江苏省南通市如皋市2025~2026学年高三上册第一次教学质量调研数学试卷（含解析）

江苏省南通市如皋市2025-2026学年高三上学期第一次教学质量调研数学试题一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上)1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【详解】∵，，∴.故选：A.2.设，则（）A. B. C. D.【答案】B【详解】，所以.故选：B3.“双曲线的两渐近线夹角为”是“”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【详解】双曲线的两渐近线夹角为，所以或，所以或.“或”是“”的必要不充分条件.故选：C4.已知随机事件互相独立，满足，，则（）A. B. C. D.【答案】A【详解】因为随机事件互相独立，所以，则，,解得，，，．故选：A．5.三棱锥中，平面平面，和均为等边三角形，则二面角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】C【详解】如图，作出符合题意的图形，取的中点，连接，因为和均为等边三角形，所以，，因为平面平面，且面，所以面，则以为原点建立空间直角坐标系，设和的边长为，可得，，，得到，，设面的法向量为，可得，令，解得，故，易得面法向量为，设二面角为，由图可知为锐角，则，故C正确故选：C6.函数在区间上存在单调增区间，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【详解】函数定义域为，，因为函数在区间上存在单调增区间，所以区间有解，即在区间有解，所以在区间上能成立，故，又，当且仅当时取等，所以．故选：B．7.已知圆及两点，，若圆上任一点，都满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【详解】设点，则，.若满足，则，即，即，所以.令，则表示点到坐标原点的距离.如图，当线段过圆心时，最大，最大值为.所以的取值范围是.故选：D.8.已知定义在上的函数满足：，都有，且，当时，有，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【详解】定义在上的函数满足：，都有，且，所以，故，在等式中，令可得，所以，所以，，，，，在等式中，令可得，所以，所以，，，，当时，有，又因为，且，故.故选：B.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知函数，下列说法正确的是（）A. B.为偶函数C.当时， D.若，则【答案】BC【详解】因为，对于A选项，，A错；对于B选项，当时，，则，当时，，则，所以，对任意的，，故函数为偶函数，B对；对于C选项，当时，，所以，故，C对；对于D选项，若，则，此时，D错.故选：BC.10.已知二项展开式，下列说法正确的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【详解】令，对于A选项，的展开式通项为，其中，，所以，A对；对于B选项，，所以，B错；对于C选项，，所以，C对；对于D选项，，故，D对.故选：ACD.11.一个封闭的直三棱柱容器内装有高度为3的水(如图所示，底面处于水平状态)．记水面为，，，现以所在直线为旋转轴，将容器逆时针旋转的过程中，下列说法正确的是（）A.水面形状的变化依次为三角形，等腰梯形，矩形B.水面可能是正三角形C.当经过时，与面的交线长为D.当逆时针旋转时，水面的面积为【答案】ABCD【详解】A选项，水的体积，，所以当水面经过时，水面与棱相交，如图3，当水面经过点时，水面与面相交，如图4，则在此之前水面形状均为三角形，继续旋转直至之前，水面形状为等腰梯形，如图5，转至时，水面形状为矩形，如图6，故A选项正确；B选项，初始位置，如图1，，当水面经过时，如图3，此时，所以，，所以在转动过程中，存在，使得水面是正三角形，故B选项正确；C选项，如图4，，且由于与相似，则，，故C选项正确；D选项，当逆时针旋转时，如图6，，且由于与相似，则，则，则水面的面积为，故D选项正确.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）12.已知，，则的最小值为______．【答案】【详解】，且，，当且仅当，即时，等号成立，又，故时，等号成立，所以的最小值为8.故答案为：13.已知是坐标原点，抛物线的焦点是，过的直线与交于两点，现将抛物线沿轴翻折，则三棱锥体积的最大值为_____.【答案】【详解】抛物线的焦点为.易知直线的斜率必不为0，故设直线：.联立方程组，消去并整理得.设，，则，.设抛物线沿轴翻折后点到平面的距离为，则，∴.故答案为：.14.小明同学有一个质地均匀的正四面体玩具，四个面分别标有数字1，2，3，4，现随机抛掷，记录每次朝下的面上的数字，如果是数字4就停止，否则继续抛掷，至多抛3次．设这几次记录的最大数字为，则_____；_____．【答案】①.②.【详解】的可能取值为1，2，3，4，，即抛掷3次，朝下的面上的数字均为1，抛掷3次，朝下的面上的数字共有种情况，故，，即抛掷3次，朝下的面上的数字中，最大数字为2，分有1个2，2个2和3个2三种情况，故；，即抛掷3次，朝下的面上的数字中，最大数字为3，分有1个3，2个3和3个3三种情况，故；，抛掷1次，朝下的面上的数字为4，此时概率为，或抛掷2次，第二次朝下的面上的数字为4，此时概率为，抛掷3次，第三次朝下的面上的数字为4，此时概率为，故；故故答案为：，.四、解答题（本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.为促进消费，扩大内需，江苏省体育局主办了年城市足球联赛，简称“苏超”．随着赛事的进行，引发全省乃至全国人民的关注，城市旅游人数显著提升．下表是比赛五个月来的某城市旅游人数（百万）与第个月的数据：（月份）（人数）（1）已知可用线性回归模型拟合与的关系，请建立关于的线性回归方程；（2）该市随机抽取了部分市民及游客，调查他们对赛事的关注情况，得到如下列联表：性别不关注赛事关注赛事男性女性请依据小概率值的独立性检验，能否认为关注“苏超”赛事与性别有关．参考公式：，，其中．【答案】（1）（2）能，理由见解析【小问1详解】由表格中的数据可得，，所以，，故关于的线性回归方程为.【小问2详解】零假设关注“苏超”赛事与性别无关，由表格中的数据可得，依据小概率值的独立性检验，能认为关注“苏超”赛事与性别有关.16已知函数．（1）求的极值；（2）若，都有，求的取值范围．【答案】（1）极小值为，极大值为（2）【小问1详解】由题意可知，且，所以，当时，，列表如下：减极小值增极大值减此时，函数的极小值为，极大值为；当时，，列表如下：增极大值减极小值增此时，函数的极小值为，极大值为.综上所述，函数的极小值为，极大值为.【小问2详解】当时，由（1）可知函数在上单调递增，在上单调递减，若，都有，只需，即，解得，此时；当时，由（1）可知函数在上单调递减，在上单调递增，因为，与题设条件矛盾.综上所述，实数的取值范围是.17.如图，在斜三棱柱中，，侧面为矩形，在底面内的射影为．（1）求证：且；（2）若，，与底面所成角的正切值为，求直线到平面的距离．【答案】（1）见解析（2）【小问1详解】连接并延长交于点，连接，因为在底面内射影为，所以平面，则，又因为侧面为矩形，所以，而，所以，由于平面，所以平面，又因为平面，所以，即，因为，，所以D为中点，则为的垂直平分线，所以，因此，且得证；【小问2详解】由（1）知平面，已知，，则就是与底面所成角，其正切值为，余弦值为，，解得，则，，，设点到平面的距离为，，解得，又易得平面，所以到平面的距离为．18.某班准备在周六和周日两天分别进行一次环保志愿活动，分别由李老师和王老师负责通知，已知该班共60名学生，每次活动需40人参加，假设李老师和王老师通过“家校通”平台分别将通知独立、随机地发给60位学生家长中的40人，且保证所发通知都能收到．（1）求该班甲同学家长收到李老师或王老师通知的概率；（2）设该班乙同学家长收到通知的次数为，求的分布列及数学期望；（3）设两次都收到通知的人数为变量，则的可能取值有哪些？并求出取到其中哪一个值的可能性最大？请说明理由．【答案】（1）（2）分布列见解析，（3）取到27的可能性最大【小问1详解】李老师通知40人，甲同学家长未收到李老师通知的概率为，王老师通知40人，甲同学家长未收到王老师通知的概率也为，因为李老师和王老师发通知是独立事件，所以甲同学家长未收到李老师和王老师通知的概率为，所以甲同学家长收到李老师或王老师通知的概率为；【小问2详解】表示乙同学家长收到通知的次数，的可能取值为0，1，2，，，，所以分布列为：012期望；【小问3详解】表示两次都收到通知的人数，的可能取值为20，21，22，…，40，设，则，所以，令，解得，所以时，单调递增，时，单调递减，又，则，所以时概率最大，则取到27的可能性最大．19.已知椭圆的离心率为，短轴长为2，椭圆上有两点关于原点对称，动点与两点的连线分别交椭圆于点，满足，.（1）求椭圆的方程；（2）求动点的轨迹方程；（3）过点作椭圆的两条切线（与坐标轴不垂直），试探究两切线斜率乘积是否为定值？【答案】（1）（2）（3）为定值，证明见解析【小问1详解】因为椭圆的短轴长为2，离心率为，所以，，由椭圆的性质得，且，解得，，则椭圆的方程为.【小