寒假复习：带电粒子的临界和多解问题2025年高二物理寒假专项提升（人教版）

第10讲带电粒子的临界和多解问题（复习篇）

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曲考点聚焦：复习要点+知识网络，有的放矢

B重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺

难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升

提升专练：真题感知+提升专练，全面突破

◊》考点聚焦--------------------------------------------------

3重点专攻--------------------------------------------------

知识点1：带电粒子在有界磁场中的临界问题

带电粒子在有边界的磁场中运动时，由于边界的限制往往会出现临界问题.解决带电粒子在磁场中运

动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状

态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解.

临界点常用的结论：

（1）刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切.

（2）当速度丁•定时，弧长（或弦长）越长，对应留心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长.

（3）当速度》，变化时，圆心角越大，运动时间越长.

知识点2：带电粒子在磁场中运动的多解问题

带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于带电粒子电性不确定、磁场方向不确定、临界状态

不确定、运动的往复性造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题.

⑴戊出多解的原因.

（2）画出粒子的可能轨迹，找出圆心、半径的可能情况.

难点强化

强化点一放缩圆模型

速度方向一粒子源发射速度方向一定，大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒

定，大小不同子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化

适用XXXXXX

如图所示（图中只画出粒子带正电的情景），速度U越大，xX

条件轨迹圆圆心八土

运动半花也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它::，嬴;埠:

共线

们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线尸产'上x'x^^'xU^x.

XX玄哎&X

界定以入射点。为定点，圆心位于PP直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种

方法方法称为“放缩圆”法

【答案】B

【详解】根据题意可知，粒子在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律有

又有

设粒子运动轨迹所对的圆心角为。，则运动时间为

由几何关系有

解得

联立可得

故选Bo

【变式11］（多选）如图所示，在一等腰直角三角形AC。区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感

应强度大小为B,一质量为〃八电荷量为9的带正电的粒子（重力不计）从4C边的中点。垂直于AC边射

入该匀强磁场区域，若该三角形的两直角边长均为2/,则下列关于粒子运动的说法中正确的是（）

A

A.若该粒子的入射速度为口=幽，则粒子一定从AD边射出磁场

m

D.当该粒子以不同的速度入射时，在磁场中运动的最长时间为笠

qB

【答案】BD

【详解】A.若该粒子的入射速度为丫=型，则由

可得

由几何关系可知，粒子将从C。边的中点射出磁场，故A错误：

BC.由

可得

即粒子在磁场中的运动半径越大，速度就越大；由几何关系可得，当粒了•的轨迹与边相切时，能从C。

边射出的轨迹半径最大，此时粒子的轨迹半径为

所以粒子的最大速率为

故B正确、C错误；

D.由

可得粒子在磁场中的运动周期

故D正确。

故选BDo

A.电子不可能打到A点

B.电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线越长

C.电子在磁场中运动时间越氏，其轨迹线所对应的圆心角越大

D.在AC边界上有一半区域有电子射出

【答案】CD

【洋解】A.电子带负电，由左手定则可知，电子垂直射入磁场后沿顺时针方向做匀速圆周运动，洛伦兹力

提供向心力，由牛顿第二定律得

解得

由题意可知，发射速度为

代人可得则电子的轨道半径

当电子速度

时，轨道半径

此速度方向与0C夹角为60。入射时，粒子恰好从A点飞出，如图所示

方向半径R=瑞的圆上

不同

界定将一半径为/?=翳的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方

方法

法称为“旋转圆”法

【典例2】如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，尸为磁场边界上的一点，大展相同

的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同方向射入磁场。若粒子射入速率为刃，这些粒子在磁

场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为电，相应的出射点分布在三分之一圆周上。不

计重力及带电粒子之间的相互作用。则这两种情况下带电粒子从。点射入到距尸点最远处射出，其在磁场

中所经历的时间比〃即2为（）

A.102B.201C.7301D.1S1

【答案】D

【详解】由于是相同的粒子，粒子进入磁场时的速度大小相同，由

可知

mv

夫二不

又

即粒子在磁场中做圆周运动的半径相同。

若粒子运动的速度大小为n/，如图所示，通过旋转圆可知，当粒子在磁场边界的出射点M离尸点最远时,

则

MP=2Ri

同样，若粒子运动的速度大小为V2,粒子在磁场边界的出射点N离P点最远时，则

NP-2R2

由几何关系可知

Rz=Rcos30°=—R

2

则

由轨迹图可知，这两种情况下带电粒子的对应的圆心角相等，故带电粒子从P点射入到距P点最远处射出，

其在磁场中所经历的时间比〃皿2为1:1,ABC错误，D正确。

故选Do

【变式21］（多选）如图所示，等腰直角三角形的直角边MO长度为3在MON区域内存在方向垂

直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为瓦三个相同的带电粒子从M点沿MO方向分别以速度I，八四、

卬射入磁场，在磁场中运动的时间分别为小及、tj,且。：壮加3：3：2,不考虑粒子的重力及粒子间的

相互作用，下列说法正确的是（）

A.粒子可能带正电

B.三个粒子速度的大小关系可能是箕2“/＜中

【答案】BD

【详解】A.粒子要进入磁场，所以洛伦兹力向右，根据左手定则，粒子带负电。A错误；

B.粒子从A4N边射出时，时间相等，从ON边射出时，偏转角较小，时间较短，所以粒子以速度卬、及射

入时，从MN边射出，二者速度大小无法确定，粒子以内射入，从ON边射出，半径最大，根据

可知，其速度最大。B正确；

C.粒子以速度0、U2射入时，从边射出，偏转角为90。，则有

解得

C错误；

D.根据时间关系可知，粒子从ON边射出时，偏转角为60。，根据几何关系，从ON边射出的粒子与。点

的距离为

D正确。

故选BD。

【变式22］（多选）如图所示，在边长为L的正方形区域48CQ内存在磁感应强度大小为以方向垂直纸

面向外的匀强磁场。质量为，小电荷量为。/的带电粒子（不计重力），分别以相同的速率-从八点沿不同方

向垂直磁场方向射入磁场，当沿4c方向射入时，垂直于BC边射出磁场。则粒子（)

【答案】BC

【详解】A.由左手定则可知粒子带正电，选项A错误;

B.根据粒子的运动轨迹可知

由

可得

选项B正确；

CD.从C点射出的粒子在磁场中运动的时间最长，圆弧所对的圆心角为60。，则最长时间为

选项C正确，D错误。

故选BCo

强化点三“平移圆”模型的应用

适速度大小一粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同，但在

XXXXXXX

用定，方向i定，x石卒、KX同一直线的带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆

**周运动的半径相同，若入射速度大小为V0,则半径R

条但入射点在同

件一直线上嘴,如图所示

轨迹圆圆心共带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平

线行

将半径为金的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”

界定方法

法

【典例3】如图所示，边长为L的正方形有界匀强磁场A8CQ,带电粒子从A点沿AB方向射入磁场，恰好

从C点飞出磁场；若带电粒子以相同的速度从AQ的中点。垂直4。射入磁场，从OC边的M点飞出磁场（M

点未画出）。设粒子从A点运动到C点所用的时间为〃，由尸点运动到M点所用时间为/2（带电粒子重力

不计），则0：f2为（）

_4______________B

；xxXX：

I•

I1

；XXXX：

----►I\•

p\XXXX；

I1

IJ

;XXXX；

D......................\C

【答案】c

【详解】由带电粒子从A点沿A8方向射入磁场可知粒子做圆周运动的圆心在AO及其延长线上，又有粒子

恰好从C点飞出磁场，故可得：粒子运动半径为，粒子从A到C转过的中心角〃=90。；那么，夕点入射的

粒子的半径，根据

半径和从A点射入的相等，所以从。点入射的粒子的圆心在A。延长线上距。点;L处，那么粒子转过的中

心角为

即

夕=60。

运动时间

所以

故选C。

【变式31］（多选）如图所示，等腰直角三角形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大

小为从d为碇边的中点，e为从边上的一点。现有一带正电的粒子（不计重力）从。点以大小不同的速

度沿必方向射入磁场，分别从“、c、e点射出磁场，所用时间分别为。、区5且3=3：2,若在已知，

贝I」（）

A.t2z/j=3：2

B.带电粒子的比荷为善

出3

【答案】AD

【详解】A.粒子运动轨迹如图所示

t2：门=3：2

故A正确；

B.由于〃：酎=3：2,又因为，从"点射出时对应的圆心角为90。，所以，从e点射出时，对应的圆心角为

60°,即

变形得

故B错误；

CD.设必“，由几何关系得

根据牛顿第二定律得

由于小〃?、A相同，速度与半径成正比

故C错误、D正确；

故选ADo

【变式32］（多选）纸面内有一矩形边界磁场A8CQ,磁场方向垂宜于纸面（方向未画出），其中AQ=8C=3

AB=CD=2L,一束外粒子以相同的速度如从B点沿BA方向射入磁场，当磁场为8/时，△粒子从C射出磁场；

当磁场为仍时，“粒子从。射出磁场，则（）

D

A.磁场方向垂直于纸面向外B.磁感应强度之二匕①：B2=5：1

C.速度偏转角之比。”<92=180：37D.运动时间之比"：力=36：53

【答案】BD

【详解】A.由带负电的/?粒子（电子）偏转方向可知，粒子在8点所受的洛伦兹力方向水平向右，根据左手

定则可知，磁场垂直于纸面向里，A错误；

又：

解得：

洛伦兹力提供向心力：

解得：

C.偏转角度分别为：

。产180°

仇=53°

D.运动时间：

因此时间之比：

D正确。

故选BDo

强化点四“磁聚焦”和“磁发散”模型

（1）带电粒子的会聚

如图甲所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆

半径相等（/?=r），则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点3点射出.（会聚）

证明：四边形0478为菱形，必是平行四边形，对边平行，08必平行「人O,（即竖直方向），可知从人点发

出的带电粒子必然经过B点.

（2）带电粒子的发散

如图乙所不，有界圆形磁场的磁感应强度为8,圆心为。，从P点有大审质量为〃?、电荷量为9的止粒子，

以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场

半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行.（发散）

证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心0、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行四边形，。洪（。2以

OaC）均平行于PO,即出射速度方向相同（即水平方向）.

【典例4】如图所示，在直角坐标系my中，x轴卫方看勺鹿磁场，磁感应强度而天示％从磁场方向垂直

于纸面向外.许多质量为m、电荷量为+q的粒子，以相同的速率K沿纸面内，由k轴负方向与y轴正方向

之间各个方向从原点。射入磁场区域.不计重力及粒子间的相互作用.下列图中阴影部分表示带电粒子在

磁场中可能经过的区域，其中R=mWqB,正确的图是（）

02R02R

。

【答案】D

考点：带电粒子在匀强磁场中的运动

【名师点睛】本题考查分析和处理粒子在磁场中运动的轨迹问题，难点在于分析运动轨迹的边界，可以运

用极限分析法分析.

【变式41］如图，矩形的长4d=0.6m,宽"=0.3m,o、e分别是“d、儿的中点，以。、e为圆心有

两个半径均为R=0.3m的四分之一圆弧，区域。加面内有方向垂直纸面向里的匀强磁场（边界上无磁场），磁

感应强度4=0.25T。一群不计重力、质量〃7=3x109kg、电荷量4=2x10-$c的带正电粒子垂直于4d边以v

=5xl02m/s的速度射入磁场区域。下列判断正确的是（）

ab

---------M-;==-•

IJI

——/X

•/•

_____JzXX

Iz•

1/I

V>xXX

_xx

_x/yx/：

/•

_____><X/•

/

_Jc」“二..

d,c

A.所有粒子射出磁场时的速度方向都平行B.所有粒子在磁场中运动的时间都相等

C.从“边射入的粒子，出射点都在e点D.从w边射入的粒子，出射点都在b点

【答案】D

【详解】C.粒子进入磁场后做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力：

得：

同理从。”之间射入的其他粒子，到反边界处速度均竖直向上，因边界上无磁场，泅之间所有粒子全部通

过6点，C错误；

ABD.从〃“边射入的粒子先做一段时间的直线运动，设某一个粒子在M点进入磁场，其圆心为O,如图所

示：

故选Do

【变式42］如图所示，在半径为R的圆形区域内充满磁感应强度为8的匀强磁场，MN是一竖直放置的感

光板。从圆形磁场最高点。以速度u垂直磁场射入大量带正电的粒子，且粒子所带电荷量为小质量为〃

不考虑粒子间的相互作用力及粒子的重力，关于这些粒子的运动，以下说法正确的是（）

、

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、

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N、

A.射出磁场的粒子一定能垂直打在MN上

B.粒子在磁场中通过的弧长越长，运动时间也越长

C.射出磁场的粒子其出射方向的反向延长线不可能过圆心。

【答案】D

【详解】AC.如图所示的两个三角形的三条边对应相等，这两个三角形全等，粒子一定沿着半径方向射出

磁场，其出射方向的反向延长线一定通过圆心。，射出磁场的粒子不一定能垂直打在MN上，AC错误；

解得

粒子水平射出，一定垂直打在MN上，D止确;

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越小，

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越小，

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越长，

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长越长

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子在磁

B.粒

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成的多

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子电

电粒

带

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强化

子

负粒

正、

度下，

的初速

在相同

电荷，

能带负

，也可

正电荷

可能带

电粒子

定，带

性不确

子的电

如果粒

—