高二数学（人教A版）导学案选择性必修一2-42-4-1圆的标准方程

2.4圆的方程2.4.1圆的标准方程[教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学][课时目标]1.会根据圆心与半径写圆的标准方程,根据圆的标准方程得圆心与半径.2.会用待定系数法和几何法求圆的标准方程.会用坐标法和几何法判断点与圆的位置关系.1.圆的标准方程以A(a,b)为圆心,r为半径的圆的标准方程是.

2.点与圆的位置关系圆的标准方程为(xa)2+(yb)2=r2,圆心为A(a,b),半径为r.设所给点为M(x0,y0),A,M两点间距离为d,则位置关系利用距离判断利用方程判断点M在圆上dr

(x0a)2+(y0b)2=r2点M在圆外dr

(x0a)2+(y0b)2>r2点M在圆内dr

(x0a)2+(y0b)2<r2|微|点|助|解|(1)当圆心在原点即A(0,0)时,方程为x2+y2=r2.(2)当圆心在原点即A(0,0),半径长r=1时,方程为x2+y2=1,称为单位圆.(3)相同的圆,建立坐标系不同时,圆心坐标不同,导致圆的方程不同,但是半径是不变的.基础落实训练1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)方程(xa)2+(yb)2=m2一定表示圆.()(2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径.()(3)点(0,0)在圆(x1)2+(y2)2=1上.()(4)若圆的标准方程是(x+m)2+(y+n)2=a2(a≠0),此时圆的半径一定是a.()2.若某圆的标准方程为(x1)2+(y+5)2=3,则此圆的圆心和半径分别为()A.(1,5),3 B.(1,5),3C.(1,5),3 D.(1,5),33.已知圆C的方程为(x+1)2+(y3)2=12,则点A(1,6)在()A.圆内 B.圆上C.圆外 D.不确定4.已知圆心为(2,1)的圆过点(0,1),则该圆的标准方程是()A.(x+2)2+(y1)2=4 B.(x+2)2+(y1)2=1C.(x2)2+(y+1)2=4 D.(x2)2+(y+1)2=1题型(一)求圆的标准方程方法1直接法求圆的标准方程[例1]求满足下列条件的圆的标准方程:(1)圆心是(4,0),且过点(2,2);(2)圆心在y轴上,半径为5,且过点(3,4).听课记录:|思|维|建|模|直接法求圆的标准方程确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径,常用到中点坐标公式、两点间距离公式,有时还用到平面几何知识,如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等.方法2待定系数法求圆的标准方程[例2]已知A(0,1),B(2,1),C(3,4),则△ABC外接圆的方程为.

听课记录:|思|维|建|模|待定系数法求圆的标准方程设出圆的标准方程(xa)2+(yb)2=r2,由题目给出的已知条件找到参数a,b,r的关系,列出方程组并求出a,b,r.此方法的计算量较大,应注意运算的技巧性.方程组中圆的标准方程左端是平方和的形式,右端是同一常数,两式相减后可简化运算.方法3几何性质法求圆的标准方程[例3]过点A(1,1),B(1,1),且圆心在直线x+y2=0上的圆的方程是()A.(x3)2+(y+1)2=4B.(x+3)2+(y1)2=4C.(x1)2+(y1)2=4D.(x+1)2+(y+1)2=4听课记录:|思|维|建|模|几何性质法求圆的标准方程的两种思路(1)根据题意设出圆心坐标、半径,然后由圆上任意一点到圆心的距离等于半径列方程求得参数的值,由此确定圆心坐标和半径;(2)从几何的角度考虑,圆心在圆的弦的垂直平分线上,求出连接圆上两点的线段的垂直平分线的方程,与已知的圆心所在直线的方程联立求得圆心坐标,再由两点间距离公式求得半径.[针对训练]1.已知点A(1,1)和点B(1,3),则以线段AB为直径的圆的标准方程为()A.(x+2)2+(y4)2=5B.(x+2)2+(y4)2=20C.x2+(y1)2=5D.x2+(y1)2=202.已知圆C过点A(1,2)和B(1,10)且圆心C到直线x2y1=0的距离与半径长相等.求圆C的方程.题型(二)点与圆的位置关系[例4](1)已知a,b是方程x2x2=0的两个不相等的实数根,则点P(a,b)与圆C:x2+y2=8的位置关系是()A.点P在圆C内 B.点P在圆C外C.点P在圆C上 D.无法确定(2)已知点P(2,1)和圆C:x+a22+(y1)2=1,若点P在圆C上,则实数a=;若点P在圆C外,则实数a听课记录:|思|维|建|模|判断点与圆的位置关系的两种方法几何法利用点到圆心的距离与半径比较大小并作出判断代数法把点的坐标代入圆的标准方程,判断式子两边的大小,并作出判断[针对训练]3.点P(3,m)与圆(x+1)2+y2=9的位置关系是()A.在圆内 B.在圆外C.在圆上 D.不确定4.若点A(a,a1)在圆(x3)2+(y2)2=2的外部,则实数a的取值范围是()A.(2,4) B.(∞,2)C.(4,+∞) D.(∞,2)∪(4,+∞)课下请完成课时检测(二十三)2．4圆的方程2．4.1圆的标准方程课前预知教材1．(x－a)2＋(y－b)2＝r22.＝＞＜[基础落实训练]1．(1)×(2)√(3)×(4)×2.B3.C3.C4.A课堂题点研究[题型(一)][例1]解：(1)r2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8，∴圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝8.(2)设圆心为C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，∴b＝0或b＝－8，∴圆心为(0,0)或(0，－8)．又r＝5，∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.[例2]解析：设△ABC外接圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，因为A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0－a2＋1－b2＝r2，,2－a2＋1－b2＝r2，,3－a2＋4－b2＝r2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝3，,r2＝5，))因此△ABC外接圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝5.答案：(x－1)2＋(y－3)2＝5[例3]选C法一由已知可得线段AB的中点坐标为(0,0)，kAB＝eq\f(1－－1,－1－1)＝－1，∴弦AB的垂直平分线的斜率为k＝1，线段AB的垂直平分线的方程为y－0＝1·(x－0)，即y＝x，则圆心是直线y＝x与x＋y－2＝0的交点．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,x＋y－2＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1.))即圆心坐标为(1,1)，圆的半径为eq\r(1－12＋[1－－1]2)＝2.故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.法二设点C为圆心．∵点C在直线x＋y－2＝0上，∴可设点C的坐标为(a,2－a)．又∵该圆经过A，B两点，∴|CA|＝|CB|.∴eq\r(a－12＋2－a＋12)＝eq\r(a＋12＋2－a－12)，解得a＝1.∴圆心坐标为C(1,1)，半径长r＝|CA|＝2.故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.[针对训练]1．选C法一因为点A(1，－1)和点B(－1,3)为直径端点，所以AB的中点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－1,2)，\f(－1＋3,2)))，即M(0,1)为圆心，由|AB|＝eq\r([1－－1]2＋－1－32)＝2eq\r(5)，则圆的半径r＝eq\f(|AB|,2)＝eq\r(5)，故圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝5.法二由题意圆的方程可以为(x－1)(x＋1)＋(y＋1)(y－3)＝0，即x2＋y2－2y－4＝0，即x2＋(y－1)2＝5.2．解：圆心在线段AB的垂直平分线y＝6上，设圆心为(a,6)，半径为r，则圆的方程为(x－a)2＋(y－6)2＝r2.将点(1,10)代入得(1－a)2＋(10－6)2＝r2①.而r＝eq\f(|a－13|,\r(5))，代入①，得(a－1)2＋16＝eq\f(a－132,5)，解得a＝3，r＝2eq\r(5)，或a＝－7，r＝4eq\r(5).故圆C的方程为(x－3)2＋(y－6)2＝20或(x＋7)2＋(y－6)2＝80.[题型(二)][例4](1)选A由题意，得a＋b＝1，ab＝－eq\r(2)，∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1＋2eq\r(2)<8，∴点P在圆C内．(2)解析：由题意，当点P在圆C上时，由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(a,2)))2＋(1－1)2＝1，解得a＝－2或a＝－6.当点P在圆C外时，由eq\b\lc\(\