广西梧州市蒙山县2025届九年级上学期期末考试数学试卷（含答案）

广西梧州市蒙山县2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

一、单选题

1.二次函数y=-2x2的图像开口方向是（）

A.向下B.向左C.向上D.向右

2.反比例函数小=-,当x=2/=3时，则上的值为（）

X

A.6B.-6C.3D.2

3.六堡茶是广西梧州的特产.如图是梧州六堡茶茶叶的包装盒：它的主视图是（）

4.工人师傅用直角曲尺检查验收干区形工件，下列为合格的“半圆形工件”的是（）

A.y随％增大而增大B.歹随X增大而减小

C.函数图象位于第一，二象限D.函数图象位于第二，四象限

6.如图，要测量力4两点间距离，在。点设桩，取力。的中点的中点。，测得C0=4m,则的距

离为（）

A.12mB.8mC.6mD.4m

7.如图，在厂。中，AB=AC^C=10\则/力的度数为（）

C.30°D.40°

8.如图，。。，。〃分别为厂O的半径，点A在圆上，连接力8,AC.若N4=35。，则/AOC的度数是（）

C.55°D.35°

9.若两个三角形相似，其中一个三角形的两个角分别为80。和60。，则另一个三角形最小的角为（）

A.30°B.40°C.60°D.80°

10.如图，已知点C是线段的黄金分割点，且8C＞月C.若凡表示以8c为边的正方形的面积，S?表

示长为力。（力。=/18）、宽为4C的矩形的面枳，则S与S?的大小关系为（）

S>S

A.S=52B.12C.<S2D.无法确定

11.如图，二次函数了=。/+云+，的部分图象与X轴的一个交点的横坐标是-3,顶点坐标为(-1,4),则下

列说法正确的是()

A.二次函数图象的对称轴是直线x=l

B.二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2

C.当时，y随x的增大而减小

D.二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3

12.“赵爽弦图”是我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱.小华在如图所示的“赵爽

弦图”中，连接QG.若正方形4BCO与正方形EFG〃的边长之比为石：1,则cos/b0G等于()

。•半

二、填空题

13.抛物线y=*-4)2-5的顶点坐标是.

14.抛物线丁=/+云+。与工轴的交点坐标分别为(-1,0),(3,0).当yvO时，x的取值范围是.

15.如图①所示，在小孔成像的实践探究活动中，随着物距和像距的调节可得到蜡烛火焰的放大或缩小倒

立的实像.图形的位似变换也具有放大或缩小的性质，图②为有一实物高度48=1.5m/4分别表示物距和

像距，当乙4=1：2时，此时实物48的像的高度为m.

(2)若/6。。=45。，则力。的长度是多少？(白。1.73)

21.如图，在四边形45co中，已知乙4+/。=180。,48>3。.

(1)天规作图：作N48C的平分线交CO于点£.(不写作法，保留作图痕迹)

(2)在(1)条件下，连接力。交战于尸，证明：qCFEsqAFB.

22.如图，48是半圆0的直径，点。是弦4c延长线上一点，连接80,BC,ND=N4BC.

(1)求证：8。是半圆。的切线；

(2)若N4力C=30。，BC=5,则/C的长.

23.如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点力落在8C边的点F处.已知折痕AE=5石cm.且tanZ£FC=-.

AD

BFC

(1)求证：AAFBSAFEC

(2)求阴影部分面积.

24.综合与实践

【实践探索】某数学活动小组为了测量树力笈的裔度，经过实地测量，得到三个解决方案：

方案一：如图①，测得C地与树力8相距1()米，小明眼睛到地面距离为1.6米，从他的眼睛力处观测树力〃

的顶端A的仰角为32。；

方案二：如图②，测得C地与树才夕相距10米，在。处放一面镜子，后退2米到达点小明的眼睛力在

镜子。中距离地面1.6米，且恰好看到树48的顶端A.

方案三：如图③，在同一时刻的阳光下，测得树的影长为10米，测得高为2米的标杆。C的影长CE

是2.5米.

【问题解决】

(1)试选择一个方案求出树/出的高度.(结果保留整数，tan32。=0.64)

(2)在方案三条件下，如图③所示判断qECZ)和历1是否成为位似图形，若成立请作出它们的位似中心O,

并求出点。到点。的长度.若不成立,请说明理由.

25.已知V/1OB中，48。=30。,相为血的弦，直线MV与匚9相切于点C.

(1)如图①，若AB〃MN,直径C£交43于点。，求/4O8和NBCf1的度数；

(2)如图②，若AO〃MN,CDtAB,垂足为2。。与力。相交于点邑厂。的半径为6,求线段分的值.

OE

26.如图，已知抛物线＞=/+及+5与x轴相交于N(-l,0),5(5,0)两点,与尸轴相交于点C.

番用图

(1)求抛物线的表达式.

(2)点P为抛物线上的一个动点，且在直线8c的上方，试求△P8C面积的最大值.

(3)点£是线段4C上异于的前点，过点£的直线轴干点N,交抛物线于点当gECM为百

角三角形时，请直接写出点M的坐标.

参考答案

1.A

【详解】Vy=-2x2+1a=~2<0,

・•・图象的开口向下，

故答案为A.

2.A

解：把x=2,y=3,代入），="得：k=2x3=6,

x

故选：A.

3.A

解：主视图从前往后看（即从止面看）时，能看得见的棱，则主视图中对应为实线，且图形为矩形，左右

两边各有一个小矩形；

故选:A.

4.B

解：因为直径所对的圆周角是直角，

・•・只有B选项正确，其他均不正确.

故选:B.

5.D

解：•・•反比例函数），=-』中4=一5<0,

x

・•・图象经过二、四象限，在每一个象限中y随着x的增大而增大，

・・・A、B、C错误，D正确，故D选项符合题意；

故选：D.

6.B

解：•・•取40的中点C,80的中点。，

/.CD是40AB的中位线，

・•・,48=2CO=8m,

故选:B.

7.D

解：・.F8=4CNC=70。,

・•.Z5=ZC=70°,

AZJ=I80°-Z5-ZC=40°,

故选：D.

8.B

解：:御7=武；

:.Z.BOC=2ZA=2x350=70°.

故选：B.

9.B

解：•・•一个三角形的两个角分别为80。,60。，

・•・这个三角形的第三个角是180。-80。-60。=40。，

•・•两个三角形相似，已知三角形的最小角是40。，

・•・另一个三角形的最小的内角为40。.

故选:B.

10.A

解：•・•点C是线段48的黄金分割点，且

/.BC2=ACAB，

•・•$表示以8c为边的正方形的面积，$2表示长为力。(力。=M)、宽为4c的矩形的面积,

=BC\S2=ACAB,

・・・ST.

故选：A.

11.D

解：•・•二次函数y=++bx+c的顶点坐标为(T,4),

・••二次函数图象的对称轴是直线x=T,故选项A错误；

•・•二次函数y=a/+bx+c的图象与x轴的一个交点的横坐标是-3,对称轴是直线x=-1,

・••二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是1,故选项B错误；

•・•抛物线开口向下，对称轴是直线x=-l,

・••当x<-l时，y随x的增大而增大，故选项C错误：

设二次函数解析式为y=a(x+l)，4,

把(—3,0)代入，得0=。(-3+1『+4,

解得。二一1

/.v=-（x+I）~+4,

当了=0时，尸-(0+11+4=3,

・••二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3,故选项D正确,

故选D.

12.D

解.：设C/8G的长直角边为小短直角边为从大正方形的边长为石x,小正方形的边长为x,

即ED=BG=HC=/lF=b,AG=BH=CE=DF=a

a~+b~a=2xa=x

由题意得,解得一或6=2“（舍去）’

a-b=x

・•.FG=x,DF=2x,

:.GD=dDF2+FG?=yl（2x）2+x2=&，

DF2x2后

cosZ.FDG=

而一夜一-7

故选:D.

13.（4,-5）

解：：顶点式y=的顶点为(〃，左),

・•・7="—4『一5的顶点为(4,一5),

故答案为：(4,-5).

14.-1<x<3

解：・・"=1>0,

・•・抛物线开门向上，

•・・抛物线丁=/+6+6与X轴的交点坐标分别为(-1,0),(3,0),

・•・当”0时，-l<x<3.

故答案为：-l<x<3.

15.3

AB/.151

解:由题意得:行力即俞=5'

则43'=3m,

故答案为：3.

16.-8

解：•・•反比例函数尸々女工0）与一次函数y=-X+2的图象的一个交点的横坐标为4,

X

A7=-4+2=-2,

・•・反比例函数卜=々人=0）与一次函数），=r+2图象的一个交点为（4,-2）,

X

.q_k

4

・••上=-8,

故答案为：-8.

17.16^

解：设正六边形的中心是O,其一边是48,连接CM、OB、OC、AC,OB交AC于M,如图所示:

NAOB/BOC=60°

OA=AB=OB=OC-BC♦

・•・四边形川?。。是菱形,

AACS.OB,AM,

V,45=16mm,404=60。，

..sinZ.AOB------=------,

OAAB

：•AM=16x—=8百mm,

2

：,,4C=24W=16jJmm，

故答案为：16\/5.

18.2-百或2+白或2

解：为直径，DE为弦,

:.DE4AB,

.•.当OE的长为正整数时，DE=T或2,

当DE=2时，即OE为直径，

,/DE±AB

将£)8召沿DE翻折交直线AB于点F,止匕时F与点A重合,

故广3=2；

当访=1时，且在点C在线段08之间，

如图,连接O。，

DC=-DE=~,

22

OC=y]OD2-DC2=—，

2

2-x/3

:.BC=OB-OC=^^~，

2

BF=2BC=2-也；

BF=2BC=2+y/3,

综上，可得线段总的长为2-6或2+百或2,

故答案为：2-行或2+e或2.

八40

19.(1)尸=7

(2)5m‘/min

(1)解：设P与，之间的函数表达式为尸=工，

t

当尸=10m3min时,/=4min,

则10=。，

4

解得：〃=40,

40

・・・P与，之间的函数表达式为：尸=:；

40

(2)解：将，—8min代入〃=7,

40

则P=—=5m3min.

8

20.(1)10

(2)7.3

(1)解：•・•在V/18C中，NC=90。,/力=30。，48=20,

・•・BC=-AB=\0；

2

(2)解：•・•在V力8c中，ZC=90°,48=20,

由(1)知8c=10,

：・AC=y]AB2-BC2:10G

•・•ZBDC=45°,

・•・1CBD=45。,

・・・qC8O是等腰直角三角形，

：.CD=BC=\O,

:.=JC-CD=10x/3-l()«7.3.

21.⑴见解析

(2)见解析

(1)解：如图所示即为所求：

*/乙4+/。=180。，

AABnCD,

:.NFCE=Z.FAB,4FEC=Z.FBA,

:.qCFEsqAFB.

22.⑴见解析

(2)4。=5百.

(1)证明：8是半圆。的直径，

/.ZJCfi=90°,

eND=NABC,

：.NABD=180。-(4+ND)=180°-(Z^+ZABC)=90°,

8。是半圆。的切线；

(2)解：VZJC5=90°,Z5JC=30°,BC=5,

・•・,48=28C=10,

:.AC=JAB2-BC2=5-75.

23.(1)见解析

(2)30cm2

(I)证明：折叠矩形45C。的一边/。，使点。落在边8c上的点尸处,

£B=4C=4D=//PE=90°,

."CFE+NBFA=9()。,NBFA+2B4F=9伊，

:—AFBsqFEC；

PC3

（2）解：OtanZ£FC=—=-,

FC4

设EC=3/,FC=4r,

EF-DE=5t,

AB=CD=8t.

◎qAFBsqFEC，

ABBF8rBF

—=——即Hn——=——,

FCCE4f3r

：.BF=6t,

AF=10/.

在Rlq］心中，由勾股定理,得AE2=AF2+EF2，即（5石，=（10/f+（夕）2,

t2=-1（不合题意,舍大）,

:.3F=6cm,AB=8cm,EC=3cm,FC=4cm,

・•・阴影部分面积为+S«EF=IABBF+1ECFC=30cm2.

24.（1）8米，过程见解析

（2遥位似图形，位似中心见解析，OC=y

（1）解：方案一：过点。作。石工/〃，交AB于点E,

•・•/C=/B=NCDE=90。,

・•・四边形6C0E是矩形，

BE=CD=1.6,DE=BC=1U.

在Rtq/QE中，tan32°=《^=半,

,DE10

解得AE-6.4,

・•・48=N£+8£=6.4+L6=8（米）；

方案二:

•・•/E=NB=90°,N4CB=ZDCE，

・•・△ABCs^DEC，

・AB_BC

*~5E~~CE

即Ml

1.62

解得/也=8米；

方案三：•・•在同一时刻的阳光下,

.CDAB

**CE~~BC

AB2

即an一一—・，,

102.5

解得力4=8米；

(2)解：如图所示，连接4。并延长交8c的延长线于点O,点。即为所求作.

V—=—,/DCE=ZABC=q。。，

CEBC

・•・qCQEsq历/C,月.对应点连线交于一点,

CD2I

・・・(;£C。和△C84是位似图形，且位似比为彳=J=；

Aoo4

•0C1

I•=

OB4

即

QC+104

1()

解得OC

T

25.(1)406=120、/6C£=30c

⑵空

(1)解：®AB为1_O的弦,

OA=OB»

；・ZJ=Z.ABO,

0ZJ+NABO+NAOB=180°,NABO=30°，

NAOB=180°-2ZABO=120°；

。直线MV与1"■。相切于点C,CE为匚9的直径,

：.CE工MN.即N£CM=90。.

又AB//MN,

:.NCDB=/ECM=900.

在RlqODB中,ZBOE=900=60°.

&ZBCE=-ZBOE,

2

NBCE=3。。；

(2)解：如图，连接。C.

OB/4BO-

・•・^BAO=300,

•・•直线MN与厂。相切于点C,

・•・乙OCN=90。，

•：OAnmv,

・•・土OCM=4COA=90°,

GCD1AB,得NEDA=90°,

...在4中，ZBAO=30°,

・•・^AED=90°-NBAO=60°,

/CEO="ED=60°,

在RgCOE中，OC=6,Z.CEO=60°,

OCOC_?£,

OE=

tan/CEOtan60°'

AE=OA-()E=6-243,

在RlqAQE中，40=30。，

DE=/EsinNBAO=力EsinZ300=3—6,

.DE3—石3石一36—1

••