江苏省常州市2024-2025学年高一年级下册期末质量检测数学试题

江苏省常州市2024-2025学年高一下学期期末质量检测数学试

题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.己知复数z满足/z=l-2i，其中i为虚数单位，则z对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.cos70°sin40°sin70°cos40°=（）

A.一巫B.二C.\D.必

2222

3.某校义工社团共有80人，其中男生50人.若按男女匕例采取分层抽样的方式，抽取16

人参加周末的马拉松比赛志愿者工作，则女生应抽取的人数是（）

A.3B.5C.6D.10

4.已知山，〃表示两条不同的直线，a,夕表示两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A.若mua,n//a,则B.若〃?ua,m//n,则〃〃a

C.若〃?//a,aS则小，夕D.若mha,ml。,则aJ■夕

5.若将一个表面积为36兀小一的铁球熔铸成一个高为9cm的实心圆锥（熔铸过程中损耗忽

略不计），则该圆锥的底面半径为（）

A.2cmB.2\/3cmC.3cmD.3>/2cm

6.在V48。中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,S为V48C的面枳.若

2s=6（acos8+bcos4）,则4=（）

TC-不•，兀一兀

A.-B.—C.—D.—

6432

7.已知正四棱推产-45c。的底面边长和侧棱长相等，记异面直线F/l与。所成角为。，

侧棱P4与底面488所成角为夕，侧面尸48与底面/18C。所成的二面角为7,则（）

A.a>y>PB.a>P>yC.y>P>aD.p>a>y

8.已知平面向量。，b,F均为单位向量，若万与石的夹角为60。，则伍-。伍-2/；）的最大

值为（）

A.2+GB.4C.2+V7D.5

试卷第1页，共4页

二、多选题

9.抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的点数.若连续抛掷两次，则（）

A.事件”两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为偶数”为互斥事件

B.事件”两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为奇数”互为对立事件

C.事件“两次点数之和大于6”与“两次点数之和小于6”互为对立事件

D.事件“第一次点数为偶数”与“第二次点数为奇数”相互独立

10.在V/1BC中，A>B,则下列不等式中一定正确的是（）

A.sinJ>sinZ?B.cosA<cosB

C.sin24>sin25D.cos2A<cos2B

H.如图，圆台的上、下底面半径分别为1和2,高为2五，点A为下底面圆周上一点,

S为上底面圆周上一点，则（）

B.该圆台的内切球的半径为夜

C.直线S4与直线RO2所成角的最大值为三

D.直线4Q与平面所成角的正切值最大为日

三、填空题

12.若（l+i）z=4i,其中i为虚数单位，则复数z的模为.

/\«/\

13.若cosa+J则sin2a+^的值为______.

k3J4I6J

14.若正方体力88-48CA的棱长为I,则以A为球心，粤为半径的球面与底面/BCQ

的交线长为.

试卷第2页，共4页

四、解答题

15.已知四边形44。。是平行四边形，且力(2,3),5(-2,-1),C(4,2).

(1)求点。的坐标；

(2)求平行四边形ABCD的面枳.

16.在地平面上有一竖直的旗杆OP(O在地平面上)，为了测得它的高度，在地平面上取

一基线48,测得其长为20m.在A处测得尸点的仰角为30。,在8处测得尸点的仰角为45。,

乂测得408=30°.

(1)求旗杆的高度人；

⑵求点A到平面尸08的距离;

17.某校为了了解高一新生的体质健康状况，在开学初进行了一次体质测试，共800人参加

本次测试，得到如图所示的频率分布直力图.

(1)求。的值；

(2)试估计本次测试的平均成绩(用各组区间中点的数值即“组中值”近似的表示每组的成绩);

(3)立定跳远项目每人有2次测试机会，若第一跳满分，则不再进行第二跳.假设小明同学每

一跳获得满分的概率均为0.8,求本次测试中，小明在立定跳远项目最终获得满分的概率.

18.在等腰直角三角形ABC中，斜边44=4,点P,。均在线段43上(不含端点)，且

Z.PCQ=45°.

(I)若。尸=石，求力。的长；

⑵求△PC0的面积的最小值.

19.如图I,在直角梯形P8CO中，PB//CD,CD1BC,BC=PB=2CD,是26的中

试卷第3页，共4页

《江苏省常州市2024-2025学年高一下学期期末质量检测数学试题》参考答案

题号12345678910

答案BBCDBDACBDABD

题号11

答案ABD

1.B

【分析】求出复数z,根据复数的几何意义确定正确选项.

【详解】因为i2N=l-2i=>-z=l-2i=>z=-l+2i,

所以更数N对应的点为(-1,2),位于第二象限.

故选：B

2.B

【分析】由两角差的正弦公式逆用即可求解.

【详解】cos700sin400-sin700cos40°=sin^O0-T)°)=sin(30°)=-

故选：B.

3.C

【分析】由分层抽样的定义即可得解.

【详解】女生应抽取的人数是16x纥4=6.

故选：C.

4.D

【分析】以正方体的线面关系为例，说明ABC是错误的.

【详解】如图,在正方体/出co—44GA中：

答案第1页，共12页

因为44〃平面48CO,BCu平面48CQ,且力蜴与8c为异面直线，故A错误；

因为48u平面44。。，AB//CD,但COu平面48CZ),而非CO〃平面4600,故B错

误；

因为44〃平面力8。。，平面48co_L平面CQRC,但力用〃平面CQRG，而非同用平面

CDDg,故C错误；

对D：若〃"/Q,〃…0,则故D正确.

故选：D

5.B

【分析】求出铁球的半径R,再结合等体积法即可求解.

【详解】设所求为小铁球的半径为R,则4冗/?2=36兀，解得H=3,

所以g;rx33=gb2x9,解得,・=2Gcm.

故选：B.

6.D

【分析】由余弦定理、三角形面积公式得sin4=l,即可求解.

【详解】02S=2x—besinA=Z>csinA,

2

,/,力/a2+c2-b2.b2+c2-a2}

blacosBD+bcosA)=aa---------+b---------=be,

I2ac2bc)

^2S=b(acosB+bcosA),则bcsin/l=bc,而bc>0,4w(O,7i),

答案第2页，共12页

所以sin彳=1,A=—.

2

故选：D.

7.A

【分析】根据异面直线所成角的概念，线面角，二面角的平面角的概念，构造出夕，7,

求出它们的三角函数，利用三角函数的单调性，比较它们的大小.

【详解】如图：

不妨设力8=2.取和的交点为〃，力“中点连接力?,HE,PH.

则/£=£〃=1,PE=6HA=HP=y/2.

AP1

因为4B//CD,所以/88为异面直线与8所成的角，为。，所以85。=方=『

所以。=半

因为PHJ_平面43C。，所以/P47为直线尸/I与底面力所成的角力，所以

aAHx/2的卜1Qn

cosD=-----=——，所以，=二.

AP24

因为43_L£77,AB1EP,所以NPEH为侧面产力8与底面48co所成的二面角7,所以

HE16

cosy=-----=—,==——.

PEy/33

因为＜旦,且y=cosx在（o,f|上单调递减.

232k2；

所以

故选：A

8.C

【分析】根据伍一孙（1力）=2-1伍+2可，把问题转化为求3R+的最小值,进一步

转化为求根+2q的值，利用向量的数量积的运算法则求解即可.

【详解】由题意：M=W=同=1,6Z=lxlxcos60°=^-1

答案第3页，共12页

因为卜一。卜/一2司-c+2aB-c.(a+2B)=2-c.(a+2，).

又c.(a+2可=’|.’+2..(：05《,4+24=p+2^|-cos(c^a+2^>-a+2b,

当cos卜,a+23=兀时取"=

又|£+2彳=(£+2@2=蓝+4/+4片=1+4乂3+4=7,所以归+2%".

所以仅一可.仅一2®22+、/7.

故选：C

9.BD

【分析】利用互斥事件、对立事件、独立事件的定义逐项判断即可.

【详解】对于A,因为“至少有一次点数为偶数”包含恰有一次点数为偶数和恰有两次点数为

偶数，

故事件”两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为偶数”可能同时发生，

所以事件“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为偶数，不为互斥事件，故A错误；

对于B,因为“至少有一次点数为奇数”包含恰有一-次点数为奇数和恰有两次点数为奇数，

所以事件“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为奇数”不会同时发生，

因为在一次实验中“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为奇数”必然有一个事件会发生，

所以事件“两次点数均为偶数''与"至少有一次点数为奇数”互为对立事件，故B正确；

对于C,因为事件“两次点数之和等于6”发生时，事件“两次点数之和大于6”与“两次点数之

和小于6”均不会发生，

所以事件“两次点数之和大于6”与“两次点数之和小于6”不互为对立事件，故C错误；

对于D,连续抛掷•枚质地均匀的骰子两次共有6x6=36种不同的结果，

记”第一次点数为偶数''为事件A,则事件A包含3x6=18种结果，故P（力）=^=9

362

记”第二次点数为奇数”为事件8,则事件8包含6x3=18种结果，故尸⑷吟=3，

事件4〃同时发生包含3x3=9种不同的结果，故外的==；=⑷P⑻，

所以事件“第一次点数为偶数”与“第二次点数为奇数”相互独立，故D正确.

故选：BD.

10.ABD

【分析】利用边角关系及正弦定理判断A：利用余弦函数的性质判断B：举例说明判断C：

答案第4页，共12页

利用二倍角公式结合选项A判断D.

【详解】对于A,在Y/8C中，力>Boa>b,由正弦定理得sin力,sin8,A正确;

对于B,显然兀>力>8>0,因此cos/1<cos8,B正确；

对于C,取力=75°,3=60',满足力>8,而sin21=4<且=sin28,C错误；

22

对于D,由选项A知，sinJ>sinj?>0,则cos24=1—2sin?4<1—2sin?8=cos28,D正确.

故选：ABD

11.ABD

【分析】对于A,根据圆台的体积公式，可得答案；对于B,研究圆台的轴截面，结合等腰

体形存在内切圆的判定，可得答案；对于C,根据异面直线夹角的定义，作图，利用三角函

数的定义，可得答案；对于D,根据线面角的定义，作图，利用线面垂直判定定理，结合函

数的单调性，可得答案.

【详解】对于A选项，因为圆台。02的上、下底面半径分别为I和2,高为2夜，

所以/=1(12+1*2+22)・2收=竽兀，则A选项正确.

对于B选项，设上底面半径为4，下底面半径为4,若同台存在内切球，

则必有轴截面的等腰梯形存在内切圆，如图(1)所示，梯形的上底和下底分别为2,4,高

为2夜，

易得等腰梯形的腰为"7还『=3，假设等腰梯形有为切圆，

则腰长S\B=3=R\+R「所以梯形SQC4存在内切圆，

故圆台存在内切球，且内切球的半径为&，则B选项E确：

对于C选项，如图(2),过S作SO垂直于下底面于点ZK则QO//SD,

所以直线以与直线所成角即为直线SA与直线SD所成角，即NASD为所求,

而tan/力SZ)二次］,由圆的性质得，144。43,

答案第5页，共12页

所以tanZJSZ)=7方=

因为逑=则C选项错误.

图（2）

对于D选项，如图（3）,平面SO.即平面SO.C,

过点、A做AHtBC交BC于点、H,因为SQ垂直于下底面，而力H在底面内，

所以又SDCBC=D,且8C,SOu平面SOQC，所以加/_L平面SOQC，

力〃

所以直线AOX与平面SOQC所成角即为，且tanNAOM=--.

设4/=xw[0,2],则02H=料-4H2=3一,

所以。#=ga+O"=业+4--=>/12-?,

当x=0时，tanZAOiH=0,当xe(0,2］时，,

2。冉=晨]、

因为函数,一可在（0,2]上单调递增,

所以当x=2时，tan/力Q”有最大值，最大值为孝，所以D选项正确.

故选：ABD.

12.272

【分析】利用复数的除法运算法则求得复数z,进而可求得目.

答案第6页，共12页

【详解】由(/l+i、”=4i,可得.4i市二4i(岛l-i)岛=4丁+4i=2+%

所以卜=百寿=2亚.

故答案为：2起.

【分析】利用诱导公式可得sin(2a+tj=-cos(2。+看+5,再结合二倍角的余弦公式即

可求^■

【详解】因为cosa+，=-,

所以sin(2a+弓J=_cos2呜)用72a3

3

=-2cos2-jj+1=-2xf-ij+1=(.

故答案为：

o

14.-/-7T

66

【分析】由题可得球面与底面的交线为以。为圆心，;为半径的圆与正方形/SCO相交的一

段弧，即可求出.

【详解】正方体力4。。—44GA中，。。_1平面48。。，

所以平面14CQ与球的截面是以。为圆心的圆，且半径为(亟］-12=1,

所以球面与底面相C。的交线为以。为圆心，g为半径H勺圆与正方形48CO相交的•段弧,

该交线长为Jx2兀x：=B.

436

故答案为：7-

6

15.(1)(8,6)

(2)12

【分析】(1)设点。的坐标为(”,y),结合方=比即可求解；

答案第7页，共12页

（2）根据题意，先求出刘，石的夹角余弦值，进而得到其正弦值，再根据三角形的面积公

式求解即可.

【详解】（1）设点。的坐标为（工,卜）.

由题意得而=（-4,-4）,DC=（4-x,2-y）.

因为荏=OC，所以［「解得K

2-y=-4U'=6

所以点。的坐标为（8,6）.

（2）由刘=（-4,—4）,而=（6,3）,

贝IJ而•而=-24-12=-36，,8卜,16+16=4拉,%4=,36+9=3后,

/-T5-Tri\雷而-363而

则侬四例二附同=赤荻=-TF，

所以sin（石，而）=J-cos?标，通然器,

则平行四边形ABCD的面积为

x|x|JD|xsin/15,/IZ）^x2=-^-x4x^2x3>/5x^^-x2=12.

16.（1）A=20m

（2）105/3m

【分析】（1）由题意AO=s5h,BO=h,结合余弦定理RI可求解；

（2）过点A作4C_L8O于点C,说明所求为线段4C的长度，解三角形即可得解.

【详解】（1）由题意为。=6/1,8。=力，而"=20m,408=30'，

所以由余弦定理有400=3川:/一2/?.6/?乂立.即/=4oo.解得/?=20m：

2

（2）如图所示，过点A作/1C_L8。于点C,

由题意PO_L平面480,又力Cu平面45。，所以4clp。，

又因为4C_L4O,BOD尸。=。8。/。<=平面户以9,

所以力。，平面。80,

故所求为线段/C的长度，

答案第8页，共12页

由（1）可知40=百分=20x/im,

所以4C=AOsin30°=106m•

17.（1）67=0.020；

⑵73；

⑶0.96.

【分析】（1）根据频率分布直方图计算即可：

（2）由频率分布直方图结合平均数的计算，即可求解；

（3）小明在立定跳远项目最终获得满分的概率包括第•次满分和第•次没有满分但第二次

满分两种情况，根据概率计算即可.

【详解】（1）根据频率分布直方图，可得

0.008x10+^x10+0.032x10+0.024x10+0.016x10=1,

解得。=0.020；

（2）设本次测试的平均成绩为M，则根据频率分布直方图，可得

0.008x10x954-0.020x10x85+0.032x10x75+0.024x10x65+0.016x10x55=73,

即本次测试的平均成绩为73：

（3）设小明在立定跳远项目最终获得满分的概率为P,WJP=0.8+0.2x0.8=0.96,

即小明在立定跳远项目最终获得满分的概率为0.96.

18.（1）力尸=3或/P=l；

⑵4及-4

【分析】（1）根据余弦定理计算求解；

（2）根据面枳公式结合两角和正切公式计算，最后应用基本不等式得出最小值.

【详解】（1）在等腰直角三角形月8。中，斜边力8=4,点尸，。均在线段上（不含端

点），

所以NC/1P=45。，在△力。中，CP2=CA2+AP2-2CAxAPxcos450,

答案第9页，共12页

所以5=8+力02—4/1〃，

所以4P=3或/尸=1；

(2)

过C作Cr_L/6交46于T,则CT=2,

设NPCT=a,NQCT=/?,«+/?=45°,

所以?二tana,与=ta也所以△PC。的面积为工『c0=gx(Pr+Qr)x2=2(tana+lan/?),

因为tan(«+/?)=1='an"+tan/7,所以tana+tan/=1-tanaxtan/，

1-tanaxtan/?

所以tanaxtan4=1-(tana+tan^)<(tana+tan/^),所以

(tana+tan/?)-+4(tan«+tan/7)-4>0,

所以tana+tan〃22及一2,当且仅当tana=tan/=五一1时，tana+tan/取最小值2及—2，

所以面积的最小值为4及-4.

19.(1)证明见解析：

(2)尸G与平面左后所成的角为£；

6

^AG1

(3)---=一

AP4

【分析】(1)得到R1_L平面ABCD,根据四边形4BCD为矩形,得至ljAEYED,又因为以_LE0

进而得到EO_L平面可推得面面垂直；

(2)证明G///P8,连接点8与4。的中点，交力七与点O,证明801平面4£,结合线

面角的定义求P8与平面加£的夹角，由此可得结论；

(3)延长。E,4B交于点N,结合线面平行性质定理证明G产//PN,由此可求

AP

【详解】(1)证明：宜角悌形P8CQ中，PB//CD,CD1BC,08=2CQ,力是P8的中

点，

故CD=AB,四边形/BCD为矩形，所以

因为ABQAD=A,46,/lOu平面月AC