集合-2026高三一轮复习讲与练

第一章集合、常用逻辑用语与不等式

1.1集合

'考试要求

1.了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.

2.会求两个集合的并集、交集与补集.

3.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合

间的基本关系和基本运算.

住备知识回顾自主学习•甚啾回扣

教材回扣4

1.集合与元素

(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.

(2)元素与集合的关系是属于或不属于,用符号e或@表示.

(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法.

(4)常见数集的记法

非负整数集正整有理

集合整数集实数集

(或自然数集)数集数集

符号NN•（或N+）ZQR

2.集合的基本关系

(1)子集：一般地，对于两个集合力，B，如果集合片中任意一个元素都是集合B中的元

素,就称集合4为集合8的子集，记作匹旦(或〃

(2)真子集：如果集合4G氏但存在元素4,且运4,就称集合力是集合4的真子集,

记作力膜》或8呈力).

(3)相等：若力£8,且0，则4=8.

(1)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

(2)任何集合都是自身的子集.

3.集合的基本运算

表示

运算

集合语言图形语言记法

并集

或

交集4cB

且33

补集Lid

且武川U®

W=J教材拓展

1.若集合力中有〃(〃三1)个元素，则集合/有2"个子集，(2”-1)个真子集，(2"-1)个非

空子集，(2"-2)个非空真子集.

2.若力GA,4GC,则/1GC.

3.ACB=4=AGB,4UB=A=BGA.

4.[M4G8)=M，/)U([M),[必U8)=((Mn(Cu8).

5.cardMU5)=card(J)+card(B)—card(^05).

基础检测

1.判断(正确的画“，”，错误的画“X”)

(1)集合*£N*=x},用列举法表示为{-1,0,1}.(X)

(2)"卜=<+1}=3%，=/+1}={(小y).=/+l}.(x)

(3)若1£{r，x},则》=-1或x=L(X)

(4)对任意集合/,B,都有(4n8)G(4U8).(V)

2.(人数A版必修第一册Pl4T6改编)已知全集U=4U8=*£N|0WxW10},

={1,3,5,7},则集合B=Z0,2,4,6,8,9,10，.

解析：因为U=/U8={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},片G([u8)={l,3,5,

7},luBQA,所以Cu8={l,3,5,7),故8=[“>8)={0,2,4,6,8,9,10}.

3.(人教A版必修第一册P35T9改编)已知集合力=[1,3,a2},B={\,a+2},若力U8

=A,则实数c/=2.

解析：因为力U8=4所以4G4所以〃+2£4当“+2=3,即〃=1时，A={\,3,

1),不满足集合中元素的互异性，不符合题意：当〃+2=标时，〃=一1(舍去)或4=2,此时

A={\t3,4},8={\,4},符合题意.综上，实数a=2.

4.(人数A版必修第一册P9T5⑵改编)已知集合力={x|0<x<。},8=30气<2},若BG4

则实数a的取值范困为〔？，*8).

解析：因为8口力，所以利用数轴分析法(如图)，可知〃22.

一^^ZL>

02ax

母键能力提升互动悚究■考点精讲一

考点1集合的含义与表示

【例1】(1)已知集合4={x|ad—3x+2=0}的元素只有一个，则实数。的值为(C)

9

A.B.0

8

o

C.或0D.无解

8

【解析】集合力中只有一个元素，即方程。好一31+2=0有一解或有两个相同的实数

2,

解，当a=0时，4={讣加一3》+2=0}=3一3》+2=0：=廿，符合题意：当aWO时，ax2

一3大+2=0有两个相同的实数解，则/=9-8。=0,解得4="综上可得”=0或〃="故选

88

C.

（2）已知集合力={0,I,a2},B={1,0,2〃+3},若4=8,贝IJa=（C）

A.-1或3B.0

C.3D.-3

【解析】*：A=B,：.a2=2a+3,解得〃=-1或。=3,当。=一1时，«2=2«+3=1,

不满足集合中元素的互异性，舍去.当。=3时，*=2〃+3=9,此时力=8={0,1,9},满

足题意.综上，。=3.故选C.

规律总结

解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；

三是根据元素的特征（满足的限制条件）构造关系式解决相应问题.

\z=X

【对点训练1］（1）设集合力={2,4},8={1,2},集合y,x^A,

则M中所有元素之和为（C）

A.3B.5

C.7D.9

解析：当x=2,y=1时，z=2;当x=2,y=2时，z=1:当x=4,y=1时，z=4;当

x=4,y=2时，z=2.所以M={1,2,4},M中所有元索之和为7.故选C.

（2）已知集合彳={a+l,/+4。-9,2025},若一4£力，则实数a的值为（B）

A.-5B.1

C.5或一1D.—5或1

解析：*：A={a+\,/+4a—9,2025）,且一4£4，-4=。+1或-4=。2+4〃-9,

若一4=屋+4“一9,则a=—5或a=l.当a=-5时，a+l=-4,标+4”-9=—4,此时不

满足集合中元素的互异性，故舍去；当4=1时，a+l=2,/+4a—9=-4,此时4={2,

-4,2025},符合题意.若〃+1=—4,则。=一5,此时不满足集合中元素的互异性，故舍

去.综上所述，实数a的值为1.故选B

考点2集合的基本关系

【例2】（1）（2024•山西阳泉三模）设集合。=［箕/=廿+1},M={x［y=k）g2（x-2）},则集

合加与集合户的关系是（C）

A.M=PB.P^M

C.M^PD.P三M

【解析】集合M=,|-3vxvl},N={x|-lWx<4},则MUN={x|-3vx<4}.故选C.

(2)(2024・全国甲卷理)三知集合[={1,2,3,4,5,9},8=3工£4},则。(408)=(D)

A.{1,4,9}B.{3,4,9}

C.{1,2,3}D.{2,3,5}

【解析】因为力={1,2,3,4,5,9},B={x\x^A}={\,4,9,16,25,81},所

以。(4C8)={2,3,5}.故选D.

命题角度2根据集合的运算求参数

【例4】（2024•福建宁德三模）已知集合力=1-2.0.2.4},{x\\x-3\^ni].若力D8

=4则〃？的取值范围是（D）

A.(1,+8)B.[1,+8)

C.(5,+8)D.[5,+8)

【解析】由ACB=A,得AGB,由卜一3|W"i,得一〃？+3WxW〃？+3,则有

-m+3W-2,m25,

解得即〃?25.故选D.

〃?+324,心1,

;规律总结

1.对于集合的运算问题，若所绐集合是用描述法表示的，则需要将其具体化，如求出不

等式的解集，再结合数轴和Venn图进行集合之间的运算.

2.若所绐集合中带有参数，在进行运算时要注意参数范围的边界值是否可以取到.

【对点训练3】（1）（2024・新课标I卷）已知集合力=3-5<13V5},4={-3,—1,0,2,

3),则4G8=(A)

A.{-1,0}B.⑵3}

C.{-3,-1,0}D.{-1,0,2}

解析：集合力={x|-5今3<5},8={-3,-1,0,2,3},(—3)3=—27,(—1)3=-1,

03=0,23=8,33=27,则4。5={-1,0}.故选A.

(2)(2024・湖南邵阳三模)已知全集U=R,集合力=3-1WXW2},4={x|lWxW6},如图

A.*|TWxW6}

B.{小<一1}

C.{.r|x>6）

D.{x|xv—1或x>6}

解析：因为力=任|一1WXW2},8={x|lWxW6},所以力U8=3一1WxW6},所以题图

中阴影部分表示的集合[u（4U8）={小<-1或x>6}.故选D.

（3）Q024•广东佛山二模）已知集合4={X|X2-X20},B={x\x<a},且4U8=R,则实数q

的取值范围是（D）

A.a>0B.

C.a>\D.

解析：由x2-x2(),可得或xWO,即/={x|x21或x〈O},由/1U8=R,4={x|rq},

可得1.故选D.

考点4集合的新定义问题

【例5】大数据时代，常需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现

象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，

编程人员需要:了解笛卡尔积.两个集合力和8,用力中元素为第一元素，3中元素为第二元

素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫做力与B的笛卡尔积，又称直积，记为4X5,

即/fX8={(x,y)|x£/1且阴.关于任意非空集合M,N,7，下列说法一定正确的是(D)

A.MXN=NXA/

B.(MX7V)Xr=MXiWXD

C.MX(NU7)NWXMU(MX7)

D.MX(Arn7)=(MXA9A(MX7)

【解析】对于A,若止={1},N={1,2},则MXN={(1,1),(1,2)),NXM={(1,

1),(2,1)},"XNKNXM,A错误；对于B,若/W={1},N={2},T={3},则MXN={(1,

2)},(A/X；V)xr={((l,21,3)},而MX(NX7)={(I,(2,3))},(M义%XT#MX(NXT),

B错误；对于C,若河={1},N={2},7={3},则MX(NUr)={(l,2),(1,3)},」WXN=

{(1,2)},.MXT={(1,3)j,A/X(NUn=(MXN)U(.MXQ,C错误；对于D,任取元素(x,

y)£MX(Nn7),则且y£NGT,则且y£7;于是(x,y)£MXN且(x,y)£"XT,

即(x,y)W(MXN)n(MXr),反之若任取元素(x,y)£(A/XN)C(A/xn，则(x,j，)£/XN且(x,

JOEA/XT,因此y£N且y£7;即且卜任犷0兀所以(x,y)£A/X(ND。，即

MX(ATA7^=(MXTV)D(MXT),D正确.故选D.

」规律总结

解决以集合为背景的新定义问题的关键

(1)紧扣新定义：首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够

应用到具体的解题过程中，这是破解新定义集合问题的关键所在.

(2)用好集合的性质：解题时要善于从题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之

处用好集合的性质.

【对点训练4】(2024•浙江绍兴模拟)对于集合4B,定义/13={小£力且总㈤，则

对于集合/={x|x=6〃+5,〃£N},8={My=3机+7,M£N},C={X\X^A8且

000},以下说法正确的是(B)

A.若在横线上填入“n”，则。的真子集有(2合一|)个

B.若在横线上填入“U”，则。中元素个数大于250

C.若在横线上填入“\”，则C的非空真子集有(2匕3—2)个

D.若在横线上填入“U[N"，则CNC中元素个数为13

解析：X=6〃+5=3(2H+1)+2,y=3/〃+7=3(机+2]+1,集合4,8无公共元素，对于

A,集合。为空集，没有真子集，A错误；对于B,由6,7+5<1（）0（）得«<1655,由3w+7<l000

6

得加<331,因此。中元素个数为166+331=497,B正确；对于C,C中元素个数为166,非

空真子集个数为2,66-2,C错误；对于D,卜。=［巾U（"8）］=（［N4）n「、（［：N8）］=（（N4）ri8,

而因此［NC中元素个数为331,D错误.故选B.

口高考创新方向创新考法

。，1

【例】已知关于x的不等式办一1>0的解集为如若2£M且修则实数。的取值

范围是

【解析】因为2WM,所以2适合不等式，即2〃-1>0,解得a〉］.因为修所以1

2

（11

不适合不等式，即。一14），解得aWl.综上，a£〔2'

创新解读

本题难度低，计算量小，但是考查形式与常见的集合考查形式不一样，学生很容易陷入

思维定式，不能深刻理解本题为对元素与集合关系的考查，导致无法作答，复习过程中应从

各种角度加强对基础概念的理解.

课时作业1

星基础巩固.

1.（5分）集合U={0,1,2,3,4）,4={1,2},5={xeZ|x2-5x+4<0},则C&UB）

=（C）

A.{（）,1,3,4}B.{1,2,3}

C.{（）,4}D.{0}

解析：因为集合8=“£2a2—5工+4<0}={2,3},所以4U6={1,2,3},又集合U=

{0,1,2,3,4},所以（a4U8）={0,4}.故选C.

2.（5分）已知集合力={-1,0,1},则集合8中所有元

素之和为（C）

A.0B.1

C.-1D.2

解析：根据条件分别今加一1=一1,0,1,解得加=0,±1,±2,又加一侔4所以加

=-1,±2,〃={-1,2,-2）,所以集合8中所有元素之和是一1.故选C.

3.（5分）（2024•安徽安庆二模）若集合P={x|-24Vm—加，当〃?=1时，集

合P的非空真子集个数为（C）

A.8B.7

C.6D.4

解析：根据题意，当/〃=；时，集合尸='"-24工<4'XGZ={-2,-1,0},臬合P

中有3个元素,所以集合P的非空真子集个数为23—2=6.故选C.

4.（5分）己知集合/={1,-1},B={1,0,-1）,则集合/，b£B}中

元素的个数为（D）

A.2B.3

C.4D.5

解析：当a=l时，b=\,0,—1,则。一6=0,1,2:当〃=—1时，b=1,0,-1,

则4一方=-2,-1,0.所以集合。={〃一臼。仁力，6£8}={-2,-1,0,1,2},所以元素

的个数为5.故选D.

5.（5分）（2024•广东广州三模）已知集合5=5|-34<4},B={x|3<x<5},则{x［4Wx<5}

=（D）

A.jn（［Rz?）B.CR（jnz?）

C.（CR/QUZ?D.（［R4）G4

解析：由题得4={x|—3<x<4},B={x|3<x<5},AC\B={x|3<x<4!,〔碗={x|x24或xW

-3},CR8={X|X25或xW3},所以力P（［R8）={x|-3<xW3},故A错误；鼠（/G8）={i|x24

或xW3},故B错误；（［T）U5={x|xW-3或x>3},故C错误；（［T）n5={x［4Wx<5},故

D正确.故选D.

6.（5分）（2024•河北邢台二模）已知集合/={-7,-3,一1,2},8={x\a<x<a+3}t

若4G4中有2个元素，则实数。的取值范围是（A）

A.（-4,-3）B.［-4,-3］

C.（-4,0］D.［-7,-3）

解析：一方面，若4C8中有2个元素x,y（x<y）,则由x,y^B=（a,。+3）知y—工<。+

3—4=3.由x,y£4={-7,—3,—1,2},结合0勺一x<3,知x,y只可能分别是一3,—1.

所以a<—3,—1<。+3,得一4<a<一3.另一方面，若一4<a<-3,则3<—l<a+3,所以

力门4为2个元索-3,一1.综上，。的取值葩围是（一4,一3）.故选A.

7.（6分）（多选）知非空集合M,N,P均为R的真子集，nM—,则

（CD）

A.B.NKPG/W）

C.（RP^CRND.Mn（［RA9=0

解析：由题意知加装N些尸，对于A,可知MUQ=P,故A错误；对于B,因为PCIM

=M,所以PHA/为N的具子集，故B错误；对于C,可知［R。为［RN的真子集，故C正确；

对于D,因为［RN为［R〃的真子集，且A/n（1RM）=0,所以〃0（品川）=0,故D正确.故选

CD.

8.（6分）（多选）（2024•云南曲靖二模）已知集合S,T,定义S「={»,仁S,y^T},则

下列命题正确的是（BD）

A.若5={1921,I949},7={0,1},则S7■与T5的全部元素之和等于3874

B.若5={2021},R表示实数集，R.表示正实数集，则SR=R.

C.若5={2024},R表示实数集，则RS=R

D.若5={2049},R表示正实数集，函数/）=log2（）24,x£（R+）s，则2049属于函数

./（X）的值域

解析：对于A,因为S={1921,1949},r={0,”，根据所给定义可得炉={0,1},

5r={l,1921,1949},则S7■与T5的全部元素之和等于3872,故A错误；对于B,SR={y\y

s2O2

=2021\x£R}=R+,故B正确；对于C,R={y\y=x\x^R}t表示幕函数丁三足您十SR）

的值域，可知麻函数旷=£。24。任2的值域为[0,+8）,即R5=[0,+8）,故C错误；对

于D,因为X£（R+）S={XM=/2049,6）},当1=2024时，则可得人2024?岬）

=log202420242（M9=2049,故D正确.故选BD.

9.（5分）（2024•江西九江三模）若集合4={x|log3a-l）<l},8={x|lWx<2},则40（鼠8）

=bl2Wx<43.

解析：*.,log3（x—1）<1,0<；r—1<3,l^r<4,.*./!=-：x|l<x<4}.又：R8={小<1或x22},

故/n（[R5）={x|2Wxv4}.

10.（5分）（2024•山东日照二模）设〃PR,i为虚数单位.若集合力={1,2m+（〃?一手},

B=<0,1,2）,且力口,则〃1=]_.

解析：由集合4={1,2〃?+（m一l）i},8={0,1,2},因为所以当2加+（州-l）i

=0时，2"一°’方程组无解；当2m+（m-l）i=2时，2〃,—2，解得〃?=]综上可

得，实数，〃的值为1.

[|—1WrW'

11.(16分)已知集合力={称/一14”勿+1}，5=lvl'2L

(1)当4=2时，求4U8和NCB；

(2)若4U8=8,求实数。的取值范围.

3

,x|—1WxW

解：(1)当a=2时，J={x|l<x<3},而8=1'2],

所以4U8={x|-lW/<3},A^B=\12).

a-12-1,

(2)由4U8=8,得4之B,显然彳W。，于是:+]忘3解得OWaW；,

2

r0q

所以实数。的取值范围是一'2d.

12.(16分)已知集合。={%)-220},5={x|(x-3)(x-5)<()).

(1)求力UB,[RC4n8)；

(2)定义M—N={x|x£A才且.西N},求力一及

解：(l)J={x|x>2},8={x\3<x<5],

所以4U8={X|X22},AC\B={X\3<X<5},

所以CR（力C8）={x|xW3或x25}.

（2）因为/-N={x|x£M且超N},A={x\x^2],B={x\3<x<5}f

力一4就是求属于集合/但又不属于集合B的元素构成的集合，所以力-8={x|2WxW3

或x25}.

理素养提升4

13.（5分）（2024•四川成都二模）如图,已知集合4={刈og2X〈l}，8={小<1},则阴影

部分表示的集合为（B