湖南省长沙市长沙大学附属中学2025~2026学年高三上册（10月）月考数学试卷（含解析）

湖南省长沙市长沙大学附属中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题一、单选题1.已知集合A={1,2},B={1,2,3},A．∅ B．{1,2,3} C．3 D．{1,2}2.已知z=12A．12 B．22 C．323.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若c=4，A=π3，且BE为边AC上的高，ADA．2 B．−2 C．6 D．−64.已知sinα−πA．−79 B．79 C．−5.已知l,m是两条不同的直线，α为平面，A．若l∩α=A，且l与α不垂直，则B．若l与α不平行，则l与m一定是异面直线C．若l∩α=A，且A∉D．若l//α，则l与6.已知函数f(x)=−xA．(−∞,−1] B．[−1,0] C．[0,17.已知函数f(x)=A．π6 B．π3 C．−28.定义域为R的偶函数f(x)在(−∞,0]上单调递减，且f(3)=0，若关于x的不等式(mxA．2e3 B．2e2 C．2二、多选题9.数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布Bn,p，那么当n比较大时，X近似服从正态分布Nμ,σ2，其密度函数为φμ，σx=1A．当x>0时，B．ΦC．随机变量XNμ,σ2，当μ，D．随机变量XNμ,σ2，当μ增大，σ10.已知函数f(A．∃x0B．函数f(C．曲线y=f(D．存在实数a，b，使得函数f(x)的定义域11.已知点F是抛物线C：y2=8x的焦点，点A是抛物线C的准线与x轴的交点，过点A且斜率为k的直线lA．k的取值范围为−1，0B．AMC．若NF=2MF，则kD．点M关于x轴的对称点在直线NF上三、填空题12.若直线x+2y−2=013.若关于x的不等式lnx≤1a14.从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不同的数，且这三个数之积为偶数，记满足条件的这三个数之和为X；从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，且这两个数之积为偶数，记满足条件的两个数之和为Y.则PX四、解答题15.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a（1）若a=4，b=5，求（2）若sinAcos2B2+sinBcos2A16.已知椭圆C:x2a2+y2b（1）求C的方程；（2）已知直线l:y=13x+17.如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，∠BAP=∠BAD(1)求证：AB⊥(2)若CD⊥AD，求直线BP与平面18.已知函数fx=lnx−（1）若函数y=fx（2）记hx①当a=1时，求h②若hx的最小值为2，求a19.（2025·天津）已知数列an是等差数列，bn是等比数列，（1）求an，b（2）∀n∈N∗，（i）求证：对任意实数t∈Tn（ii）求Tn湖南省长沙市长沙大学附属中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题一、单选题1.已知集合A={1,2},B={1,2,3},A．∅ B．{1,2,3} C．3 D．{1,2}【答案】D【解析】A∩所以(A故选D.2.已知z=12A．12 B．22 C．32【答案】B【解析】由复数模的公式可知，|z故选：B．3.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若c=4，A=π3，且BE为边AC上的高，ADA．2 B．−2 C．6 D．−6【答案】D【解析】因为AD为边BC上的中线，所以AD⟶又BE为边AC上的高，所以AC⋅在Rt△ABE中，所以AD=1故选D.4.已知sinα−πA．−79 B．79 C．−【答案】B【解析】由题意结合诱导公式得sin2由二倍角的余弦公式得cos(2故选：B5.已知l,m是两条不同的直线，α为平面，A．若l∩α=A，且l与α不垂直，则B．若l与α不平行，则l与m一定是异面直线C．若l∩α=A，且A∉D．若l//α，则l与【答案】D【解析】对A：在平面α内，存在无数条直线和l垂直，故A错误；对B：当l⊂α时，l与对C：若l∩α=A，且A∉对D：若l//α，在α内存在直线与l垂直，故其可能与故选D.【分析】结合点线面之间的关系逐项判断即可得.6.已知函数f(x)=−xA．(−∞,−1] B．[−1,0] C．[0,1【答案】D【解析】因为f(x)=x解得−1≤a故选D．7.已知函数f(x)=A．π6 B．π3 C．−2【答案】A【解析】因为图象过点5π12,05π12为函数递减区间上的零点，可得5π因为|φ|<π故选A.8.定义域为R的偶函数f(x)在(−∞,0]上单调递减，且f(3)=0，若关于x的不等式(mxA．2e3 B．2e2 C．2【答案】C【解析】解：因为f(x)是定义域为R所以(mx−2)f(x因为f(x)在(−∞,0]上单调递减，且f(3)=0，所以f(所以当x∈(−∞,−1)∪(5,+∞)时，f(x−2)>0，当因为[(m−所以当x∈[−1,5]时，(m−所以m−所以em当且仅当m=1，n故选C二、多选题9.数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布Bn,p，那么当n比较大时，X近似服从正态分布Nμ,σ2，其密度函数为φμ，σx=1A．当x>0时，B．ΦC．随机变量XNμ,σ2，当μ，D．随机变量XNμ,σ2，当μ增大，σ【答案】BD【解析】对于A：当x>0时，P对于B：根据正态曲线的对称性可得：Φ−x=对于CD：根据正态分布的3σ准则，在正态分布中σ代表标准差，μ代表均值，x根据3σ原则可知X数值分布在μ−σ故选BD.10.已知函数f(A．∃x0B．函数f(C．曲线y=f(D．存在实数a，b，使得函数f(x)的定义域【答案】ABD【解析】因为f(当fx0=−52，所以2−5ex0f(−x)+fxf′(x)=5exe令f(x)=12y=ex,y=x+64−x有两个交点，所以存在实数故选：ABD.11.已知点F是抛物线C：y2=8x的焦点，点A是抛物线C的准线与x轴的交点，过点A且斜率为k的直线lA．k的取值范围为−1，0B．AMC．若NF=2MF，则kD．点M关于x轴的对称点在直线NF上【答案】ABD【解析】抛物线C：y2=8x，其焦点F2，0，准线x=−2A选项，联立y=kx+2y由直线与抛物线有两个交点，得k≠0解得−1<k<1且k≠0，即kB选项，过M、N作准线垂线，垂足为由抛物线定义知MD=MF，根据平行线分线段成比例，可得AMAN=MDC选项，由NF=2MF，则设Mx1，又y1+yD选项，直线MF斜率kMF=y1xk设M关于x轴对称点为M'，则kM'F=−kMF=kNF，且M'综上，答案选ABD.三、填空题12.若直线x+2y−2=0【答案】255【解析】直线x+2y−2=0与坐标轴的交点为2,0若2,0是椭圆的焦点，0,1是椭圆的一个顶点，此时椭圆的焦点在x轴且c=2,b=1，所以a若0,1是椭圆的焦点，2,0是椭圆的一个顶点，此时椭圆的焦点在y轴且c=1,b=2，所以a所以椭圆的离心率为255或故答案为：255或13.若关于x的不等式lnx≤1a【答案】e【解析】由a≠0，x>0，原不等式可化为设fx=lnx−1x，则f′xx∈e2,+∞，f′x<0，x>e时，fx>0.y=当a>0时，ab为直线y=1再令fx=0，可得x=e，所以ab取得最大值为e.此时a=e2【分析】由a≠0，x>0，原不等式可化为lnx−1x≤1ax−14.从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不同的数，且这三个数之积为偶数，记满足条件的这三个数之和为X；从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，且这两个数之积为偶数，记满足条件的两个数之和为Y.则PX【答案】5【解析】从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不同的数，要满足三个数之积为偶数，则这三个数中至少有1个偶数，总共有C9从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，且这两个数之积为偶数，则这两个数中至少有1个偶数，总共有C5又Xmin=6,X接下来，找出X和Y相等的情况：当X=Y=6当X=Y=7当X=当X=Y=9所以PX四、解答题15.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a（1）若a=4，b=5，求（2）若sinAcos2B2+sinBcos2A【解析】（1）a=4，b=5，a+由余弦定理得cosC=（2）sinAcossinA⋅即sinA+即sinA+sinB+sinA+由正弦定理得a+因为a+b+c=16，所以4△ABC的面积S=1联立a+b=12与ab16.已知椭圆C:x2a2+y2b（1）求C的方程；（2）已知直线l:y=13x+【解析】（1）由题意可得c=22故C的方程为x2（2）联立x212+Δ=4m2设Ax1,AB=10解得m=±2，即m的值为17.如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，∠BAP=∠BAD(1)求证：AB⊥(2)若CD⊥AD，求直线BP与平面【解析】(1)证明：由AP=AD，可知△BAP≌△BAD，所以取DP的中点E，连结AE，BE，则AE⊥DP，BE⊥所以DP⊥平面ABE又AB⊂平面ABE所以AB⊥(2)由(1)及AB//CD，可知CD⊥所以CD⊥平面PAD即AB⊥平面PAD以A为原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴，过A作平面ABCD的垂线为z轴，建立如图空间直角坐标系．则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(1，2，0)设P(0，则PD得P(0，所以DC=(1，0，0)，DP=(0，−1设平面PCD的法向量为n=(则n⋅DC=0可取n=(0，设直线BP与平面PCD所成角为α，则sinα=|所以直线BP与平面PCD所成角的正弦值为7418.已知函数fx=lnx−（1）若函数y=fx（2）记hx①当a=1时，求h②若hx的最小值为2，求a【解析】（1）函数y=fx的定义域为0,+∞，令设tx=lnxx，则t当0<x<e时，t′x所以tx=lnxx因为t1=0，te=1e，当（2）①当a=1时，h设mx=x令m′x=0当0<x<1时，m′x<0所以mx=x−ln所以mminx=m1②hx由①知，2lnx−2x≥2所以0≤a19.（2025·天津）已知数列an是等差数列，bn是等比数列，（1）求an，b（2）∀n∈N∗，（i）求证：对任意实数t∈Tn（ii）求Tn【解析】解：（1）设数列an的公差为d，数列bn公比为则由题得2+d所以an（2）（i）证明：由（1）pnanbn当pn设Sn所以2S所以−S所以Sn=8+3