广东省肇庆市2024-2025学年高一年级下册期末统一考试数学试卷（含答案解析）

广东省肇庆市2024-2025学年高一下学期期末统一考试数学试

卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知i为虚数单位，复数二■.1->•wok=()

I-I

A.而B.—C.(5D.乎

2.已知sina=-5cosa,则sin2a=(

4422

A.--B.-C.--D.-

3.己知向量"、用.百=(_川，且a_L八则("6)("%卜(:

A.8B.-8C.-J3D.-2

4.已知五所学校的人数分别为750,1000,1500,1250,500.按分层随机抽样方法抽取100

名学生，抽取的五所学校的学生人数形成一组数据，则该组数据的第40百分位数为()

A.15B.20C.17.5D.30

5.已知。为VABC的边8C的中点，。为A。上一点，且满足。。=20A,设=6，AC=e2,

则澳二()

1-2一I-5-I■"7-2一1一

A..《一、6B.，一eC.D.、%一

6.将函数y=sinx-J5e、x的图象上所有点的横坐标变为原来的;，再将图象向左平移3

个单位长度后，得到的函数图象关于)，轴对称，其中则©=(1

5Kx-Ttn

A.-B.C.-D.

1212R6

7.“投壶”游戏源于周代的射礼，是中国古代宴饮时的一种投掷游戏，要求游戏者站在一定

距离外，把箭投入壶中.甲、乙两人开始投壶游戏，约定规则如F：如果投一次，箭入壶中，

原投掷入继续投，如果箭没有入壶，那么换另一个人投掷.若甲、乙两人投箭入壶成功的概

率分别为:，:，甲先开始投掷，则第4次仍然由甲投掷的概率为()

741

A.B.C.

8.某公司为了调查员工的体重（单位：千克），因为女员工远多于男员工，所以按性别分层，

用分层随机抽样的方法抽取样本，已知抽取的所有员工的体重的方差为120,女员工的平均

体重为50,方差为50,男员工的平均体重为70,方差为30.若样本中有21名男员工，则

女员工的人数为（）

A.28B.35C.63D.48

二、多选题

9.下列说法正确的是（）

A.复数z=l—i的共轨复数的虚部为1

B.已知复数2=病一4+（机+2）i为纯虚数,则〃?二2

C.若复数z=（病一即〃+15）+（疗一+8）i在复平面内对应的点在第四象限，则4<m<5

D.若卜一2i|=3,贝打4口45

10.已知函数/（x）=2、in（2一；）下列说法正确的是（）

A./G）的图象关于点|：（）］对称

B./（x）在区间3上单调递增

c.若/（跖）/（占）二一4，其中项工两，则

D./（X）在区间:上的值域为卜’3.2：

II.已知事件A,8发生的概率分别为『（/）=；,2（&）=；，下列说法正确的是（）

A.齐。（初卜1,则事件4,3相互独立

B.若事件A,3互斥，则R山川・；

C.若事件A,B相互独立，则。

D.若事件8发生时事件A一定发生，则二:

三、填空题

试卷第2页，共4页

12.已知单位向量）,屈足I—*1=2,则「/二，）在力一方向上的投影向量等于_

（用向量表示）.

13.已处osaccs8二，，其中a.〃w|o.二，若tana—tun/3=6,则tan（a-/3）=------.

mI2J

14.记VABC的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,已知acosB=%cosA,若点尸满足

uuuruuuruuuruuuruuuruuor„--1….

PA.PB=P13.PC=PC.PA，且满足CQ-则8s±/CB=.

A

四、解答题

15.自农业农村部、财政部联合发布《2024—2026年农机购置与应用补贴实施意见》以来，

广东省结合本省实际，制定措施积极推动农业机械化向智能化、绿色化升级.某地区在多家

果蔬基地升级设备后，对果蔬基地在一段时间内的产量(单位：吨)做调查统计并将所有数

据分成[25,35),[35,45),[45,55),[55,65]四组，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)根据频率分布直方图，求，〃的值并估计样本重量的中位数；

(2)根据频率分布直方图，估计样本重量的平均数与方差(同一组中的数据用该组区间的中

点值作代表).

16.已知所1用■邛.由(8+。(其中"卜扣),共住J

(1)求sin2a;

(2)求cosB;

(3床啊2

17.为了鼓励社会力量参与科技创新拔尖人才贯通式培育工作，提高青少年对人工智能的整

体认知和应用水平，某地区面向该区青少年举办了“C++算法设计”科普公益大赛.

(1)若A,B,C三个赛区进入决赛的分别有1人、2人、3人，现需从这6人中随机选择2

试卷第3页，共4页

《广东省肇庆市2024-2025学年高一下学期期末统一考试数学试卷》参考答案

题号12345678910

答案BADCBADCABDACD

题号11

答案ABD

I.B

［分，］法一：若二",根据模长公式二-二求解即可：法二：根据复数的除法运兜及

工1-11

复数的模长公式即可求解.

2.A

【分析】根据同角三角函数的商数关系可得iana的值，结合二倍角公式与弦化切即可求解.

..2smaana2Una

【详解】由题意得山”==一

5所则勿7T

故选：A.

3.D

【分析】由向量垂直的坐标表示列方程求参数值，再由向量数量积的运算律及模长的坐标运

算求结果.

【i，解】由"/>_一鸿一.彳导工==，所以。+/?)(.-〃)=u2-b2=1-3=-2

故选：D

4.C

【分析】由题可求出分层抽样比为!，故五所学校抽取人数分别为：15,20,30,25,10,

根据第40百分位数的定义即可求解.

___________100____________J_

【详解】由题M知分层抽样比为;

7$O+IOOO+I«M)+⑵0+500一3

故五所学校抽取人数分别为：15,20,30,25,10,排序后分别为10,15,20,25,30.

因为5、°.4二2‘所以该组数据的第40百分位数为空-175.

答案第I页，共H页

故选：c.

5.B

【分析】根据题意作图，然后利用向量的线性运算求解即可.

【详解】如图所示，因为。为VA8C的边8C的中点，所以

因为0。=2OA,所以IO；ID,

6.A

【分析】根据辅助角公式化简可得根据图象变换"J'得新函数的解析式为

V-2Mn2,x*2r:根据新函数图象关于)，轴对称，可得入，-£二:+履“-/),即可求

解.

［详解］»=sinx-65Hx=2(故inx-印B>x=2sin。-；;经过两次变换后，新函数

的解析式为，=2sin2、♦20-；

因为新函数图象关于y轴对称，所以“-彳=：.H(AeZ),所以。

因为。，°,:,所以8=；：.

故选：A.

7.D

【分析】根据题意确定基本事件，再应用独立乘法公式及互斥事件加法求概率即可.

【详解】第4次仍然由甲投掷分为四类：

111

第一类，前三次均为甲中，概率为।xx-:

?22我

第二类，第一次甲中，第二次甲不中，第三次乙不中，概率为!:

77Af\

答案第2页，共11页

第三类，第一次甲不中，第二次乙中，第三次乙不中，概率为-

第四类，第一次甲不中，第二次乙不中，第三次甲中，概率为［x］x?=J.

242A

所以第4次仍然由甲投掷的概率为।।।।

869672

故选：D

8.C_

【分析】由题意，记样本中女员工的平均体重和方差分别为占=50,s；=50,所占权重为

W(W>0.5),男员工的平均体重和方差分别为七=70,欧=30,所占权重为I-W,根据分

层抽样的均值和方差公式即可求解w的值，进而求解女员J2的人数.

【详解】由题意，记样本中女员工的平均体重和方差分别为用工50,s；=50,所占权重为

w(w>0.5),

男员工的平均体重和方差分别为工370,学二30,所占权重为1・W,

所以样本中全部员工的平均体重为M(I-702(«,

方差

52=肃］「(1-w)/+(-x27J="50+(20-20/7」+(1-*30+(-20/

=-400vir+4201V+30=120,

化简得40m-42W+9=0,即(4w-3)(10w-3)=0,

解得W=0.75或w=0.3(舍)，

所以女员工的人数为：2，xll7563.

1-07^

故选：C.

9.ABD

【分析】根据复数的分类以及复数的几何意义逐一判断即可.

【详解】复数Z=l-i的共匏复数为z,=1+i,其虚部为I,所以A正确；

由〃3-4=0且〃?+2/0,得〃?=2,所以B正确；

由苏-8m+15>0且加・6加+8<0，得2<m<3,所以C错误；

设z=x+yiUy£R),则|二-2i=J(x-(『♦(>-2)：=3，所以z在复平面内对应的点到点

答案第3页，共11页

（0,2）的距离为3,

所以z在复平面内对应的点到点（0,0）的距离范围为[1,5],D正确.

故选：ABD

10.ACD

【分析】代入法验证对称中心判断A：根据正弦型函数的性质依次判断B、C、D.

由|=2WD-（）.A正确：

今比+可捋-三彳.H/WZ.

2321212

所以/（r）的单调递增区间为|-》履k./

显然”:|不是上述区间的子集，B错误；

IZ）

：/（大）/（电）=-4,

：/（占），/（小）一个为/G）的最大值，另一个为/（%）的最小值，

由r=；=*则,7：L=；.c正确：

若”‘你》则1r宁O则面（*；卜隹1,即/（小（。斗D正确.

故选：ACD

11.ABD

【分析】应用独立事件的判定得事件A,8相互独立，即可判断A；由互斥事件概率求法、

概率的基本性质依次判断B、C、D.

【徉第】・"（彳）=；,=[:P（A8）=P（A）.P⑻，

:事件A二3相互独立，贝！A,3相互独立，A正确；

由4,B互斥,则P（.4u8）=hI卜巴8）=：,H正确：

:4,8相互独立，则。（/8）=P（d）P（川=（,

・・・尸（/.8）=尸（4+。（加户6）夕（8）=（，C错误：

:6发生时A一定发生，：8UA,则。（/8）=?（H）=g・1】正确.

故选：ABD

答案第4页，共11页

12.-h

TTTT

【分析】由已知并应用向量数量积的运算律求〃力，根据投影向量的定义求a在方方向上的

投影向量.

【详解】因为X=2,所以J・W.》+}2=4,

又因为〃二,

=1，所以=-1»

d-bb

所以下\b\

故答案为：-1；-b.

13.)/0.75

4

【分析】由已知，商数关系及差角正弦公式得wn(a用再结合角的范围得

0)二:即可得.

■_sinasin6jwnacos6-casa^in6sinfcr-6)

【惮解】I»na-Uii6=-------------------=-----------=-s---------=6,

cosacos6cosacosffcosacosff

由casacos3二、，则、in(a-f,

..stn(a-S)3

.tan(a-8)=-\——<="

cos(ar-6)4

故答案为：-

4

14.*/02

【分析】由acos3=〃cosA借助正弦定理化简，得到VABC的性质。再由向量条件得到点P

的性质，处理（7户=〃£1+!（7乩得到，〃的值，最后求出cos上AC8的值.

【详解】解：由正弦定理得sinAcosB=sinBcosA,:sin（A-8）=0,*：A-BG（-TT.77）,

:A=8,

:AABC为等腰三角形.由〃|/明—〃从"="得/'H代）:PB±（1

：PB,LAC,同理可证P4j_BC,PC.LAB,：P为V4BC的痛心.

如图，延长CP交A8于点。，则。。_LA8且D为AB的中点，.•.而=相

答案第5页，共11页

:齐■血投此且C,P，。三点共线，；.方=3己7，所

AP•AC^CP^AC^1i](H.〃,_LCB,

6666

一一(5一I一、一

二川.即-H(Nn.

I6b)

：一：.cos上伍叫I(H•^|(H=()..I-H.

：C^l=CB[,

cosZ^ffi=1.

故答案为：;

15.(1)/«=0.03,中位数为47.5；

(2)平均数47,方差81.

【分析】(1)由频率和为1列方程求参数值，根据中位数的定义及直方图求中位数即可;

(2)根据宜方图中平均投求法、及方差公式求平均数和方差.

【详解】(1)：(0.01+0.02+m+0.04)x10=1,：m=0.03.

：(0.01+0.03)x10=0.4,(0.01+0.03+0.04)x10=0.8,

所以中位数落在区间［45,55)内，设中位数为r

由(0.01+0.03)x10+(%—45)x0.04=0.5,得x=47.5.

(2)平:均数的估计值为()1，与工-。3，告差+。』・竺/+02)＜岂券=47,

方差的估计值为0.1x(30—47):+03x(40-47)'+0,4x(50-47)?+0.2x(60-47)2=81.

16.(1|sin2cr=-^

答案第6页，共11页

⑶噜

【分析】（1）由题设及和角正弦公式可得=两侧平方并应用平方关系、二

倍角正弦公式即可得:

（2）应用平方关系求得cm；6j-：.再由差角余弦公式即可得：

（3）由已知及二倍角余弦公式得ex|；="结合角的范围即可求值.

【详解】（1）由题意知"sina♦85。■则sina-cosa=—!，

2243

..,|3

：.sm*a*cos'a♦2smacosar=-,WJsin2a---,

44

（2）由题意，则MYbL哈\\

6

由题意知§♦历可「夕.则c可丁5卜.水

(2)0.26

（3）0.3744

【分析】（1）根据古典概型概率公式即可求解；

（2）根据独立事件的乘法公式与互斥事件的概率加法公式即可求解；

（3）根据独立事件的乘法公式与互斥事件的概率加法公式即可求解.

【详解】（1）记来自人赛区的同学为人，来自5赛区的同学为从，B2,来自C赛区的同学

为G，G，。一设知="从6人中随机选择2人”：N:“选择的两人来自同一个赛区”.

则M={⑶8J,所与）,6,C.）,3,C2）,仇,G），（尻吟,®G）、（玩c2）,®G）,（坛G）.

（与G）,（”2,cJ，（G,G）,c'3）},有15种可能的结果.

答案第7页，共11页

N=｛（/?.,昆），（GC）.（G,C3）,（G,G）｝，有4种可能的结果.

所以尸（\）：，所以这两人来自同一个赛区的概率为；.

（2）设。:“甲能解决问题”，七二“乙能解决问题“，6="甲不能解决问题”，E二“乙不能

解决问题”，“甲、乙两名同学中恰好有一位同学能解决问题

显然P（Q）=0.8,P（D）=0.2,P（E）=0.9,P（£）«01.

因为事件诙互斥，事件。，E相互独立，

所以P（"UOE）=P（/）£）+P（QE）=P（Z；）P（£）+P（E）P（D）=0.8x0.1+0.9x0.2=0.26,

所以甲、乙两名同学中恰好有一位同学能解决该题的概盅为0.26.

（3）设Fi二“两轮测试中甲解决一道题“，入;“两轮测试中甲解决两道题”，

G="两轮测试中7.解决一道题”.G”“两轮测试中乙解决两道题”.

”二"两轮测试中甲、乙共解决三道题

P（F.）=（）.8x0.2+0.2x0.8=032:P（F）=0.8x（）.8=0.64：

P（G）=0.9x（）.1+0.|x0.9=0.18；P（G:）=0.9x0.9=0.81.

因为入G?,F2Gl互斥,事件E与G一尸2与Gi相互独立，

所以P⑻=P（F,G2U/；G（）=P（居）尸（G2）+P（B）尸（G）=0.32X0.81+0.64X（）.18=0.3744,

所以两轮测试中甲、乙共能解决三道题的概率为0.3744.

18.（I）sm4s1

⑵“理

3

⑶2.6

【分析】（1）由正弦定理集合同角基本关系即可求解：

（2）根据已知条件先求出sinC,结合正弦定理求出c=，力，根据面积公式即可求解•：

（3）利用正弦定理求出a值，再利用余弦定理求出。+c）-2标・；=2,利用半角公式即面

积公式求得儿'（•・（），两式联立求出8+。即可求解..

IA

【详解】（1）由正弦定理二-;—―^—7.得4sin4sin8=3sinBcosA,

31/kinntinr

答案第8页，共11页

V^€(0.M),/.smB^O..'.$W=-♦/.cosJ=-sin4

co$/43

vsm:^4-cos/f=1.49(0.*).1.sn/♦日sin：/=L

，93

.*.smJ"25'又二曲/>0，

(2：由⑴知，sinJ=W=?,则cos/".

5cos/45

7j2

smf=sin(R-4-ZJ)=sin(.4+/J)=sin/cmB+cos/anB=

由正弦定理得「.c7h,

smBbS

S="Acsin/I=-6x—6x-=2・5=2^^,

22555X

43

3由1I)知cosA-.,sinA-4，

由正弦定理得o.M•而/■空*工・0,

由余弦定理得〃+/・2bccosA=a2,