f2,f1与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；f2．（2024·内蒙古·中考真题）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管AB=24cm,BE=13AB(1)求试管口B与铁杆DE的水平距离BG的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示）(2)实验时，导气管紧靠水槽壁MN，延长BM交CN的延长线于点F，且MN⊥CF于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：DE=28cm，MN=8cm，3．（2022·江苏泰州·中考真题）小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验.如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜MN，MN与墙面AB所成的角∠MNB=118°，厂房高AB=8m，房顶AM与水平地面平行，小强在点M的正下方C处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D到他的距离CD是多少?（结果精确到0.1m，参考数据：sin34°≈0.56，tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）1．（2023·江苏南通·中考真题）如图，四边形ABCD是矩形，分别以点B，D为圆心，线段BC，DC长为半径画弧，两弧相交于点E，连接BE，DE，BD．若AB=4，BC=8，则∠ABE的正切值为（

）

A．43 B．45 C．342．（2023·湖北黄石·中考真题）如图，有一张矩形纸片ABCD．先对折矩形ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM﹐同时得到线段BN，MN．观察所得的线段，若AE=1，则MN=（

）

A．32 B．1 C．2333．（2023·浙江衢州·中考真题）如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆BC=2a，AB=b，AB的最大仰角为α.当∠C=45°时，则点A到桌面的最大高度是（

A．a+bcosa B．a+bsinα4．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点G是BC上的一点，且BG=3GC，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F，则tan∠EDF的值为（

A．14 B．13 C．255．（2024·四川雅安·中考真题）在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房CD的高度（如图），他们在A处仰望楼顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为60°，那么这栋楼的高度为（人的身高忽略不计）（

）A．253米 B．25米 C．252米6．（2023·四川雅安·中考真题）如图．四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，∠C=60°，AE∥CD交BC于点E，BC=8，AE=6，则AB的长为．7．（2023·江苏宿迁·中考真题）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则sin∠ABC=

8．（2023·江苏·中考真题）如图，3个大小完全相同的正六边形无缝隙、不重叠的拼在一起，连接正六边形的三个顶点得到△ABC，则tan∠ACB的值是

9．（2023·江苏盐城·中考真题）如图1，位于市区的“铁军”雕塑“大铜马”是盐城市标志性文化名片，如图2，线段AB表示“铁军”雕塑的高，点B，C，D在同一条直线上，且∠ACB=60°，∠ADB=30°，CD=17.5m，则线段AB的长约为m.（计算结果保留整数，参考数据：3

10．（2024·甘肃·中考真题）习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和．甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒AH垂直于地面，测角仪CD，EF在AH两侧，CD=EF=1.6m，点C与点E相距182m（点C，H，E在同一条直线上），在D处测得简尖顶点A的仰角为45°，在F处测得筒尖顶点A的仰角为53°．求风电塔筒AH的高度．（参考数据：sin53°≈4511．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知∠PAQ及AP边上一点C．(1)用无刻度直尺和圆规在射线AQ上求作点O，使得∠COQ=2∠CAQ；（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）的条件下，以点O为圆心，以OA为半径的圆交射线AQ于点B，用无刻度直尺和圆规在射线CP上求作点M，使点M到点C的距离与点M到射线AQ的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法）(3)在（1）、（2）的条件下，若sinA=35，CM=1212．（2024·安徽·中考真题）科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点B处发出，经水面点E折射到池底点A处．已知BE与水平线的夹角α=36.9°，点B到水面的距离BC=1.20m，点A处水深为1.20m，到池壁的水平距离AD=2.50m，点B，C，D在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内．记入射角为β，折射角为γ，求sinβsinγ13．（2024·江苏苏州·中考真题）图①是某种可调节支撑架，BC为水平固定杆，竖直固定杆AB⊥BC，活动杆AD可绕点A旋转，CD为液压可伸缩支撑杆，已知AB=10cm，BC=20cm，(1)如图②，当活动杆AD处于水平状态时，求可伸缩支撑杆CD的长度（结果保留根号