广东省五校协作体高三第一次联考试卷（1月）数学（理）试题

广东省五校协作体2018届高三第一次联考试卷（1月）数学（理）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.A．45°B．30° C．15° D．60° A．B．C.D．A．B．C.D．8.若平面截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面平行的棱有（）A．0条 B．1条 C．2条 D．1条或2条 A．6 B．5 C．4 D．3（1）曲线有两条对称轴，一个对称中心（2）曲线上的点到原点距离的最小值为1上述命题正确的个数是（） A．1B.2 C.3 D.4第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）15.两所学校分别有2名，3名学生获奖，这5名学生要排成一排合影，则存在同校学生排在一起的概率为． 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）(1)求角的大小；19.据某市地产数据研究院的数据显示，2016年该市新建住宅销售均价走势如图所示，为抑制房价过快上涨，政府从8月份采取宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制．（1）地产数据研究院研究发现，3月至7月的各月均价（万元/平方米）与月份之间具有较强的线性相关关系，试建立关于的回归方程（系数精确到0.01），政府若不调控，依次相关关系预测第12月份该市新建住宅销售均价；（2）地产数据研究院在2016年的12个月份中，随机抽取三个月份的数据作样本分析，若关注所抽三个月份的所属季度，记不同季度的个数为，求的分布列和数学期望．求椭圆的方程；请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修44：坐标系与参数方程（1）写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程；23.选修45：不等式选讲试卷答案一、选择题1．【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（CUA）∩B，根据集合的运算求解即可．【解答】解：由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（CUA）∩B，∴（CUA）∩B={4，6}．故选B2．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵（i﹣1）z=i，∴，∴z的虚部是﹣．故选：D．3.【考点】抛物线的简单性质．【分析】设点M（，p），K（﹣，0），则直线KM的斜率k=1，即可求得∠MKF=45°．【解答】解：由题意，|MF|=p，则设点M（，p），∵K（﹣，0），∴kKM=1，∴∠MKF=45°，故选A．4．【考点】几何概型．【分析】该题涉及两个变量，故是与面积有关的几何概型，分别表示出满足条件的面积和整个区域的面积，最后利用概率公式解之即可．【解答】解：在区间上任选两个数x和y，区域的面积为，满足y＜sinx的区域的面积为=（﹣cosx）=1，∴所求概率为．故选C．5．【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；运用诱导公式化简求值；图形的对称性．【分析】化简函数的表达式，函数y=f（x+φ）的图象关于直线x=0对称，说明是偶函数，求出选项中的一个φ即可．【解答】解：=2sin（x+），函数y=f（x+φ）=2sin（x+φ+）的图象关于直线x=0对称，函数为偶函数，∴φ=故选D．6．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r．【解答】解：由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r，则10﹣r+10﹣r=10cm∴r=10﹣5≈3cm．故选：A．7．【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量y的值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：xy|y﹣x|是否小于或等于2是否继续循环循环前20/第一圈208|8﹣20|=12＞2是第二圈82|2﹣8|=6＞2是第三圈2﹣1|﹣1﹣2|=3＞2是第四圈﹣1﹣|﹣﹣（﹣1）|=＜2否故输出y的值为﹣．故选：D．8．【考点】直线与平面平行的判定．【分析】利用已知条件，通过直线与平面平行的性质、判定定理，证明CD∥平面EFGH，AB∥平面EFGH，得到结果．【解答】解：如图所示，四边形EFGH为平行四边形，则EF∥GF，∵EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD，∴EF∥平面BCD，∵EF⊂平面ACD，平面BCD∩平面ACD=CD，∴EF∥CD，∴CD∥平面EFGH，同理AB∥平面EFGH，故选C．9.【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，4），z=2|x﹣2|+|y|=﹣2x+y+4，化为y=2x+z﹣4．由图可知，当直线y=2x+z﹣4过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为4．故选：C．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．10．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由右顶点M在以AB为直径的圆的外，得|MF|＞|AF|，将其转化为关于a、b、c的式子，再结合平方关系和离心率的公式，化简整理得e2﹣e﹣2＜0，解之即可得到此双曲线的离心率e的取值范围．【解答】解：由于双曲线﹣=1（a＞0，b＞0），则直线AB方程为：x=﹣c，因此，设A（﹣c，y0），B（﹣c，﹣y0），∴=1，解之得y0=，得|AF|=，∵双曲线的右顶点M（a，0）在以AB为直径的圆外，∴|MF|＞|AF|，即a+c＞，将b2=c2﹣a2，并化简整理，得2a2+ac﹣c2＞0两边都除以a2，整理得e2﹣e﹣2＜0，∵e＞1，∴解之得1＜e＜2．故选：B．11．【解答】D12．【考点】抽象函数及其应用．【分析】对任意s∈[﹣4，﹣2），存在t∈[﹣4，﹣2），不等式f（s）﹣g（t）≥0成立，等价于：f（s）min≥g（t）min．利用分段函数的性质可得f（s）min，利用导数研究函数的单调性极值与最值可得g（t）min．【解答】解：对任意s∈[﹣4，﹣2），存在t∈[﹣4，﹣2），不等式f（s）﹣g（t）≥0成立，等价于：f（s）min≥g（t）min．定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=，令x∈[﹣4，﹣2），则（x+4）∈[0，2]，f（x+4）=，﹣4≤x＜﹣3时，f（x）=﹣2x﹣＞﹣2×（﹣3）﹣=﹣．﹣3≤x＜﹣2时，f（x）=﹣≥﹣2．可得f（x）min=﹣8．函数g（x）=x3+3x2+m，x∈[﹣4，﹣2），g′（x）=3x2+6x=3x（x+2）＞0，∴函数g（x）在x∈[﹣4，﹣2）单调递增，∴g（x）min=g（﹣4）=﹣64+48+m=m﹣16，由题意可得：﹣8≥m﹣16，解得m≤14．∴实数m的取值范围是（﹣∞，14]故选：C．二、填空题13.【考点】二项式系数的性质．【分析】根据二项式展开式中恰好第5项的二项式系数最大，得出n的值，再利用展开式的通项公式求出展开式中含x2项的系数即可．【解答】解：∵在二项式（x﹣）n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，∴展开式中第5项是中间项，共有9项，∴n=8；展开式的通项公式为Tr+1=•x8﹣r•=（﹣1）r••x8﹣2r，令8﹣2r=2，得r=3，∴展开式中含x2项的系数是（﹣1）3•=﹣56．14．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】运用向量模的公式和向量的平方即为模的平方，可得•，再由在方向上的投影为，计算即可得到所求．【解答】解：=（，），||=1，|+2|=2，可得||=1，|+2|2=4，即为2+4•+42=4，即有1+4•+4=4，•=﹣，可得在方向上的投影为=﹣．故答案为：﹣．15．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】利用对立事件概率计算公式能求出结果．【解答】解：由已知得存在同校学生排在一起的概率为：P=1﹣=．故答案为：16．答案：4709三、解答题17．解(1)因为eq\r(2)asinA＝(eq\r(2)b－c)sinB＋(eq\r(2)c－b)·sinC，由正弦定理得eq\r(2)a2＝(eq\r(2)b－c)b＋(eq\r(2)c－b)c，整理得eq\r(2)a2＝eq\r(2)b2＋eq\r(2)c2－2bc，由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(\r(2)bc,2bc)＝eq\f(\r(2),2)，因为A∈(0，π)，所以A＝eq\f(π,4).(2)由cosB＝eq\f(2\r(5),5)，得sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\r(1－\f(4,5))＝eq\f(\r(5),5)，所以cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)×\f(2\r(5),5)－\f(\r(2),2)×\f(\r(5),5)))＝－eq\f(\r(10),10)，由正弦定理得b＝eq\f(asinB,sinA)＝eq\f(\r(10)×\f(\r(5),5),\f(\r(2),2))＝2，所以CD＝eq\f(1,2)AC＝1，在△BCD中，由余弦定理得BD2＝(eq\r(10))2＋12－2×1×eq\r(10)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(10),10)))＝13，所以BD＝eq\r(13).18．【考点】二面角的平面角及求法；棱锥的结构特征．【分析】（Ⅰ）取BD中点O，连结CO，EO，推导出CO⊥BD，EO⊥BD，由此能证明BE=DE．（Ⅱ）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣AE﹣D的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）取BD中点O，连结CO，EO，∵△BCD是等腰三角形，∠BCD=120°，∴CB=CD，∴CO⊥BD，又∵EC⊥BD，EC∩CO=C，∴BD⊥平面EOC，∴EO⊥BD，在△BDE中，∵O为BD的中点，∴BE=DE．（Ⅱ）∵平面EBD⊥平面ABCD，平面EBD∩平面ABCD=BD，EO⊥BD，∴EO⊥平面ABCD，又∵CO⊥BD，AO⊥BD，∴A，O，C三点共线，AC⊥BD，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系，在正△ABCD中，AB=2，∴AO=3，BO=DO=，∵直线AE与平面ABD所成角为45°，∴EO=AO=3，A（3，0，0），B（0，，0），D（0，﹣，0），E（0，0，3），=（﹣3，，0），=（﹣3，﹣，0），=（﹣3，0，3），设平面ABE的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，，1），设平面ADE的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣，1），设二面角B﹣AE﹣D为θ，则cosθ===．∴二面角B﹣AE﹣D的余弦值为．19．【考点】线性回归方程；频率分布折线图、密度曲线．【分析】（Ⅰ）求出回归系数，可得回归方程，即可预测第12月份该市新建住宅销售均价；（Ⅱ）X的取值为1，2，3，求出相应的概率，即可求X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由题意月份x34567均价y0.950.981.111.121.20=5，=1.072，=10，∴==0.064，=﹣=0.752，∴从3月到6月，y关于x的回归方程为y=0.06x+0.75，x=12时，y=1.47．即可预测第12月份该市新建住宅销售均价为1.47万元/平方米；（Ⅱ）X的取值为1，2，3，P（X=1）==，P（X=3）==，P（X=2）=1﹣P（X=1）﹣P（X=3）=，X的分布列为X123PE（X）=1×+2×+3×=．20．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，即椭圆左焦点坐标，结合椭圆离心率可得长半轴长，再由b2=a2﹣c2求出短半轴，则椭圆E的标准方程可求；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为：x=ty+m，由整理得（t2+2）y2+2tmy+m2﹣2=0由•为定值，解得m，|AB|=|y1﹣y2|=，点O到直线AB的距离d=，△OAB面积s=即可求得最值【解答】解：（Ⅰ）设F1（﹣c，0），∵抛物线y2=﹣4x的焦点坐标为（﹣1，0），且椭圆E的左焦点F与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，∴c=1，又椭圆E的离心率为，得a=，于是有b2=a2﹣c2=1．故椭圆Γ的标准方程为：．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为：x=ty+m，由整理得（t2+2）y2+2tmy+m2﹣2=0，，==（t2+1）y1y2+（tm﹣t）（y1+y2）+m2﹣=．要使•为定值，则，解得m=1或m=（舍）当m=1时，|AB|=|y1﹣y2|=，点O到直线AB的距离d=，△OAB面积s==．∴当t=0，△OAB面积的最大值为，21．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）在定义域（0，+∞）内对函数f（x）求导，求其极大值，若是唯一极值点，则极大值即为最大值．（2）在定义域（0，+∞）内对函数f（x）求导，对a进行分类讨论并判断其单调性，根据f（x）在区间（0，e]上的单调性求其最大值，并判断其最大值是否为﹣3，若是就可求出相应的最大值．（3）先求导，再求导，得到g′（x）为增函数，不妨令x2＞x1，构造函数，利用导数即可证明【解答】解：（1）易知f（x）定义域为（0，+∞），当a=﹣1时，f（x）=﹣x+lnx，，令f′（x）=0，得x=1．当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数．f（x）max=f（1）=﹣1．∴函数f（x）在（0，+∞）上的最大值为﹣1，（2）∵．①若，则f′（x）≥0，从而f（x）在（0，e]上是增函数，∴f（x）max=f（e）=ae+1≥0，不合题意，②若，则由，即由，即，从而f（x）在（0，﹣）上增函数，在（﹣，e]为减函数∴令，则，∴a=﹣e2，（3）证明：∵g（x）=xf（x）=ax2+xlnx，x＞0∴，∴g′（x）为增函数，不妨令x2＞x1令，∴，∵，∴而h（x1）=0，知x＞x1时，h（x）＞0故h（x2）＞0，即22．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）把直线l的参数方程消去参数t可得，它的直角坐标方程；把圆C的极坐标方程依据互化公式转化为直角坐标方程．（Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数），代入圆C的直角坐标方程，得，结合根与系数的关系进行解答．【解答】解：（Ⅰ）由直线l的参数方程为（t为参数），得直线l的普通方程为x+y﹣7=0．又由ρ=6sinθ得圆C的直角坐标方程为x2+（y﹣3）2=9；（Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数），代入圆C的直角坐标方程，所以t1+t2=2，t1t2=1，∴t1＞0，t2＞0，所以+=23．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）分类讨论求得原不等式解集．（Ⅱ）由分段函数f（x）的解析式可得f（x）的单调性，由此求得函数f（x）的值域，求出的取值范围．再根据关于x的方程=a的解集为空集，求得实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）解不等式|x﹣2|+|2x+1|＞5，x≥2时，x﹣2+2x+1＞5，解得：x＞2；﹣＜x＜2时，2﹣x+2x+1＞5，无解，x≤﹣时，2﹣x﹣2x﹣1＞5，解得：x＜﹣，故不等式的解集是（﹣∞，﹣）∪（2，+∞）；（Ⅱ）f（x）=|x﹣2|+|2x+1|=，故f（x）的最小值是，所以函数f（x）的值域为[，+∞），从而f（x）﹣4的取值范围是[﹣，+∞），进而的取值范围是（﹣∞，﹣]∪（0，+∞）．根据已知关于x的方程=a的解集为空集，所以实数a的取值范围是（﹣，0]．广东省五校协作体2018届高三第一次联考数学参考答案及评分细则一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U=N*，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为（）A．{2} B．{4，6} C．{1，3，5} D．{2，4，6}【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（CUA）∩B，根据集合的运算求解即可．【解答】解：由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（CUA）∩B，∴（CUA）∩B={4，6}．故选B2．已知i是虚数单位，复数z满足（i﹣1）z=i，则z的虚部是（）A． B． C． D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵（i﹣1）z=i，∴，∴z的虚部是﹣．故选：D．3.已知M是抛物线C：y2=2px（p＞0）上一点，F是抛物线C的焦点，若|MF|=p，K是抛物线C的准线与x轴的交点，则∠MKF=（）A．45° B．30° C．15° D．60°【考点】抛物线的简单性质．【分析】设点M（，p），K（﹣，0），则直线KM的斜率k=1，即可求得∠MKF=45°．【解答】解：由题意，|MF|=p，则设点M（，p），∵K（﹣，0），∴kKM=1，∴∠MKF=45°，故选A．4．在区间上任选两个数x和y，则y＜sinx的概率为（）A． B． C． D．【考点】几何概型．【分析】该题涉及两个变量，故是与面积有关的几何概型，分别表示出满足条件的面积和整个区域的面积，最后利用概率公式解之即可．【解答】解：在区间上任选两个数x和y，区域的面积为，满足y＜sinx的区域的面积为=（﹣cosx）=1，∴所求概率为．故选C．5．已知，函数y=f（x+φ）的图象关于直线x=0对称，则φ的值可以是（）A． B． C． D．【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；运用诱导公式化简求值；图形的对称性．【分析】化简函数的表达式，函数y=f（x+φ）的图象关于直线x=0对称，说明是偶函数，求出选项中的一个φ即可．【解答】解：=2sin（x+），函数y=f（x+φ）=2sin（x+φ+）的图象关于直线x=0对称，函数为偶函数，∴φ=故选D．6．一块硬质材料的三视图如图所示，正视图和俯视图都是边长为10cm的正方形，将该木料切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径最接近（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r．【解答】解：由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r，则10﹣r+10﹣r=10cm∴r=10﹣5≈3cm．故选：A．7．执行如图所示的程序框图，若输入x=20，则输出的y的值为（）A．2 B．﹣1 C．﹣ D．﹣【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量y的值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：xy|y﹣x|是否小于或等于2是否继续循环循环前20/第一圈208|8﹣20|=12＞2是第二圈82|2﹣8|=6＞2是第三圈2﹣1|﹣1﹣2|=3＞2是第四圈﹣1﹣|﹣﹣（﹣1）|=＜2否故输出y的值为﹣．故选：D．8、．若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面α平行的棱有（）A．0条 B．1条 C．2条 D．1条或2条【考点】直线与平面平行的判定．【分析】利用已知条件，通过直线与平面平行的性质、判定定理，证明CD∥平面EFGH，AB∥平面EFGH，得到结果．【解答】解：如图所示，四边形EFGH为平行四边形，则EF∥GF，∵EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD，∴EF∥平面BCD，∵EF⊂平面ACD，平面BCD∩平面ACD=CD，∴EF∥CD，∴CD∥平面EFGH，同理AB∥平面EFGH，故选C．9.已知实数x，y满足，则z=2|x﹣2|+|y|的最小值是（）A．6 B．5 C．4 D．3【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，4），z=2|x﹣2|+|y|=﹣2x+y+4，化为y=2x+z﹣4．由图可知，当直线y=2x+z﹣4过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为4．故选：C．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．10．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0），过其左焦点F作x轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若双曲线的右顶点在以AB为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，） B．（1，2） C．（，+∞） D．（2，+∞）【考点】双曲线的简单性质．【分析】由右顶点M在以AB为直径的圆的外，得|MF|＞|AF|，将其转化为关于a、b、c的式子，再结合平方关系和离心率的公式，化简整理得e2﹣e﹣2＜0，解之即可得到此双曲线的离心率e的取值范围．【解答】解：由于双曲线﹣=1（a＞0，b＞0），则直线AB方程为：x=﹣c，因此，设A（﹣c，y0），B（﹣c，﹣y0），∴=1，解之得y0=，得|AF|=，∵双曲线的右顶点M（a，0）在以AB为直径的圆外，∴|MF|＞|AF|，即a+c＞，将b2=c2﹣a2，并化简整理，得2a2+ac﹣c2＞0两边都除以a2，整理得e2﹣e﹣2＜0，∵e＞1，∴解之得1＜e＜2．故选：B．（1）曲线C有两条对称轴，一个对称中心（2）曲线C上的点到原点距离的最小值为1上述命题正确的个数是A．1B.2C.3D.4【解答】D12．定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=，函数g（x）=x3+3x2+m．若对任意s∈[﹣4，﹣2），存在t∈[﹣4，﹣2），不等式f（s）﹣g（t）≥0成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣12] B．（﹣∞，14] C．（﹣∞，﹣8] D．（﹣∞，]【考点】抽象函数及其应用．【分析】对任意s∈[﹣4，﹣2），存在t∈[﹣4，﹣2），不等式f（s）﹣g（t）≥0成立，等价于：f（s）min≥g（t）min．利用分段函数的性质可得f（s）min，利用导数研究函数的单调性极值与最值可得g（t）min．【解答】解：对任意s∈[﹣4，﹣2），存在t∈[﹣4，﹣2），不等式f（s）﹣g（t）≥0成立，等价于：f（s）min≥g（t）min．定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=，令x∈[﹣4，﹣2），则（x+4）∈[0，2]，f（x+4）=，﹣4≤x＜﹣3时，f（x）=﹣2x﹣＞﹣2×（﹣3）﹣=﹣．﹣3≤x＜﹣2时，f（x）=﹣≥﹣2．可得f（x）min=﹣8．函数g（x）=x3+3x2+m，x∈[﹣4，﹣2），g′（x）=3x2+6x=3x（x+2）＞0，∴函数g（x）在x∈[﹣4，﹣2）单调递增，∴g（x）min=g（﹣4）=﹣64+48+m=m﹣16，由题意可得：﹣8≥m﹣16，解得m≤14．∴实数m的取值范围是（﹣∞，14]故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在二项式（x﹣）n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是．【考点】二项式系数的性质．【分析】根据二项式展开式中恰好第5项的二项式系数最大，得出n的值，再利用展开式的通项公式求出展开式中含x2项的系数即可．【解答】解：∵在二项式（x﹣）n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，∴展开式中第5项是中间项，共有9项，∴n=8；展开式的通项公式为Tr+1=•x8﹣r•=（﹣1）r••x8﹣2r，令8﹣2r=2，得r=3，∴展开式中含x2项的系数是（﹣1）3•=﹣56．14．已知=（，），||=1，|+2|=2，则在方向上的投影为﹣．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】运用向量模的公式和向量的平方即为模的平方，可得•，再由在方向上的投影为，计算即可得到所求．【解答】解：=（，），||=1，|+2|=2，可得||=1，|+2|2=4，即为2+4•+42=4，即有1+4•+4=4，•=﹣，可得在方向上的投影为=﹣．故答案为：﹣．15．两所学校分别有2名，3名学生获奖，这5名学生要排成一排合影，则存在同校学生排在一起的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】利用对立事件概率计算公式能求出结果．【解答】解：由已知得存在同校学生排在一起的概率为：P=1﹣=．故答案为：答案：4709三、解答题17．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且eq\r(2)asinA＝(eq\r(2)b－c)sinB＋(eq\r(2)c－b)sinC.(1)求角A的大小；(2)若a＝eq\r(10)，cosB＝eq\f(2\r(5),5)，D为AC的中点，求BD的长．[解](1)因为eq\r(2)asinA＝(eq\r(2)b－c)sinB＋(eq\r(2)c－b)·sinC，由正弦定理得eq\r(2)a2＝(eq\r(2)b－c)b＋(eq\r(2)c－b)c，………（1分）整理得eq\r(2)a2＝eq\r(2)b2＋eq\r(2)c2－2bc，……………(2分)由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(\r(2)bc,2bc)＝eq\f(\r(2),2)，……………（4分）因为A∈(0，π)，所以A＝eq\f(π,4).……………（5分）(2)由cosB＝eq\f(2\r(5),5)，得sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\r(1－\f(4,5))＝eq\f(\r(5),5)，……………（6分）所以cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)×\f(2\r(5),5)－\f(\r(2),2)×\f(\r(5),5)))＝－eq\f(\r(10),10)，……8分由正弦定理得b＝eq\f(asinB,sinA)＝eq\f(\r(10)×\f(\r(5),5),\f(\r(2),2))＝2，………（9分）所以CD＝eq\f(1,2)AC＝1，………（10分）在△BCD中，由余弦定理得BD2＝(eq\r(10))2＋12－2×1×eq\r(10)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(10),10)))＝13，…（11分）所以BD＝eq\r(13).………（12分）18．如图，在四棱锥E﹣ABCD中，△ABD是正三角形，△BCD是等腰三角形，∠BCD=120°，EC⊥BD．（Ⅰ）求证：BE=DE；（Ⅱ）若AB=2，AE=3，平面EBD⊥平面ABCD，直线AE与平面ABD所成的角为45°，求二面角B﹣AE﹣D的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；棱锥的结构特征．【分析】（Ⅰ）取BD中点O，连结CO，EO，推导出CO⊥BD，EO⊥BD，由此能证明BE=DE．（Ⅱ）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣AE﹣D的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）取BD中点O，连结CO，EO，∵△BCD是等腰三角形，∠BCD=120°，∴CB=CD，∴CO⊥BD，………（2分）又∵EC⊥BD，EC∩CO=C，∴BD⊥平面EOC，∴EO⊥BD，………（4分）在△BDE中，∵O为BD的中点，∴BE=DE．………（5分）（Ⅱ）∵平面EBD⊥平面ABCD，平面EBD∩平面ABCD=BD，EO⊥BD，∴EO⊥平面ABCD，………（6分）又∵CO⊥BD，AO⊥BD，∴A，O，C三点共线，AC⊥BD，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系，在正△ABCD中，AB=2，∴AO=3，BO=DO=，………（7分）∵直线AE与平面ABD所成角为45°，∴EO=AO=3，………（8分）A（3，0，0），B（0，，0），D（0，﹣，0），E（0，0，3），=（﹣3，，0），=（﹣3，﹣，0），=（﹣3，0，3），………（9分）设平面ABE的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，，1），………（10分）设平面ADE的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣，1），………（11分）设二面角B﹣AE﹣D为θ，则cosθ===．∴二面角B﹣AE﹣D的余弦值为．………（12分）19．据某市地产数据研究院的数据显示，2016年该市新建住宅销售均价走势如图所示，为抑制房价过快上涨，政府从8月份采取宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制．（Ⅰ）地产数据研究院研究发现，3月至7月的各月均价y（万元/平方米）与月份x之间具有较强的线性相关关系，试建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01），政府若不调控，依次相关关系预测第12月份该市新建住宅销售均价；（Ⅱ）地产数据研究院在2016年的12个月份中，随机抽取三个月份的数据作样本分析，若关注所抽三个月份的所属季度，记不同季度的个数为X，求X的分布列和数学期望．参考数据：回归方程=x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．【考点】线性回归方程；频率分布折线图、密度曲线．【分析】（Ⅰ）求出回归系数，可得回归方程，即可预测第12月份该市新建住宅销售均价；（Ⅱ）X的取值为1，2，3，求出相应的概率，即可求X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由题意月份x34567均价y0.950.981.111.121.20=5，=1.072，………（1分）=10，………（2分）∴==0.064，………（3分）=﹣=0.752，………（4分）∴从3月到6月，y关于x的回归方程为y=0.06x+0.75，………（5分）x=12时，y=1.47．即可预测第12月份该市新建住宅销售均价为1.47万元/平方米；………（6分）（Ⅱ）X的取值为1，2，3，………（7分）P（X=1）==，P（X=3）==，P（X=2）=1﹣P（X=1）﹣P（X=3）=，………（10分）X的分布列为X123P………（11分）E（X）=1×+2×+3×=．………（12分）20．已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左焦点F1与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，椭圆E的离心率为，过点M（m，0）（m＞）作斜率不为0的直线l，交椭圆E于A，B两点，点P（，0），且•为定值．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）求△OAB面积的最大值．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，即椭圆左焦点坐标，结合椭圆离心率可得长半轴长，再由b2=a2﹣c2求出短半轴，则椭圆E的标准方程可求；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为：x=ty+m，由整理得（t2+2）y2+2tmy+m2﹣2=0由•为定值，解得m，|AB|=|y1﹣y2|=，点O到直线AB的距离d=，△OAB面积s=即可求得最值【解答】解：（Ⅰ）设F1（﹣c，0），∵抛物线y2=﹣4x的焦点坐标为（﹣1，0），且椭圆E的左焦点F与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，∴c=1，………（1分）又椭圆E的离心率为，得a=，………（2分）于是有b2=a2﹣c2=1．故椭圆Γ的标准方程为：．………（3分）（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为：x=ty+m，由整理得（t2+2）y2+2tmy+m2﹣2=0………（4分），………（5分），==（t2+1）y1y2+（tm﹣t）（y1+y2）+m2﹣=．………（7分）要使•为定值，则，解得m=1或m=（舍）………（8分）当m=1时，|AB|=|y1﹣y2|=，………（9分）点O到直线AB的距离d=，………（10分）△OAB面积s==．………（11分）∴当t=0，△OAB面积的最大值为，………（12分）21．已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为常数，设e为自然对数的底数．（1）当a=﹣1时，求f（x）的最大值；（2）若f（x）在区间（0，e]上的最大值为﹣3，求a的值；（3）设g（x）=xf（x），若a＞0，对于任意的两个正实数x1，x2（x1≠x2），证明：2g（）＜g（x1）+g（x2）．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）在定义域（0，+∞）内对函数