2026届西双版纳市重点中学高二数学第一学期期末学业质量监测试题含解析

2026届西双版纳市重点中学高二数学第一学期期末学业质量监测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若圆的半径为，则实数（）A. B.-1C.1 D.2．已知圆：，点，则点到圆上点的最小距离为（）A.1 B.2C. D.3．下列关于抛物线的图象描述正确的是（）A.开口向上，焦点为 B.开口向右，焦点为C.开口向上，焦点为 D.开口向右，焦点为4．随着城市生活节奏的加快，网上订餐成为很多上班族的选择，下表是某外卖骑手某时间段订餐数量与送餐里程的统计数据表：订餐数/份122331送餐里程/里153045现已求得上表数据的回归方程中的值为1.5，则据此回归模型可以预测，订餐100份外卖骑手所行驶的路程约为（）A.155里 B.145里C.147里 D.148里5．已知直线，若直线与垂直，则的倾斜角为（）A. B.C. D.6．函数在其定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象为A. B.C. D.7．函数，的最小值为（）A.2 B.3C. D.8．已知，,2成等差数列，则在平面直角坐标系中，点M(x，y)的轨迹为()A. B.C. D.9．已知等比数列的前n项和为，且满足公比0＜q＜1，＜0，则下列说法不正确的是（）A.一定单调递减 B.一定单调递增C.式子-≥0恒成立 D.可能满足=，且k≠110．已知长方体的底面ABCD是边长为4的正方形，长方体的高为，则与对角面夹角的正弦值等于（）A. B.C. D.11．过点的直线与圆相切，则直线的方程为（）A.或 B.或C.或 D.或12．双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离为，则双曲线的焦距等于A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若直线与函数的图象有三个交点，则实数a的取值范围是_________14．设过点K(-1，0）的直线l与抛物线C：y2=4x交于A、B两点，为抛物线的焦点，若|BF|=2|AF|，则cos∠AFB=_______15．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________16．如图的形状出现存南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最一上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……，设从上至下各层球数构成一个数列则___________.（填数字）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知圆C的圆心在坐标原点，且过点M（）（1）求圆C的方程；（2）已知点P是圆C上的动点，试求点P到直线的距离的最小值；18．（12分）已知椭圆的离心率为，过左焦点且垂直于长轴的弦长为.（1）求椭圆的标准方程；（2）点为椭圆的长轴上的一个动点，过点且斜率为的直线交椭圆于两点，证明为定值.19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的左，右顶点分别为A、B，点F是椭圆的右焦点，，（1）求椭圆C的方程；（2）不过点A的直线l交椭圆C于M、N两点，记直线l、AM、AN的斜率分别为k、、．若，证明直线l过定点，并求出定点的坐标20．（12分）中，三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知（1）求角A；（2）若，角A的角平分线交于D，，求a21．（12分）已知椭圆，四点中，恰有三点在椭圆上（1）求椭圆的方程；（2）设直线不经过点，且与椭圆相交于不同的两点．若直线与直线的斜率之和为，证明：直线过一定点，并求此定点坐标22．（10分）如图，正方体的棱长为，分别是的中点，点在棱上，（）.（Ⅰ）三棱锥的体积分别为，当为何值时，最大？最大值为多少？（Ⅱ）若平面，证明：平面平面.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】将圆的方程化为标准方程，即可求出半径的表达式，从而可求出的值.【详解】由题意，圆的方程可化为，所以半径为，解得.故选：B.【点睛】本题考查圆的方程，考查学生的计算求解能力，属于基础题.2、C【解析】写出圆的圆心和半径，求出距离的最小值，再结合圆外一点到圆上点的距离最小值的方法即可求解.【详解】由圆：，得圆，半径为，所以，所以点到圆上点的最小距离为.故选：C.3、A【解析】把化成抛物线标准方程，依据抛物线几何性质看开口方向，求其焦点坐标即可解决.【详解】，即.则，即故此抛物线开口向上，焦点为故选：A4、C【解析】由统计数据求样本中心，根据样本中心在回归直线上求得，即可得回归方程，进而估计时的y值即可.【详解】由题意：，，则，可得，故，当时，.故选：C5、D【解析】由直线与垂直得到的斜率，再利用斜率与倾斜角的关系即可得到答案.【详解】因为直线与垂直，且，所以，解得，设的倾斜角为，，所以.故选：D6、D【解析】分析：根据函数单调性、极值与导数的关系即可得到结论.详解：观察函数图象，从左到右单调性先单调递增，然后单调递减，最后单调递增.对应的导数符号为正，负，正.,选项D的图象正确.故选D.点睛：本题主要考查函数图象的识别和判断，函数单调性与导数符号的对应关系是解题关键.7、B【解析】求导函数，分析单调性即可求解最小值【详解】由，得，当时，，单调递减；当时，，单调递增∴当时，取得最小值，且最小值为故选：B.8、A【解析】已知，,2成等差数列,得到，化简得到【详解】已知，,2成等差数列,得到，化简得到可知是焦点在x轴上的抛物线的一支.故答案为A.【点睛】这个题目考查的是对数的运算以及化简公式的应用，也涉及到了轨迹的问题，求点的轨迹，通常是求谁设谁，再根据题干将等量关系转化为代数关系，从而列出方程，化简即可.9、D【解析】根据等比数列的通项公式，前n项和的意义，可逐项分析求解.【详解】因为等比数列的前n项和为，且满足公比0＜q＜1，＜0，所以当时，由可得，故数列为增函数，故B正确；由0＜q＜1，＜0知，所以，故一定单调递减，故A正确；因为当时，，，所以，即-，当时，，综上，故C正确；若=，且k≠1，则，即，因为，故，故矛盾，所以D不正确.故选：D10、C【解析】建立空间直角坐标系，结合空间向量的夹角坐标公式即可求出线面角的正弦值.【详解】连接，建立如图所示的空间直角坐标系∵底面是边长为4的正方形，，∴，，，因为,，且，所以平面，∴，平面的法向量，∴与对角面所成角的正弦值为故选：C.11、D【解析】根据斜率存在和不存在分类讨论，斜率存在时设直线方程，由圆心到直线距离等于半径求解【详解】圆心为，半径为2，斜率不存在时，直线满足题意，斜率存在时，设直线方程为，即，由，得，直线方程为，即故选：D12、D【解析】不妨设双曲线方程为，则，即设焦点为，渐近线方程为则又解得．则焦距为．选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】求导函数，分析导函数的符号，得出原函数的单调性和极值，由此可求得答案.【详解】解：因为函数，则，所以当或时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，所以当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值，因为直线与函数的图象有三个交点，所以实数a的取值范围是，故答案为：.14、【解析】根据已知设直线方程为与C联立，结合|BF|=2|AF|，利用韦达定理计算可得点A，B的坐标，进而求出向量的坐标，进而利用求向量夹角余弦值的方法，即可得到答案.【详解】令直线的方程为将直线方程代入批物线C:的方程，得令且，所以由抛物线的定义知，由|BF|=2|AF|可知，，则，解得：，，则A，B两点坐标分别为，则则.故答案为：15、18【解析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查【详解】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是综上所述，甲队以获胜的概率是【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算16、【解析】根据题中给出的图形，结合题意找到各层球的数列与层数的关系，得到，即可得解【详解】解：由题意可知，，，，，，故，所以，故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）由圆C的圆心在坐标原点，且过点，求得圆的半径，利用圆的标准方程，即可求解；（2）由点到直线的距离公式，求得圆心到直线l的距离为，进而得到点P到直线的距离的最小值为，得出答案.【详解】（1）由题意，圆C的圆心在坐标原点，且过点，所以圆C的半径为，所以圆C的方程为.（2）由题意，圆心到直线l的距离为，所以P到直线的距离的最小值为.【点睛】本题主要考查了圆标准方程的求解，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟练应用直线与圆的位置关系合理转化是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力，属于基础题.18、(1)；(2)证明见解析.【解析】(1)借助题设条件建立方程组求解；(2)依据题设运用直线与椭圆的位置关系探求.试题解析：（1）由，可得椭圆方程.（2）设的方程为，代入并整理得：.设，，则，同理则.所以，是定值.考点：椭圆的标准方程几何性质及直线与椭圆的位置关系等有关知识的综合运用【易错点晴】本题考查的是椭圆的标准方程等基础知识及直线与椭圆的位置关系等知识的综合性问题.解答本题的第一问时,直接依据题设条件运用椭圆的几何性质和椭圆的有关概念建立方程组,进而求得椭圆的标准方程为；第二问的求解过程中,先设直线的方程为,再借助二次方程中根与系数之间的关系，依据坐标之间的关系进行计算探求，从而使得问题获解.19、（1）；（2）证明见解析，(－5,0).【解析】(1)写出A、B、F的坐标，求出向量坐标，根据向量的关系即可列出方程组，求得a、b、c和椭圆的标准方程；(2)设直线l的方程为y＝kx＋m，，．联立直线l与椭圆方程，根据韦达定理得到根与系数的关系，求出，根据即可求得k和m的关系，即可证明直线过定点并求出该定点.【小问1详解】由题意，知A(－a，0)，B(a，0)，F(c，0)∵，∴解得从而b2＝a2－c2＝3∴椭圆C的方程；【小问2详解】设直线l的方程为y＝kx＋m，，∵直线l不过点A，因此－2k＋m≠0由得时，，，∴由，可得3k＝m－2k，即m＝5k，故l的方程为y＝kx＋5k，恒过定点(－5,0).20、（1）（2）【解析】（1）根据正弦定理统一三角函数化简即可求解；（2）根据角平分线建立三角形面积方程求出b,再由余弦定理求解即可.【小问1详解】由及正弦定理，得∵，∴∵，∴∵，∴【小问2详解】∵，∴，解得由余弦定理，得，∴.21、（1）（2）证明见解析，定点【解析】（1）先判断出在椭圆上，再代入求椭圆方程；（2）假设斜率存在，设出直线，利用斜率之和为，求出之间的关系，即可求出定点，再说明斜率不存在时，直线仍过该点即可.【小问1详解】由对称性同时在椭圆上或同时不在椭圆上，从而在椭圆上，因此不在椭圆上，故在椭圆上，将，代入椭圆的方程，解得，所以椭圆的方程为【小问2详解】当直线斜率存在时，令方程为，由得所以得方程为，过定点当直线斜率不存在时，令方程为，由，即解得此时直线方程为，也过点综上，直线过定点.【点睛】本题关键点在于先假设斜率存在，设出直线，利用题目所给条件得到之间的关系，即可求出定点，再说明斜率不存在时，直线仍过该点即可，属于定点问题的常见解法，注意积累掌握.22、（Ⅰ）,.（Ⅱ）见解析.【解析】（Ⅰ