天津市滨海新区北京师范大学天津生态城附属学校2025-2026学年高二上学期第一次（10月）月考数学试题（含答案）

北京师范大学天津生态城附属学校

2025-2026学年度高二年级第一学期第一次月考

数学试卷

注意事项：

1、本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。满分150分，考试时间120分钟。

2、答I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上，只交答题卡，试卷

学生带走，以备讲评。

第I卷(选择题，满分60分)

一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.直线y=-√3x+3的倾斜角为()

A.30°B.60°C.120°D.150°

2.已知空间向量a=(-2,2,1),B=(1,0,m),若a⊥b,则b|=()

A.√5B.3C.4D.5

3.空间向量a=(1,0,1)在B=(0,1,1)上的投影向量为()

A.BC.D

4.如图，在空间四边形OABC中，点E为BC中点，点F在OA上，且OF=2FA,则EF等于()

C.D.

5.已知过点M(-2,a),N(a,4)的直线的斜率则|MN|=()

A.10B.180C.6√3D.6√5

6.若直线L的方向向量为ü=(1,-2,3),平面α的法向量为π=(-2,4,-6),则()

A.l//αB.l⊥αC.lcαD.l与α相交但不垂直

7.点P(2,3)关于直线x+y+2=0的对称点的坐标为()

第1页，

A.(-3,-2)B.(-2,-3)C.(-5,-4)D.(-4,-5)

8.若直过第一、三、四象限，则实数a,b满足()

A.a<0,b<0B.a<0,b>0C.a>0,b>0D.a>0,b<0

9.已知空间中三点A(1,0,0),B(2,1,-1),C(0,-1,2),则点C到直线AB的距离为()

C

A.BD

10.若直线l₁:ax-y+1=0与l₂:x-ay-1=0平行，则L₁与l₂之间的距离为()

AB.√3C.√2D.2

11.已知点A(-4,3),B(3,9),若直线l:mx+y-m-2=0与线段AB有公共点，则实数m的取值

范围()

A.B.

C.D.

12.点P(-2,-1)到直线l:(1+3A)xt(±+λ)y-2-4λ=0(λ∈R)的距离最大时，其最大值以及

此时过点P且垂直于直线l的直线方程分别为()

A.√13;x+y-2=0B.√11;3x+y-4=0

C.√13;2x-3y+1=0D.√11;2x-3y+1=0

第Ⅱ卷(满分90分)

二、填空题：本题共8小题，共40分.

13.已知a=(1,1,0),b=(-1,0,2),则|2a-b|=

14.点P(1,2)到直线3x+4y-6=0的距离为

15.已知两点A(3,4)、B(-5,6),则直线AB的斜截式方程是

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18.已知直线l:ax+4y-2=0与直线lz:2x-5y+b=0互相垂直，垂足为(1,c),则a+b+c

的值为.

19.不论m为何数，直线(m-1)x+(2m-3)y+m=0恒过定点.

20.已知直线l:(a-4)x-3y+1=0和l₂:3x-(b+1)y+5=0垂直且a>0,b>0,则

的最小值为.

三、解答题：本题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

21.(本小题12分)

已知直线l₁:x-2y+3=0,l₂:2x+3y-8=0.

(1)经过点A(1,4)且与直线l₁平行的直线；

(2)经过点A(1,4)且与直线l₂垂直的直线；

(3)经过直线l₁与l₂的交点，且在两坐标上的截距相等的直线，

22.(本小题12分)

分别求满足下列条件的圆的标准方程：

(1)经过点A(3,2),B(2,3),圆心在x轴上；

(2)经过直线x+2y+3=0与x-.2y+3=0的交点，圆心为点C(-2,1).

23.(本小题13分)

在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为A₁C₁的中点.

(1)求异面直线AE与B₁C所成角的余弦值；

(2)求直线DD₁与平面B₁CE所成角的正弦值；

(3)求点A到平面B₁CE的距离.

24.(本小题13分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形，其中AD//BC,AB⊥AD,

,PA=4,E为棱BC上的点，」

(1)求证：DE⊥平面PAC;

(2)求平面APC与平面PCD所成角的余弦值；

(3)设Q为棱CP上的点(不与C,P重合),且直线QE与平面PAC所成角的正弦值的值.

数学答案

1-5CACBA6-10BADAA11-12BC

13.√19

14.

15.

16.-3

17.(r+1)²+(y-2)²=5

18.-4

19.(-1,-1)

20.2

21.(1)设所求直线方程为r-2y+c=0,把

A(1,4)代入得1-8+c=0,c=7,直线方程

为r-2y+7=0。

(2)直线l2的斜率为,则所求直线斜率为

3

2,方程,即

3r-2y+5=0。

(3)先求l₁与l₂的交点，联立

,解得当直线过

原点时，方程为y=2r;当直线不过原点时，

设方程为r+y=a,把(1,2)代入得a=3,方

程为r+v-3=0。综上，直线方程为y=2x

或r+v-3=0.

22.(1)设圆心为(a,0),则

解得a=2,半径

,圆的标准方程

为(x-2)²+y²=5。

(2)联立解得,圆

心C(-2,1),半径

,圆的标准方

程为(x+2)²+(y-1)²=2.

23题

以D为原点，分别以DA、DC、DD₁所在直线为

r、以、二轴建立空间直角坐标系，正方体棱长为

2,则A(2,0,0),E(1,1,2),B₁(2,2,2),

C(0,2,0),D₁(0,0,2)。

(1)AE=(-1,1,2),B₁C=(-2,0,-2),设异面

直线AE与B₁C所成角为θ,则

(2)DD₁=(0,0,2),设平面B₁CE的法向量为

n=(r,y,z),由B₁C=(-2,0,-2),

CE=(1,-1,2),得令r=1,

得z=-1,1=-1,n=(1,-1,-1)。设直线DD₁

与平面B₁CE所成角为α,则

(3)取AB₁=(0,2,2),点A到平面B₁CE的距离

24题

以A为原点，分别以AB、AD、AP所在直线为工、

U、z轴建立空间直角坐标系，A(0,0,0),

B(2,0,0),D(0,2,0),C(2,4,0),P(0,0,4),

E(2,1,0)。

(1)DE=(2,-1,0),AC=(2,4,0),

AP=(0,0,4),DE·AC=4-4+0=0,

DE·AP=0,又ACnAP=A,故DE⊥平面

PAC。

(2)设平面PCD的法向量为m=(T1,U1,z1),

PC=(2,4,-4),PD=(0,2,-4),由