江苏省亭湖高级中学2025年数学高二上期末综合测试试题含解析

江苏省亭湖高级中学2025年数学高二上期末综合测试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．用1，2，3，4这4个数字可写出（）个没有重复数字的三位数A.24 B.12C.81 D.642．已知对称轴为坐标轴的双曲线的两渐近线方程为，若双曲线上有一点，使，则双曲线的焦点（）A.在轴上 B.在轴上C.当时在轴上 D.当时在轴上3．已知数列中，，()，则（）A. B.C. D.24．过点（-2，1）的直线中，被圆x2+y2-2x+4y=0截得的弦最长的直线的方程是（）A.x+y+1=0 B.x+y-1=0C.x-y+1=0 D.x-y-1=05．已知椭圆C：的一个焦点为（0，-2），则k的值为（）A.5 B.3C.9 D.256．如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，已知，，，，则（）A. B.C. D.7．已知椭圆方程为，则该椭圆的焦距为（）A.1 B.2C. D.8．已知直线与椭圆：（）相交于，两点，且线段的中点在直线：上，则椭圆的离心率为（）A. B.C. D.9．如图，在正方体中，（）A. B.C. D.10．已知等比数列满足，，则（）A.21 B.42C.63 D.8411．双曲线C：的渐近线方程为（）A. B.C. D.12．已知向量，则（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知一个四面体的每个顶点都在表面积为的球的表面上，且，，则__________14．方程表示双曲线，则实数k的取值范围是___________.15．在平面上给定相异两点A，B，点P满足，则当且时，P点的轨迹是一个圆，我们称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知椭圆的离心率，A，B为椭圆的长轴端点，C，D为椭圆的短轴端点，动点P满足，若的面积的最大值为3，则面积的最小值为___________.16．已知数列{}的前n项和为，则该数列的通项公式__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设或，（1）若时，p是q的什么条件？（2）若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围18．（12分）已知平面内两点，，动点P满足（1）求动点P的轨迹方程；（2）过定点的直线l交动点P的轨迹于不同的两点M，N，点M关于y轴对称点为，求证直线过定点，并求出定点坐标19．（12分）已知直线：和：（1）若，求实数m的值；（2）若，求实数m的值20．（12分）已知函数.（1）当时，求的极值；（2）当时，，求a的取值范围.21．（12分）已知空间中三点，，，设，（1）求向量与向量的夹角的余弦值；（2）若与互相垂直，求实数的值22．（10分）设椭圆：（）的离心率为，椭圆上一点到左右两个焦点、的距离之和是4.（1）求椭圆的方程；（2）已知过的直线与椭圆交于、两点，且两点与左右顶点不重合，若，求四边形面积的最大值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】由题意，从4个数中选出3个数出来全排列即可.【详解】由题意，从4个数中选出3个数出来全排列，共可写出个三位数.故选：A2、B【解析】设出双曲线的一般方程，利用题设不等式，令二者平方，整理求得的，进而可判断出焦点的位置【详解】渐近线方程为，，平方，两边除，，，双曲线的焦点在轴上.故选B.【点睛】本题考查已知双曲线的渐近线方程求双曲线的方程，考查对双曲线标准方程的理解与运用，求解时要注意焦点落在轴或轴的特点，考查学生分析问题和解决问题的能力3、A【解析】由已知条件求出，可得数是以3为周期的周期数列，从而可得，进而可求得答案【详解】因为，()，所以，所以数列的周期为3，，故选：A4、A【解析】当直线被圆截得的最弦长最大时，直线要经过圆心，即圆心在直线上，然后根据两点式方程可得所求【详解】由题意得，圆的方程为，∴圆心坐标为∵直线被圆截得的弦长最大，∴直线过圆心，又直线过点（-2，1），所以所求直线的方程为，即故选：A5、A【解析】由题意可得焦点在轴上，由，可得k的值.【详解】∵椭圆的一个焦点是，∴，∴，故选：A6、A【解析】利用空间向量加法法则直接求解【详解】连接BD，如图，则故选：A7、B【解析】根据椭圆中之间的关系，结合椭圆焦距的定义进行求解即可.【详解】由椭圆的标准方程可知：，则焦距为，故选：B.8、A【解析】将直线代入椭圆方程整理得关于的方程，运用韦达定理，求出中点坐标，再由条件得到，再由，，的关系和离心率公式，即可求出离心率.【详解】解：将直线代入椭圆方程得，，即，设，，，，则，即中点的横坐标是，纵坐标是，由于线段的中点在直线上，则，又，则，，即椭圆的离心率为.故选：A9、B【解析】根据正方体的性质，结合向量加减法的几何意义有，即可知所表示的向量.【详解】∵，而，∴，故选：B10、D【解析】设等比数列公比为q，根据给定条件求出即可计算作答.【详解】等比数列公比为q，由得：，即，而，解得，所以.故选：D11、D【解析】根据给定的双曲线方程直接求出其渐近线方程作答.【详解】双曲线C：的实半轴长，虚半轴长，即有，而双曲线C的焦点在y轴上，所以双曲线C的渐近线的方程为，即.故选：D12、B【解析】根据向量加减法运算的坐标表示即可得到结果【详解】故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由题意可得，该四面体的四个顶点位于一个长方体的四个顶点上，设长方体的长宽高为，由题意可得：，据此可得：，则球的表面积：，结合解得：.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.14、【解析】由题可得，即求.【详解】∵方程表示双曲线，∴，∴.故答案为：.15、【解析】先根据求出圆的方程，再由的面积的最大值结合离心率求出和的值，进而求出面积的最小值.【详解】解：由题意，设，，因为即两边平方整理得：所以圆心为，半径因为的面积的最大值为3所以，解得：因为椭圆离心率即，所以由得：所以面积的最小值为：故答案为：.【点睛】思路点睛：本题先根据已知的比例关系求出阿波罗尼斯圆的方程，再利用已知面积和离心率求出椭圆的方程，进而求得面积的最值.16、2n+1【解析】由计算，再计算可得结论【详解】由题意时，，又适合上式，所以故答案为：【点睛】本题考查由求通项公式，解题根据是，但要注意此式不含，三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）充要条件；（2）.【解析】（1）根据解一元二次不等式的方法，结合充分性、必要性的定义进行求解判断即可；（2）根据必要不充分条件的性质进行求解即可.【小问1详解】因为，所以，解得或，显然p是q的充要条件；【小问2详解】，当时，该不等式的解集为全体实数集，显然由，但不成立，因此p是q的充分不必要条件，不符合题意；当时，该不等式的解集为：，显然当时，不一定成立，因此p不是q的必要不充分条件，当时，该不等式解集为：，要想p是q的必要不充分条件，只需，而，所以，因此a的取值范围为：.18、（1）（2）证明见解析，定点坐标为【解析】（1）直接由斜率关系计算得到；（2）设出直线，联立椭圆方程，韦达定理求出，再结合三点共线，求出参数，得到过定点.小问1详解】设动点，由已知有，整理得，所以动点的轨迹方程为；【小问2详解】由已知条件可知直线和直线斜率一定存在，设直线方程为，，，则，由，可得，则，即为，，，因为直线过定点，所以三点共线，即，即，即，即，即得，整理，得，满足，则直线方程为，恒过定点.【点睛】本题关键在于设出带有两个参数的直线的方程，联立椭圆方程后，利用题干中的条件，解出一个参数或得到两个参数之间的关系，即可求出定点.19、（1）2（2）或【解析】（1）易知两直线的斜率存在，根据，由斜率相等求解.（2）分和，根据，由直线的斜率之积为-1求解.【小问1详解】由直线的斜率存在，且为，则直线的斜率也存在，且为，因为，所以，解得或2，①当时，由此时直线，重合，②当时，，此时直线，平行，综上：若，则实数m的值为2【小问2详解】①当时，直线斜率为0，此时若必有，不可能.②当时，若必有，解得，由上知若，则实数m的值为或20、（1）极大值，没有极小值（2）【解析】（1）把代入，然后对函数求导，结合导数可求函数单调区间,即可得解；（2）构造函数，将不等式的恒成立转化为函数的最值问题，结合导数与单调性及函数的性质对进行分类讨论，其中当和时易判断函数的单调性以及最小值，而当时，的最小值与0进一步判断【小问1详解】当时，的定义域为，.当时，，当时，，所以在上为增函数，在上为减函数.故有极大值，没有极小值.【小问2详解】当时，恒成立等价于对于任意恒成立.令，则.若，则，所以在上单调递减，所以，符合题意.若，所以在上单调递减，，符合题意.若，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，不合题意.综上可知，a的取值范围为.【点睛】关键点点睛：本题考查了不等式恒成立问题，其关键是构造函数，通过讨论参数在不同取值范围时函数的单调性，求出函数的最值，解出参数的范围.必要时二次求导.21、（1）；（2）或.【解析】（1）坐标表示出、，利用向量夹角的坐标表示求夹角余弦值；（2）坐标表示出k＋、k－2，利用向量垂直的坐标表示列方程求的值.【详解】由题设，＝(1,1,0)，＝(－1,0,2)（1）cosθ＝，所以和的夹角余弦值为.（2）k＋＝k(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k－1,k,2)，k－2＝(k＋2,k,－4)，又(k＋)⊥(k－2)，则(k－1,k,2)·(k＋2,k,－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝2k2＋k－10＝0，解得k＝－或2.22、（1）；（2）6.【解析】（1）本小题根据题意先求，，，再求椭圆的标准方程；（2）本小题先设过的直