2025年大学《数学与应用数学》专业题库- 计算几何与计算机辅助设计

2025年大学《数学与应用数学》专业题库——计算几何与计算机辅助设计考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题1.在二维空间中，判断三个点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)是否按顺时针方向排列，下列哪个判断条件是正确的？A.(x2-x1)*(y3-y1)-(y2-y1)*(x3-x1)>0B.(x2-x1)*(y3-y1)-(y2-y1)*(x3-x1)<0C.(x2-x1)*(y3-y1)+(y2-y1)*(x3-x1)>0D.(x2-x1)*(y3-y1)+(y2-y1)*(x3-x1)<02.给定一个点集P，构建Voronoi图的过程主要依赖于什么数据结构？A.K-d树B.B树C.哈希表D.树状体（Octree/Quadtree）3.在Bezier曲线设计中，控制点P0,P1,...,Pn对曲线形状的影响是？A.P0决定起点，Pn决定终点，其他点仅影响切线方向B.所有控制点都等量影响曲线形状C.仅P0和Pn影响曲线的大致走向D.控制点仅决定曲线的局部细节4.B样条曲线与Bezier曲线相比，其主要优点之一是？A.计算更为简单，易于实现B.能精确通过所有控制点C.具有局部修改性，修改一个控制点只影响局部曲线段D.形状变化更为丰富，易于设计复杂曲线5.在计算机辅助几何设计（CAD）中，边界表示（B-Rep）方法主要用于？A.表示和处理点集B.表示和处理自由曲面C.表示和分析实体几何形状，通常使用多边形网格或构造实体几何（CSG）作为基础D.表示曲线的参数方程二、填空题1.计算几何中，凸包是包含点集P的最小凸多边形（或凸多面体），其计算常用_________算法或_________算法。2.对于一个n次贝塞尔曲线，它共有_________个控制点，其定义域为[0,1]。3.在二维空间中，判断点q是否在简单多边形p的内部，常用的方法是_________和_________算法。4.NURBS（非均匀有理B样条）曲线/曲面能够精确表示_________和_________，具有广泛的几何表示能力。5.几何布尔运算（并、交、差）是CAD造型中的基本操作，对于多边形网格模型，这些运算通常通过_________（如D-布尔运算）或基于体素的方法实现。三、计算题1.给定点A(1,2)，B(4,6)，C(5,3)。计算向量AB和向量AC的叉积，并据此判断点C相对于向量AB是在哪个象限（顺时针、逆时针或共线）。2.已知一个三次贝塞尔曲线的控制点分别为P0(0,0),P1(1,2),P2(3,3),P3(4,0)。求该曲线在参数t=1/2处的切线方向向量。3.设有两个不相交的简单凸多边形P1和P2（用顶点序列表示），描述如何使用扫描线算法计算P1∪P2（并集）的边界多边形。四、简答题1.简述Delaunay三角剖分的特性，并列举至少三个其在计算几何或相关应用中（如地形建模、点云处理）的重要优势。2.解释NURBS曲面与Bezier曲面在表示能力和局部修改性方面的主要区别。五、证明与设计题1.证明：对于二维空间中的两个线段L1(P0,P1)和L2(P2,P3)，如果它们相交，那么向量(P1-P0)×(P3-P2)和向量(P3-P2)×(P1-P0)的符号相反。六、编程实践题（注：此处按要求不写答案，但实际考试中应有编程题目）设计一个函数，输入为一个简单多边形的顶点序列（按顺序给出），输出该多边形的凸包顶点序列。要求采用Graham扫描算法或Jaumann算法进行实现。请描述算法的主要步骤，并给出相应的伪代码或代码框架。试卷答案一、选择题1.B2.A3.A4.C5.C二、填空题1.Graham扫描；Jarvis步进（或GiftWrapping）2.n+13.跨边判断；射线法4.圆锥曲线；自由曲面5.D-布尔运算三、计算题1.解析思路：计算向量AB=(Bx-Ax,By-Ay)=(4-1,6-2)=(3,4)。计算向量AC=(Cx-Ax,Cy-Ay)=(5-1,3-2)=(4,1)。向量AB和AC的叉积为AB×AC=(3*1)-(4*4)=3-16=-13。由于叉积结果为负，且向量AC在向量AB的逆时针方向旋转，因此点C相对于向量AB是逆时针方向的。答案：叉积-13，点C相对于向量AB是逆时针方向的。2.解析思路：三次贝塞尔曲线的切线方向向量在任意参数t处为P'(t)=n*(P1-P0)+2n*(P2-P1)+n*(P3-P2)，其中n=t^(n-1)*(1-t)^(m-n)*m!。对于三次曲线n=m=3，所以n(t)=3*(1-t)^2*t。P'(t)=3*(1-t)^2*t*(P1-P0)+6*(1-t)*t*(P2-P1)+3*t^2*(P3-P2)。将P0,P1,P2,P3的坐标代入，并计算t=1/2时的值。答案：切线方向向量为(-1,1)。3.解析思路：扫描线算法计算并集的基本思想是：按y坐标排序所有多边形的顶点；使用扫描线从下往上扫描，维护当前活跃多边形列表；当扫描线进入多边形时，将其加入活跃列表，并根据其边与列表中其他边的关系（交叉点、顶点）更新列表；当扫描线离开多边形时，将其移出活跃列表；在扫描过程中，根据边的进入和离开顺序以及交叉点，构建并集的边界多边形。答案：使用扫描线自下而上遍历，维护活跃边表，根据边的进入、离开和交叉点信息，按顺序连接边点，构建并集的边界多边形。四、简答题1.解析思路：Delaunay三角剖分的特性包括：最邻近点三角剖分（每个三角形顶点都是其内部最近点的邻点）、空外接圆特性（每个三角形的外接圆不包含任何其他点）、最大最小角特性（相对其他可能三角形，Delaunay三角形具有最大的最小角）。优势：生成的网格具有良好的流形性，角度变化较为尖锐，能有效避免狭长三角形；在点云数据中能更好地反映局部细节；与Voronoi图对偶，可用于区域划分和聚类分析；在参数化造型和地形建模中能产生更平滑、自然的曲面。2.解析思路：NURBS能够精确表示任何类型的Bézier曲面（通过设置权值为1），而Bézier曲面仅能精确表示由其控制点张成的凸包区域。NURBS具有局部修改性，改变一个控制点或权值只影响该控制点附近的曲面区域（由权值衰减函数控制），而Bézier曲面控制点的修改会影响整个曲面。NURBS的设计更灵活，可以通过调整控制点和权值来实现更复杂的几何形状和更精细的控制。五、证明与设计题1.证明思路：使用向量叉积判断两线段是否相交以及它们相对方向。设两线段L1(P0,P1)和L2(P2,P3)。向量AP0=P0-P2，向量AP1=P1-P2。向量方向D1=P1-P0，D2=P3-P2。向量叉积D1×D2和D2×D1的符号相反。如果L1和L2相交，则点P0在L2上或其延长线上，点P1在L2的另一侧或其延长线上，反之亦然。这意味着向量AP0和AP1关于D2的方向相反，即(AP0×D2)和(AP1×D2)的符号相反。同样，向量AP0和AP1关于D1的方向也相反，即(AP0×D1)和(AP1×D1)的符号相反。由于D1×D2和D2×D1符号相反，因此(AP0×D2)和(AP1×D2)的符号相反等价于(AP0×D1)和(AP1×D1)的符号相反。答案：见证明思路。六、编程实践题解析思路：Graham扫描算法步骤：1.找到所有点中y坐标最小的点，如果有多个，则取x坐标最小的一个作为基准点P0。2.将其余点按相对于P0的极角（与P0连接向量的横纵坐标的反正切值，注意处理水平方向）进行排序，如果极角相同，则距离P0近的点排前面。3.初始化凸包栈，将P0,P1,P2压入栈。4.从P3开始，对于栈顶的每个点H，比较当前点P与H及H的前一个点H'构成的向量（即P,H,H'）。如果向量(H'->H)到(H->P)依次是逆时针方向（即叉积小于0），则将H弹出栈。重复此过程，直到向量(H'->H)到(H->P)是顺时针方向（叉积大于0）或P在栈顶点H的线上（叉积等于0）。5.将点P压入栈。6.栈中剩下的点即为凸包顶点，按出栈顺序（或入栈顺序）输出。伪代码框架：SelectP0asthepointwithminimumy(andminimumxiftiesexist).SortpointsP1,...,PnbypolaranglewithrespecttoP0.InitializestackwithP0,P1,P2.ForeachpointPifromP3toPn:Whilestacksize>=