26.3 第1课时 抛物线形实际问题（同步课件）-华东师大版九下

第二十六章二次函数26.3

实践与探索

第1课时抛物线形实际问题1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．（重点）2.利用二次函数解决拱桥及运动中的抛物线有关问题．（难点）3.能运用二次函数的图象与性质进行决策．

例1

如图，一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度是4.9米，水面宽是4米时，拱顶离水面2米.现在想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样变化．你能想出办法来吗？拱桥问题怎样建立直角坐标系比较简单呢？以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，如图．从图看出，什么形式的二次函数，它的图象是这条抛物线呢？由于顶点坐标是(0，0)，因此这个二次函数的形式为xOy-2-421-2-1AxOy-221-2-1A

如何确定

a

的值？因此，，其中｜x｜是水面宽度的一半，y

是拱顶离水面高度的相反数，这样我们就可以了解到水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化．已知水面宽

4

m时，拱顶离水面高

2

m，因此点

A(2，-2)在抛物线上，由此得出解得由于拱桥的跨度为4.9m，因此自变量

x的取值范围是：水面宽3m时，从而因此拱顶离水面高1.125m现在你能求出水面宽3m时，拱顶离水面高多少吗？这条抛物线表示的二次函数为

y

=xOy−2−421−2−1B

水面下降1m，水面宽度增加多少？当水面下降1m时，水面的纵坐标为

-3.令

解得即水面下降1m时，水面宽度增加我们来比较下面这些建系的方法（0，0）（4，0）（2，2）（-2，-2）（2，-2）（0，0）（-2，0）（2，0）（0，2）（-4，0）（0，0）（-2，2）谁最合适？为什么？yyyyooooxxxx例2

某公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子

OA，O恰在水面中心，

OA=1.25m，由柱子顶端

A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离

OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m.如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少才能使喷出的水流不致落到池外？喷水问题解：建立如图所示的坐标系，根据题意得

A点坐标为

(0，1.25)，顶点

B坐标为(1，2.25).数学化o●C●Dxy●

B(1，2.25)

(0，1.25)A●根据对称性，如果不计其它因素，那么水池的半径至少要2.5m，才能使喷出的水流不致落到池外.

当

y=0时，可求得点

C的坐标为(2.5，0)；同理，点D的坐标为(-2.5，0).设

y轴右侧的抛物线为

y=a(x+h)2+k，由待定系数法可求得抛物线表达式为

y=-(x-

1)2+2.25.●B(1,2.25)

(0,1.25)oAxy●D●C

某商品现在的售价为每件

60元，每星期可卖出

300件，已知商品的进价为每件

40元，则每星期销售额是

元，销售利润是

元.180006000数量关系（1）销售额

=

单价×销售量；（2）利润

=

销售额

-

总成本

=单件利润×销售量；（3）单件利润

=

销售单价

-

进价.销售问题例3某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是200件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元．(1)每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2160元？(2)每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？解：设每件玩具的售价定为x元时，月销售利润恰为2160元，根据题意，得整理，得解得∵每件玩具售价不能高于40元，答：每件玩具的售价定为38或32元时，月销售利润恰为2160元；（2）解：设每件玩具的售价定为x元，月销售利润为y元，根据题意，得：∵∴当x=35时，y有最大值为2250，答：每件玩具的售价定为35元时可使月销售利润最大，最大的月利润是2250元．知识要点求解最大利润问题的一般步骤(1)建立利润与价格之间的函数关系式：

运用“总利润

=

总售价

-

总成本”或“总利润

=

单件利润×销售量”；(2)结合实际意义，确定自变量的取值范围；(3)在自变量的取值范围内确定最大利润：

可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出

函数的简图，利用简图和增减性求出.投球问题例4

如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)之间的关系是

则铅球推出的距离是多少？1.

某种商品每件的进价为

20元，调查表明：在某段时间内若以每件

x元(20≤x≤30)出售，可卖出

(600－20x)件，为使利润最大，则每件售价应定为

元.252.进价为80元的某件定价100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨1元，销售量便减少

5件，那么每月售出衬衣的总件数

y(件)与衬衣售价

x(元)之间的函数关系式为

.每月利润

w(元)与衬衣售价

x(元)之间的函数关系式为

.(以上关系式只列式不化简).

y=2000-

5(x

-

100)w=[2000-

5(x

-

100)](x

-

80)3.足球被从地面上踢起，它距地面的高度

h(m)

可用公式

h

=

-4.9t2+

19.6t来表示，其中

t

(s)表示足球被踢出后经过的时间，则球在

s后落地.44.如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度

y(米)关于水平距离

x(米)的函数表达式为

，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为

米.xyO25.根据以下素材，探索完成任务．如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？素材1图①中有一座拱桥，图②是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20m，拱顶离水面5m．据调查，该河段水位在此基础上再涨1.8m达到最高．如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？素材2为迎佳节，拟在图①桥洞前面的桥拱上悬挂40cm长的灯笼，如图③.为了安全，灯笼底部距离水面不小于1m；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．问题解决任务1确定桥拱形状在图②中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式.任务2探究悬挂范围在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围.任务3拟定设计方案给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标.解：任务1.以拱顶为原点，建立如图①所示的直角坐标系，则抛物线的顶点坐标为(0，0)，且过点B(10，－5)．任务3.方案一：如图②(坐标轴的横轴)，从顶点处开始悬挂灯笼，∵－6≤x≤6，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m，∴若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，1.6×4＞6，若顶点一侧悬挂3盏灯笼时，1.6×3＜6，∴顶点一侧最多悬挂3盏灯笼．∵灯笼挂满后成轴对称分布，∴共可挂7盏灯笼，∴最左边一盏灯笼的横坐标为－1.6×3＝－4.8.方案二：如图③，∵若顶点一侧悬挂5盏灯笼时，0.8＋1.6×(5－1)＞6，若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，0.8＋1.6×(4－1)＜6，∴顶点一侧最多悬挂4盏灯笼．∵灯笼挂满后成轴对称分布，∴共可挂8盏灯笼，∴最左边一盏灯笼的横坐标为－0.8－1.6×3＝－5.6.转化回归