函数与方程（讲）-高考数学一轮复习（新高考）解析版

专题3.8函数与方程

新课程考试要求理解函数零点的概念.

培养学生数学抽象(例1)、数学运算(例3.4.5等)、逻辑推理(例5.6)、数据分析

核心素养

(例3.4)、直观想象(例2.7—11)等核心数学素养.

1.分段函数与函数方程结合；

2.二次函数、指数函数、对数函数与方程结合.

考向预测

3.常常以基本初等函数为载体，结合函数的弱象，判断方程根的存在性及根的个数，或

利用函数零点确定参数的取值范围等.也可•与导数结合考查.题目的难度起伏较大.

【知识清单】

1.函数的零点

(1)函数零点的概念

对于函数y=f(x),把使r(x)=0的实数x叫做函数y=f{x)的零点.

(2)函数零点与方程根的关系

方程/(%)=0有实数根=函数尸f(x)的图象与x轴有交点<=>函数y=f(x)有零点.

2.零点存在性定理

如果函数y=/U)满足：①在区间口，句上的图象是连续不断的一条曲线；②/(a)：/S)<();则函数y=/(x)在3,

力上存在零点，即存在c£(mb),使得Hc)=0,这个c•也就是方程"r)=0的根.

特别提醒两个易错点；

(1)函数的零点不是点,是方程f6:)=0的实根.

(2)函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点,而且连

续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.

【考点分类剖析】

考点一：求函数的零点

l,x>()

【典例1】(2021•全国高三其他模拟)设xwR,定义符号函数sgnx=<0,x=0,则方程/$g[]]=2x一1

-l,x<0

的解是()

A.1B.-1-72

C.1或一[一&D.1或一1+夜或一1一夜

【答案】c

【解析】

根据符号函数的定义，分三种情况讨论化简方程，然后解方程即可.

【详解】

解：当x〉0时，方程dsgnx=2x-l可化为犬二2工一1,

化简得(无一1『=(),解得x=l；

当x=0时，方程/sgnx=2工一1可化为0=—1,无解；

当工<0时，方程fsgnx=2x-l可化为一f=2v-i,

化简得f2+2x—1=0，解得x=-l+J^(舍去)或_r=—1—

综上，方程不飞811工=2X-1的解是1或一1一夜.

故选：C.

【典例21(2020•上海高三三模)函数/*)=旧个，，如果方程/(%)=〃有四个不同的实数解芭、

[(x-2),x>l

冗2、与、Z，则％+々+工3+工4=.

【答案】4

【解析】

作出函数।二，■的图象，

(x-2)_,x>1

方程/3)=匕有四个不同的实数解，

等价为y=/(x)和y=b的图象有4个交点，

不妨设它们交点的横坐标为$、与、与、匕，

且，

由工I、/关于原点对称，工3、%关于(2,美对称,

可得玉+工2=0，/+14=4,

则x}+x2+x3+x4=4.

故答案为：4.

【总结提升】

1.正确理解函数的零点：

⑴函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零.

(2)根据函数零点定义可知，函数负x)的零点就是a0=0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，

就是判断方程7U)=0是否有实根，有几个实根.即函数)，=/*)的零点0方程yu)=o的实根o函数)，=")

的图象与X轴交点的横坐标.

2.函数零点的求法：

(1)代数法：求方程贝x)=0的实数根.

(2)几何法：与函数)，=火幻的图象段系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.，

【变式探究】

1.(2019•四川高考模拟(理))已知函数/'(%)是定义在R上的奇函数，且当xNO时，/(X)=x(x-4),则

方程/(%)=f(2-%)的所有解的和为()

A.4+V3B.1C.3D.5

【答案】C

【解析】

V/小)是定义在R上的奇函数，且当％NO时，f(x)=x(x-4)

・••当x<0时,-x>0

则/(-x)=-x(-X-=-f(x)

即/(x)=—xG+4x<0

则外吟=俨1)，NN。

人J八町tr(x+4),x<0

作出/(x)的图象如图：

【典例3】(2021•北京清华附中高三其他模拟)函数/(x)=ln/+R-6的零点一定位于区间()

A.(2,3)B,(3,4)C.(4,5)D.(5,6)

【答案】C

【解析】

根据零点存在性定理，若在区间(凡3有零点，则/(办/(〃)<0,逐•检验选项，即可得答案.

【详解】

由题意得/(x)=lnx+x-6为连续函数，且在(0,+◎单调递增，

/(2)=in2-4<0,/(3)=In3-3<0,/(4)=ln4-2<ln^2-2=0,/(5)=ln5-l>lne-1=0,

根据零点存在性定理，/(4)-/(5)<0,

所以零点一定位于区间(4,5).

故迄C

【典例4】(2020•海丰县彭湃中学高一期末)函数/(幻=［？-；x+1()的零点所在的大致区间为()

A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)

【答案】I)

【解析】

因为函数/(x)=—d—gx+10在"上单调递减，

八2)=1>0,/⑶<0,

所以零点所在的大致区间为(2,3)

故选:D

【规律方法】

判断函数零点所在区间有三种方法：

①解方程，直接求出零点；②利用零点存在定理，判断零点所在区间；③图象法，观察交点所在区间.

特别提醒：在判断一个函数在某个区间上不存在零点时，不能完全依赖函数的零点存在性定理，要综合函

数性质进行分析判断.

【特别提醒】

二分法只能求出连续函数变号零点，另外应注意初始区间的选择，依据给出的精确度，计算时及时检验.

【变式探究】

1.(2021.宁夏高三其他模拟(文))函数/&)=/十/一9的零点所在的区间为()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】B

【解析】

根据零点存在性定理，由/(x)=F+/—9为增函数，带入相关数值判断即可得解.

【详解】

由F为增函数，/为增函数，

故/(制="+丁—9为增函数，

由，(l)=e-8v0,

/(2)=(?2-1>0,

根据零点存在性定理可得3x0e(1,2)使得/(%)=0,

故选:B.

2.(2020•郸城县实验高中高一月考)如图是函数Ax)的图象，它与*轴有4个不同的公共点.给出的下列

C.[1.9,2.3]D.[5,6.1]

【答案】C

【解析】

结合图象可得：ABD选项每个区叵的两个端点函数值异号，可以用二分法求出零点,

C选项区间两个端点函数值同号，不能用二分法求零点.

故选:c

考点三：判断函数零点的个数

2—IxI2

【典例5］(天津高考真题)已知函数/(X)=''"'，函数字、,二3・/(27),则函数

(x-2),x>2

v=/(A)-g(x)的零点的个数为()

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【解析】

当x<0时2-x>2,所以/(%)=2—|x|=2+x,f(2-x)=x2,此时函数/(%)—g(x)=f(x)+f(2-x)-

3=%2+%-1的小于零的零点为x=-竽;当0WxW2时/Xx)=2-|x|=2-x,/(2-x)=2-|2-

x\=x,函数f(%)-g(x)=2-x+x-3=-1无零点;当x>2时,/(x)=(%-2)2,/(2-x)=2-|2-

x|=4-x,函数f(x)-g(x)=(X-2)2+4-X-3=X2-5X+5大于2的零点为％=苧,综上可得函数

y=f(x)-g。)的零点的个数为2.故选A.

【典例6】(2020•山东省高三二模)已知图象连续不断的函数/(工)的定义域为R/(x)是周期为2的奇

函数，>=|/(力］在区间卜山上恰有5个零点，则“X)在区间［0,2020］上的零点个数为()

A.5050B.4041C.4040D.2020

【答案】B

【解析】

由函数/(力的定义域为〃上的奇函数，可得/(0)=0,

又由》=|/(刈在区间［T，1］上恰有5个零点，

可得函数/(X)在区间［TO)和。1］内各有2个零点，

因为是周期为2,所以区间(L2］内有两个零点，且/⑵=0,

即函数)(X)在区间(0,2］内有4个零点,

2()2()

所以“X)在区间［0,2020］上的零点个数为f-x4+1=4041个零点.

故选:B.

【规律方法】

判断函数零点个数的方法：

1.直接法：即直接求零点，令人幻=0,如果能求出解•，则有几个不同的解就有几个零点；

2.定理法：利用零点存在性定理，不仅要求函数的图象在区间仅，村上是连续不断的曲线，且

还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点

3.图象法：即利用图象交点的个数，画出函数人幻的图象，函数的图象与x轴交点的个数就是函数凡I)

的零点个数；将函数yu)拆成两个函数〃a)和g。)的差，根据yu)=o0力a)=g。)，则函数人工)的零点个数就

是函数y=〃(x)和y=g(x)的图象的交点个数.

4.性质法：即利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到：若所考查的函数是周期函数，

则只需解决在一个周期内的零点的个数.

【变式探究】

1.(2020.开原市第二高级中学高三月考)函数=X£(0,+co)的零点个数是().

x

A.0B.IC.2D.3

【答案】A

【解析】

根据函数定义域，结合零点定义，即可容易判断和求解.

【详解】

由于炉>0，—>0,

x

因此不存在xe(0,-8)使得f(x)=x2+-=0,

X

因此函数没有零点.

故选：A.

2.(2020•江苏省高三其他)设用表示不超过实数，的最大整数(如[—1.3]=—2,[2.6]=2),则函数

/(A)=|2x-l|-[x]的零点个数为______.

【答案】2

【解析】

函数f(x)=|2.r-l|-[.v]的零点即方程|2x-1|=[x]的根,

•.・函数/(力的零点个数，即方程|21-1|=3的根的个数.

,/|2x-1|>0,/.[x]>0,x>0.

当OWxv1时，[x]=0,「.|2x-1|=O,.，.x=：.

当工=1时，[旬=1,，|2_1-1|=1,，2工一1二1或2工一1=—1,//=1或元=0（舍）.

当」>1时,|2%-1卜24-1>行国，.•.方程|2公1|=国无解.

综上，方程|217=卜]的根为1.

所以方程|2"1|=印有2个根,即函数八#=口一】卜国有2个零点.

故答案为：2.

考点四：函数零点的应用

【典例7】（2020•鸡泽县第一中学高二开学考试）已知函数/（戈）二/一产+2,'""，若"X）恰好有

-x+3,x>m

2个零点，则机的取值范围是（）

A.（2,3]B.[2,3）

C.[1,2）U[3,田）D.（1,2]」3,y）

【答案】C

【解析】

2

令弘=x-3x+2,y2=-x+3,因为方程f一3工+2=0的两根为X=Lx2=2,

所以在同一直角坐标系卜作出函数凹=f-3x+2,必=一工+3的图象如图所示：

由图可知，当lK〃z<2时，函数/（X）恰有两个零点，图象如图所示:

综上可知，所求实数加的取值范围为[L2)[3,-8).

故选：C

【典例8](2021.河南新乡市.高三三模(文))已知函数/(0=k2+3%+1.若关于，的方程/(尢)一小=。

恰有两个不同的实根，则。的取值范围是()

A.(1,5)B.[1,5]C.(1,5)50}D.[l,5]u{0}

【答案】C

【解析】

首先讨论x=0,在xwO时，利月分离参数的思想，画出y=x+'+3的图像，利用数形结合判断出答案.

X

【详解】

当七=0时，/⑼=1中0,故x=0不是方程/(X)-4X=0的根，

当工工0时,由，(x)—。|目=。得,Ci=X+-+3,

X

方程/（另一。国=°恰有两个不同的实根等价于直线产〃与函数/=X+-+3的图像有两个不同的交点,

.X

作出函数y=/（x）的大致图像如图所示，

【典例9】（2021.全国高三其他模拟）若函数/"）二|烂4（'-1）''>1存在2个零点，则实数用的取值范

[-3-myx<\

围为（）

A.[-3,0）B,[-1,0）C.[0,1）D.[-3,+00）

【答案】A

【解析】

分段函数/U）在（1,+8）上单调递增，且有一个零点，在（-8,1]上用数形结合法探讨有i个零点即可得解..

【详解】

因函数）x）在（1,+8）上单调递增,且x2）=0,即«r）在（1,+8）上有一个零点，

困数/（力=?0^。一"：”存在2个零点，当且仅当於）在卜8，I]有一个零点，

-3-m,x<\

烂1时，/（x）=0o〃z=-3、，即函数y=-3"在（@,1]上的图象与直线广〃?有一个公共点，

在同一坐标系内作出直线产小和函数），=-3、（1工1）的图象，如图:

而）,二一3、在G8,1]上单调递减，且有一34一3'<:0,则直线尸〃和函数y=-3（E«l）的图象有一个公共

点，-3<0.

故选：A

【典例10】（2021•奉新县第一中学高三三模（文））已知函数〃尤）=<?,\:八若方程

72X2-12X+19,X>2,

/（力―。=0的实根之和为6,则。的取值范围为（）

A.（1,3]B.[1,3]C.（1,4]D.（3,4）

【答案】A

【解析】

作出了（幻图象，求方程/（“一。=0的实根之和为6,即求丁=/（外与）'=〃图象交点横坐标之和为6,

分别讨论el、lvav2、〃=2、2<。<3、3<。<4和方4时），=〃图象与y=/（x）图象交点个数及性

质，数形结合，即可得答案.

【详解】

作出/3）图象，如图所示

求方程/（“一。=。的实根之和为6,即求丁=f（x）与y=[图象交点横坐标之和为6,

当后1时，y=a图象与y=/a）图象只有一个交点（3,1）,不满足题意：

当lv〃v2时，图象与y=f（x）图象有2个交点，且从左至右设为公修，

由图象可得N，/关于户3对称，所以上玉=3,即％+9=6,满足题意；

乙

当4=2时，y=a图象与y=图象有3个交点，且（0,2）为最左侧交点，

设y=。与y=f（x）图象另外两个交点为牛马，由图象可得X用夫于户3对称，

所以五产=3,即王+%=6,满足题意；

当2<。<3时，丁=。图象与），=/1）图象有4个交点，从左至右设为司,马，不，匕，由图象可得入，W关

于D对称，所以再+/二。，

毛，^关于入=3对称，所以“=3,即毛+々=6,满足题意；

当3<〃<4时，y="图象与y=f（x）图象有3个交点，由图象可得不满足题意；

当心4时，y=。图象与y=/（/）图象有2个交点，由图象可得不满足题意；

综上：。的取值范围为Iva?3.

故选：A

【典例11】【多选题】（2021•江苏泰州市•高三其他模拟）已知c>a,若函数/（x）=Y-2x+〃有两个零

点、c,d,g（x）=|lnx|-d有两个零点a,。，则下列选项正确的有（）

A.d<b<\B.a+b>2cd

C.ad>beD.log^olog,,J

【答案】AB

【解析】

由已知分析得选项A正确，利用基本不等式证明选项B正确；利用不等式性质得到选项C错误，利用作差

法得到选出D错误.

【详解】

因为函数/（戈）=/一2%+力有两个零点孰4,

所以△=4-4/?>0,bv1,所以c+d=2,cd=bv1,

令g(x)InxI=0,所|Inx\=d有两个零点:a,b,

因为c>a,「.c>1,所以OvdvL

因为d=2<〃，所以选项A正确；

c

因为一In〃=J,Ina=d,Ina+In/?=0,/.\n(ab)=0,「.ab=1,

所以a+〃〉2y[ab=2,因为cd=b<1,/.2cd<2,

所以a+〃>2cd,所以选项BiE确；

[i|；^c>6/>0,Z?>d>O,.-.Z?c>cicl,所以选项C错误：

log,c-logfcd=log--log।d=log/-log“-=log.cd=logt//?<(),

；d

所以log.c<log,d,所以选项D错误.

故选:AB

【规律方法】

已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.

【变式探究】

log[(x+l),xN0,

1.12021•广东茂名市•高三二模)已知函数3若函数g(x)=/a)T-〃有且只

f(x+\),x<0,

有两个不同的零点，则实数。的取值可以是()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】B

【解析】

作出函数“X)的图象如下图所示，将原问题转化为函数“力的图象与直线y=x+a有两个不同的交点,

根据图示可得实数4的取值范围.

【详解】

作出函数/(x)的图象如下图所示，令g(x)=/(x)—x-a=O,即/(x)=x+a,

所以要使函数g(x)=/(x)—x—a有且只有两个不同的零点，则需函数/(x)的图象与直线)二工+。有两

个不同的交点，

根据图示可得'丈数。的取值范围为(一1，0］，

2.(2021•黑龙江大庆市•铁人中学高三其他模拟(理))已知函数f(大)是定义在R上的奇函数，当x>0时,

y_1

f(x)=—,给出下列命题：

e

①当x<0时，/(x)=(x+l)e\

②函数f(x)有2个零点：

③/(x)<0的解集为(-A-1］J(0,1］；

x?eR,都有|/(x)-/(w)归2.

其中正确的命题是()

A.①④B.②③C.®@D.@®

【答案】A

【解析】

对于①，利用奇偶性求XV。时的解析式即可判断；对于②，直接求出零点即可判断；对于③，直接解不等

式，得到解集即可判断；对于④，用导数判断单调性，结合图象求出/(X)的值域即可判断.

【详解】

y_1

解：函数/(x)定义在R上的奇函数，当x>0时，=—,下面逐一判断：

对千①，当x<0时，则一x>0,所以—/(X)=/(-1)=三二，

e

整理得/(x)=(x+l)/，故①正确;

对于②，当x>0时，由/(x)===0可得x=l,即41)=0,故/(-1)=一/⑴=0,又函数/(X)

e

在上=0处有定义，故〃0)=0,故函数“X)有3个零点，故②错误；

对于③，当x>0时，则/(司=二，。的解集为当工<0时，f(x)-(x+l)/KO的解集为

e

当x=0时，/(0)=040成立.

故的解集为故③错误；

对于④，当x<0时，//(x)=ex(x+2),

所以x<—2时，有广(力〈0,—2<x<0时，有/'(x)>0，

所以函数/(力在(-8,-2)上单调递减，在(-2,0)上单调递增，

所以X=_2时/(X)取得最小值一"2,且4<-2时，，f(x)<0,

一2cx<0时，所以/(一2)</(耳</(0)=1,即——2</(可<1,

可作大致图象如下，再根据对称性作久>0时的大致图象，

综上/<0时，/(x)值域为[一11)，当了>0时，〃力值域为(―I,1],而"0)=0

所以f(x)的值域为(T1).

故X,w£R，都有一1</（%）<1,-1<-/（%）<1,即一2</（王）一/仇）<2,|/（百）一/（七）|<2,

故|/（百）一〃再）归2,即④正确.

故选：A.

3.【多选题】（2021•湖南雅礼中学高三二模）关于函数/（“）=1111/—"II,下列描述正确的有（）

A.函数/（X）在区间（1,2）上单调递增

B.函数y=/（x）的图象关于直线1=2对称

C.若用工9，但/（xj=/（w），则内+工2=4

D.函数/（另有且仅有两个零点

【答案】ABD

【解析】

画出函数的图像，根据图像分析判断即可

【详解】

函数/（x）=|ln|2-x||的图像如图所示：

由图可得：函数/（x）在区间（1,2）上单调递增，故A正确；

函数）'=/（x）的图像关于直线x=