15.3.1等要三角形的判定 课件 2025-2026学年人教版数学八年级上册

幻灯片1：封面标题：15.3.1等腰三角形的判定副标题：探索等腰奥秘，解锁三角形新特性背景图：展示一个等腰三角形，将其对称轴用醒目的颜色标记，三角形的两腰长度相等直观可辨，背景辅以简洁的几何线条，突出主题。幻灯片2：学习目标理解并掌握等腰三角形的判定定理，能清晰阐述判定定理的内容及推导过程。能够熟练运用等腰三角形的判定定理进行相关证明，包括证明三角形是等腰三角形、线段相等以及角相等的问题。通过对判定定理的探究，体会数学中的转化思想，即把证明线段相等的问题转化为证明角相等，提升逻辑推理能力。学会在实际生活情境中，运用等腰三角形的判定知识解决问题，增强数学应用意识。幻灯片3：知识回顾等腰三角形定义：展示一个等腰三角形，标注出两腰，提问学生等腰三角形的定义，引导回答：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。等腰三角形性质：提问：等腰三角形有哪些性质？学生回答后总结：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）；等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合（简写成“三线合一”）。动画演示：通过动画展示等腰三角形沿着顶角平分线折叠，两部分完全重合，再次强调“三线合一”性质，为判定定理的探究做铺垫。幻灯片4：判定定理探究——猜想环节提出问题：我们知道等腰三角形两底角相等，那么反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？引导猜想：展示一个有两个角相等的三角形，让学生观察并大胆猜想。鼓励学生通过测量三角形的边，初步得出“如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边相等”的猜想。幻灯片5：判定定理探究——证明环节已知条件：在△ABC中，∠B=∠C。求证内容：AB=AC。证明思路引导：提示学生添加辅助线，构造全等三角形来证明。动画展示：过点A作AD平分∠BAC，交BC于点D（也可作BC边上的高AD，或BC边上的中线AD）。证明过程：在△ABD和△ACD中：∠B=∠C（已知）。∠BAD=∠CAD（AD平分∠BAC）。AD=AD（公共边）。所以△ABD≌△ACD（AAS）。由全等三角形对应边相等，可得AB=AC。归纳判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）。用数学符号语言表示为：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC，即△ABC为等腰三角形。幻灯片6：判定定理应用——基础例题讲解例题1：在△ABC中，已知∠A=50°，∠B=80°，判断△ABC是什么三角形，并说明理由。分析思路：先求出∠C的度数，根据三角形内角和为180°，可得∠C=180°-∠A-∠B=180°-50°-80°=50°。发现∠A=∠C，满足等腰三角形“等角对等边”的判定条件。解答过程：解：因为∠C=180°-∠A-∠B=180°-50°-80°=50°，所以∠A=∠C。根据等腰三角形的判定定理“等角对等边”，可知AB=BC，所以△ABC是等腰三角形。幻灯片7：判定定理应用——角平分线与平行线结合例题2：如图，已知OC是∠AOB的平分线，CD∥OB交OA于点D。求证：△DOC是等腰三角形。分析思路：由OC平分∠AOB，可得∠AOC=∠BOC。因为CD∥OB，根据平行线的性质，内错角相等，所以∠DCO=∠BOC。从而得出∠AOC=∠DCO，满足等腰三角形“等角对等边”的条件。解答过程：证明：∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC。∵CD∥OB，∴∠DCO=∠BOC。∴∠AOC=∠DCO。根据“等角对等边”，可得OD=CD，所以△DOC是等腰三角形。总结规律：角平分线+平行线可以推出等腰三角形，帮助学生快速识别此类几何模型。幻灯片8：判定定理应用——实际生活问题生活情境：展示一个屋顶的示意图，屋顶的截面是一个三角形，工人师傅要检验这个屋顶是否为等腰三角形，他用量角器量得∠B=∠C=55°，能否判断这个屋顶是等腰三角形？分析思路：引导学生将实际问题转化为数学问题，已知∠B=∠C，根据等腰三角形的判定定理“等角对等边”，可判断该三角形是否为等腰三角形。解答过程：解：因为在这个三角形中，∠B=∠C=55°，满足等腰三角形“等角对等边”的判定条件。所以AB=AC，即这个屋顶的截面三角形是等腰三角形。强调数学应用价值：让学生体会到数学知识在实际生活中的广泛应用，激发学生学习数学的兴趣。幻灯片9：等腰三角形判定与性质对比表格对比：|对比项目|性质|判定||----|----|----||条件|三角形的两条边相等|三角形的两个角相等||结论|这两条边所对的角相等|这两个角所对的边相等||几何语言|在△ABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C|在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC||作用|由边相等推出角相等，用于证明角相等|由角相等推出边相等，用于证明三角形是等腰三角形或边相等|易错点提醒：强调“等边对等角”与“等角对等边”的前提条件都是在同一个三角形中，防止学生在应用时忽略这一要点。幻灯片10：课堂练习——分层巩固基础练习1：在△ABC中，∠A=40°，∠B=70°，判断△ABC的形状，并说明理由。（学生独立完成，教师随机提问解答）基础练习2：如图，已知∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，找出图中的等腰三角形，并说明理由。（学生思考后，同桌之间交流讨论，教师巡视指导，然后请小组代表发言）提升练习3：已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE=DF。求证：△ABD≌△ACD。（学生在练习本上书写证明过程，教师选取部分学生的作业进行展示和点评，强调证明格式和思路）拓展练习4：在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），B（0，2），在坐标轴上找一点C，使△ABC为等腰三角形，求点C的坐标。（小组合作探究，鼓励学生分类讨论，考虑AB为腰或底边的不同情况，教师引导学生画出图形，利用等腰三角形的性质和两点间距离公式求解，最后展示各小组的讨论结果，总结解题方法）幻灯片11：课堂小结判定定理总结：回顾等腰三角形的判定定理“等角对等边”，强调其条件和结论，以及在证明等腰三角形时的关键作用。证明思路归纳：总结证明等腰三角形的常见思路，如通过角相等证明边相等，利用角平分线与平行线的组合构造等腰三角形，以及在实际问题中如何识别和应用等腰三角形的判定定理。数学思想提炼：指出在整个学习过程中所运用的转化思想，将证明线段相等的问题转化为证明角相等，培养学生运用数学思想方法解决问题的能力。幻灯片12：课后作业教材习题：完成教材中与等腰三角形判定相关的3道基础题目，要求写出详细的证明过程，规范书写格式。实践作业：测量家里的一个三角形物品（如衣架、三角架等）的两个角的度数，判断该物品是否为等腰三角形，并记录测量数据和判断过程。拓展作业：如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E。猜想线段DE与BD、CE之间的数量关系，并证明你的猜想。（通过拓展作业，进一步提升学生综合运用知识的能力，培养学生的创新思维和探索精神）2024人教版数学八年级上册授课教师：

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15.3.1等要三角形的判定第十五章

轴对称aiTujmiaNg1.等腰三角形的定义？有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形.①等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)

.2.等腰三角形有哪些性质？DABC几何语言：∵AB=AC(已知)，

∴∠B=∠C(等边对等角).新课导入ABC如图，位于海上B、C两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报警，当时测得∠B=∠C.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？新课讲解

如图，在△ABC中,∠B=∠C,那么它们所对的边AB和AC有什么数量关系?CABAB=AC你能验证你的结论吗？等腰三角形的判定知识点

请同学用直尺和量角器，画一个△ABC，其中∠B=∠C=30°，请你量一量AB与AC的长度，它们之间有什么数量关系，你能得出什么结论？小活动新课讲解在△ABD与△ACD，∠1=∠2，∴△ABD≌△ACD（AAS）.∠B=∠C，AD=AD，∴AB=AC.过A作AD平分∠BAC交BC于点D.证明：CAB21D（（△ABC是等腰三角形.新课讲解∴

AC=AB.()即△ABC为等腰三角形.∵∠B=∠C，()等腰三角形的判定方法：

如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”，这又是一个判定两条线段相等的根据之一）.已知等角对等边在△ABC中，BCA((归纳总结应用格式：新课讲解ABCD21∵∠1=∠2,∴BD=DC（等角对等边）.∵∠1=∠2,∴DC=BCABCD21（等角对等边）.错，因为都不是在同一个三角形中.【思考】如图,下列推理正确吗?新课讲解例1

求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．已知：

如图，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC．求证：AB=AC．ABCE（（12D利用等腰三角形的判定定理判定三角形的形状例题讲解证明：∵AD∥BC，∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）．又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）．ABCE（（12D例题讲解已知：如图，AB=DC,BD=CA,BD与CA相交于点E.求证：△AED是等腰三角形.证明：∵AB=DC，BD=CA，AD=DA,∴△ABD≌△DCA(SSS),∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等),∴AE=DE(等角对等边）,∴△AED是等腰三角形.例题讲解例2已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC.求证：AB=AD.BADC由平行及角平分线识别等腰三角形例题讲解证明：∵AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC.

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC，

∴∠ABD=∠ADB，

∴AB=AD.总结：平分角+平行=等腰三角形BADC例题讲解如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3cm，则CD等于_______.3cm例题讲解如图，把一张长方形的纸沿着对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？BCADE答：是.由折叠可知，∠EBD=∠CBD.∵AD∥BC，∴∠EDB=∠EBD，∴BE=DE，△EBD是等腰三角形.∴∠EDB=∠CBD，例题讲解例3

如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形．通过计算角相等来证明等腰三角形例题讲解证明：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°.∵CD是AB边上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACD.∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE＝∠EAC，∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，即∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形．例题讲解方法点拨

“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，它的前提条件是“在同一个三角形中”．例题讲解例4已知等腰三角形底边长为a,底边上的高的长为h，求作等腰△ABC.使底边BC=a，底边上的高为h.ah利用尺规作图作等腰三角形例题讲解作法：1.作线段AB=a.2.作线段AB的垂直平分线MN，交AB于点D.3.在MN上取一点C，使DC=h.4.连接AC，BC，则△ABC即为所求.ABCMND例题讲解例5

如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O.过O作EF∥BC交AB于E，交AC于F.探究EF，BE，FC