保山市重点中学2025-2026学年高二数学第一学期期末经典试题含解析

保山市重点中学2025-2026学年高二数学第一学期期末经典试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知双曲线左右焦点为，，过的直线与双曲线的右支交于P，Q两点，且，若为以Q为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率为（）A. B.C. D.2．已知抛物线：的焦点为，为上一点且在第一象限，以为圆心，为半径的圆交的准线于，两点，且，，三点共线，则（）A.2 B.4C.6 D.83．在等差数列{an}中，a1＝2，a5＝3a3，则a3等于（）A.－2 B.0C.3 D.64．椭圆的左、右焦点分别为、，上存在两点、满足，，则的离心率为（）A. B.C. D.5．曲线y＝lnx在点M处的切线过原点，则该切线的斜率为（）A.1 B.eC.－1 D.6．命题“若，则”的否命题是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则7．已知直线，若直线与垂直，则的倾斜角为（）A. B.C. D.8．对任意实数k，直线与圆的位置关系是（）A.相交 B.相切C.相离 D.与k有关9．已知F(3,0)是椭圆的一个焦点，过F且垂直x轴的弦长为，则该椭圆的方程为（）A.+=1 B.+=1C.+=1 D.+=110．已知，若与的展开式中的常数项相等，则（）A.1 B.3C.6 D.911．函数的单调递减区间是（）A. B.C. D.12．已知命题p：，，则命题p的否定为（）A.， B.，C， D.，二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，为底面中心，为的中点，动点在圆锥底面内（包括圆周）．若，则点形成的轨迹的长度为______14．椭圆（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1，F2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为___________15．已知圆M过，，且圆心M在直线上.（1）求圆M的标准方程；（2）过点的直线m截圆M所得弦长为，求直线m的方程；16．已知直线l1：（1）x+y﹣2=0与l2：（1）x+ay﹣4=0平行，则a=_____.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）过点作圆的两条切线，切点分别为A，B；（1）求直线AB的方程；（2）若M为圆上的一点，求面积的最大值18．（12分）如图，已知平面，底面为正方形，，分别为的中点（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的正弦值19．（12分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和（Ⅰ）求k的值及f(x)的表达式（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值20．（12分）已知满足，.（1）求证：是等差数列，求的通项公式；（2）若，的前项和是，求证：.21．（12分）圆经过两点，且圆心在直线上.（1）求圆的方程；（2）求圆与圆的公共弦的长.22．（10分）已知数列{}的首项＝2，(n≥2，)，，.（1）证明：{+1}为等比数列；（2）设数列{}的前n项和，求证：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】由双曲线的定义得出中各线段长（用表示），然后通过余弦定理得出的关系式，变形后可得离心率【详解】由题意，又，所以，从而，，，中，，中．，所以，，所以，故选：C2、B【解析】根据，，三点共线，结合点到准线的距离为2，得到，再利用抛物线的定义求解.【详解】如图所示：∵，，三点共线，∴是圆的直径，∴，轴，又为的中点，且点到准线的距离为2，∴，由抛物线的定义可得，故选：B.3、A【解析】利用已知条件求得，由此求得.【详解】a1＝2，a5＝3a3，得a1＋4d＝3(a1＋2d)，即d＝－a1＝－2，所以a3＝a1＋2d＝－2.故选：A.4、A【解析】作点关于原点的对称点，连接、、、，推导出、、三点共线，利用椭圆的定义可求得、、、，推导出，利用勾股定理可得出关于、的齐次等式，即可求得该椭圆的离心率.【详解】作点关于原点的对称点，连接、、、，则为、的中点，故四边形为平行四边形，故且，则，所以，，故、、三点共线，由椭圆定义，，有，所以，则，再由椭圆定义，有，因为，所以，在中，即，所以，离心率故选：A.5、D【解析】设出点坐标，结合导数列方程，由此求得切点坐标并求得切线的斜率.【详解】设切点为，，故在点的切线的斜率为，所以，所以切点为，切线的斜率为.故选：D6、B【解析】根据原命题的否命题是条件结论都要否定【详解】解：因为原命题的否命题是条件结论都要否定所以命题“若，则”的否命题是若，则；故选：B7、D【解析】由直线与垂直得到的斜率，再利用斜率与倾斜角的关系即可得到答案.【详解】因为直线与垂直，且，所以，解得，设的倾斜角为，，所以.故选：D8、A【解析】判断直线恒过定点，可知定点在圆内，即可判断直线与圆的位置关系.【详解】由可知，即该圆的圆心坐标为，半径为,由可知，则该直线恒过定点，将点代入圆的方程可得，则点在圆内，则直线与圆的位置关系为相交.故选：.9、C【解析】根据已知条件求得，由此求得椭圆的方程.【详解】依题意，所以椭圆方程为.故选：C10、B【解析】根据二项展开式的通项公式即可求出【详解】的展开式中的常数项为，而的展开式中的常数项为，所以，又，所以故选：B11、D【解析】求导后，利用求得函数的单调递减区间.【详解】解：，则，由得，故选：D.12、A【解析】根据特称命题的否定是全称命题，结合已知条件，即可求得结果.【详解】因为命题p：，，故命题p的否定为：，.故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】建立空间直角坐标系设，，，，于是，，因为，所以，从而，，此为点形成的轨迹方程，其在底面圆盘内的长度为14、【解析】本题着重考查等比中项的性质，以及椭圆的离心率等几何性质，同时考查了函数与方程，转化与化归思想.利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知：，，.又已知，，成等比数列，故，即，则.故.即椭圆的离心率为.【点评】求双曲线的离心率一般是通过已知条件建立有关的方程，然后化为有关的齐次式方程，进而转化为只含有离心率的方程，从而求解方程即可.体现考纲中要求掌握椭圆的基本性质.来年需要注意椭圆的长轴，短轴长及其标准方程的求解等.15、（1）（2）或【解析】(1)首先由条件设圆的标准方程，再将圆上两点代入，即可求得圆的标准方程；（2）分斜率不存在和存在两种情况，分别根据弦长公式，求得直线方程.【小问1详解】圆心在直线上，设圆的标准方程为：，圆过点，，，解得圆的标准方程为【小问2详解】①当斜率不存在时，直线m的方程为：，直线m截圆M所得弦长为，符合题意②当斜率存在时，设直线m：，圆心M到直线m的距离为根据垂径定理可得，，，解得直线m方程为或.16、2【解析】根据两直线平行的充要条件求解【详解】因为已知两直线平行，所以，解得故答案为：【点睛】本题考查两直线平行的充要条件，两直线平行的充要条件是，或，在均不为0时，用表示容易理解与记忆三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）求出以为直径的圆的方程，结合已知圆的方程，将两圆方程相减可求得两圆公共弦所在直线方程；（2）求出圆上的点M到直线AB的距离的最大值，求出，利用三角形面积公式求得答案.【小问1详解】圆的圆心坐标为，半径为1，则的中点坐标为，，以为圆心，为直径的圆的方程为，由，得①，由，得②，①②得：直线的方程为；【小问2详解】圆心到直线的距离为故圆上的点M到直线的距离的最大值为，而,故面积的最大值为.18、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面.（2）利用直线的方向向量，平面的法向量，计算线面角的正弦值.【详解】（1）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，则.，，所以,由于，所以平面.（2），，设平面的法向量为，则，令，则，所以.设直线与平面所成角为，则.19、，因此.,当隔热层修建厚时，总费用达到最小值70万元【解析】解：（Ⅰ）设隔热层厚度为，由题设，每年能源消耗费用为.再由，得，因此.而建造费用为最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为（Ⅱ），令，即.解得，（舍去）当时，，当时，，故是的最小值点，对应的最小值为当隔热层修建厚时，总费用达到最小值为70万元20、（1）证明见解析，（2）证明见解析【解析】（1）在等式两边同时除以，结合等差数列的定义可证得数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得的表达式；（2）求得，利用裂项相消法求得，即可证得原不等式成立.【小问1详解】解：在等式两边同时除以可得且，所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，则，因此，.【小问2详解】证明：，所以，.故原不等式得证.21、（1）（2）【解析】（1）设圆的方程为，代入所过的点后可求，从而可求圆的方程.（2）利用两圆的方程可求公共弦的方程，利用垂径定理可求公共弦的弦长.【小问1详解】设圆的方程为，，，所以圆的方程为；【小问2详解】由圆的方程和圆的方程可得公共弦的方程为：，整理得到：，到公共弦距