江苏省徐州市2024-2025学年高二年级上册期末抽测数学试卷（解析版）

江苏省徐州市2024-2025学年高二上学期期末抽测数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.抛物线）'=4"的准线方程为（）

A.x=-\B.x=lC.x=---D.

16

1

x=一

16

【答案】A

【解析】由抛物线y2=4x知，2P=4,故其准线方程为x=-l,

故选：A.

2.在等比数列｛q｝中，若7=2,4=16,则｛4｝公比为（）

A.2及B.±272c.2D.±2

【答案】C

【解析】设数列｛4｝的公比为4，由得，16=2夕3,解得2.

故选：C.

3.椭圆二+匕=1的离心率为（）

2516

916「4.3

252555

【答案】D

【解析】在椭圆工+£=1中，a=5,b=4,c=、G2d2=3,

2516、

故该椭圆的离心率为e=-=~.

a5

故选：D.

4.己知点。在VA8C所在平面内，若对于空间中任意一点尸都有迎=〃7西-2而+P乙

则机=（）

A.2B.1C.OD.-]

【答案】A

【解析】由题意可知。,4民C四点共面，

故777—2+1=1,故6=2,

故选：A.

5.两条平行直线or—2y+l=0与2x—纱+1=0间的距离为（）

A.旦B.1C.正D.V2

422

【答案】C

【解析】因为直线这一2y+1=0与2x—ay+1=0平行，

所以一/+4=（）且a」—2xlw0,解得。=一2,

所以直线方程为-2x-2）+l=0与-2.t-2y-l=0,

故”=

卜2『+（一2）22

故选：C.

6.在棱长为1的正四面体Q48C中，AC=4AE，则而.阮=（）

A1R百1

A・-D.CC.—

884

【答案】A

【解析】因为庵=9+工恁=阳+，（定一区）=，定+3对，

44、744

所以尸£.86=（（夕）（尸。一06）="

故选:A.

2

7.已知椭圆。：工+_/=1的左焦点为尸，点用在。上，点N在圆y2-4^y+7=0

9’

上，贝i」|MN|十|"周的最小值为（）

A.3B.4C.9D.11

【答案】A

2________

【解析】由椭圆C:三+产=1,得a=3/=l,c=j3-2=2五,工'(-272,0),

由Y+y2—4向，+7=0得Y+b_=1,所以圆心网0,20b半径为r=1.

设EF分别与椭圆、圆交于点M',N'

则阿r|+|M/V|+|N目习EF|=四户|+|〃*[+W耳，|陷=|N闵=1,

所叫Mr|+|MN|>|EF|-1=J（2甸2+（2⑹2-1=3，

当且仅当F、M、N,后四点共线时取等号,

+日的最小值为4—1=3.

故选：A.

8.已知点A(0,2),若圆(x-a)2+(y-。+4『=1上存在点P,使得归3+\P^=34(0

为坐标原点)，则实数。的取值范围为()

A.(一8,0]u[5,+e)

B.[0,5]

【答案】B

【解析】设点如“)，因为。为坐标原点(0,0),40,2),且|PO|2+|PA「=34.

根据两点间距离公式，贝।>2,忸八-="2|(),2广

22

所以H+y+d+c，—2)2=34,展开整理可得：x+(y-I)=16.

所以点。的轨迹是以。(。』)为圆心，/•二4为半径的圆.

已知圆(x-a)2+(y-々+4)2=1,其圆心为M(a,a-4),半径R=l.

因为圆@一〃)2+()，一。+4)2=1上存在点〃满足条件，所以两圆有公共点.

根据两圆位置关系，两圆的圆心距d=7(«-0)2+l(^-4)-l]2=yJa2+(a-5)2.

两圆有公共点，则上一兄044一+农，即|4-1区击2+(〃一5)2mi.

对于3«//+3—5)2,两边平方得9</+(4-5)2,展开整理得，"一5〃+820,

A=(-5)2-4X8=-7<0,函数图象开口向上，所以/一5。+820恒成立.

对于^^2+(4一5)2«5,两边平方得/+5—5)2425,展开得

^2+tz2-1067+25<25.即2。2-10。40，a2-5a<0^解得0WaW5.

D.AP与平面ABC所成角的正弦值的最大值为§

【答案】AB

【解析】对A,由正方体性质可知AC〃AC,8,AGa平面人Rc，ACu平面

AD.C,所以AG〃平面4>C，同理，48〃平面ARC,又48rl4a二4，

AB，AGu平面AG8,

所以平面A〃C〃平面4G3,乂£>/u平面ARC,所以"P//平面故A正

确；

对B,由正方体性质可知，AG^GC，PCA.C}Cf且垂足分别为C，C,故由投影向

量概念知B正确：

对c,建立如图所示空间直角坐标系，设正方体棱长为1,当丸=!时,

2

则A(1,O,O)，A(1,O,1),耳所以4户二'11

4»的

设直线Af与AA所成角为0,则cos8二=~~»故C错误;

4?-福6

对D,设p(x,y,z),则C(O,1,O),

AP=(x—1,y,z)=尤(一1,1,0)=x=1-4,y=4z=0,1.4户=(-4,4-1),

又话=(一1,1,0),砥二(0』,1),碣二(一1,一1,1),所以八3二力；二1-1+0=0,

丽•函=-1+0+1=0,即而J,瓯，耳耳JL西，所以西为平面A8c的一个法向

量，

开•西

设47与平面A4c所成角为a,则sina=1小

网西22+1,y/3

即最大值为立，故D错误.

3

故选：AB.

11.在直角坐标系中，已知抛物线C:=8x的焦点为尸，直线/与。交于AB两点，

~是。上异于顶点的动点，则下列结论正确的是（）

A.若/过点尸，则/A08为钝角

B.若丽=2万，贝I"的斜率为士正

2

C若。（-2,0）,则点/＞的横坐标为2时，力最小

D.若四边形"班'为平行四边形，则/过定点（1,0）

【答案】ACD

【解析】易知焦点歹（2,0）,

对于A,若/过点尸,可设直线方程为工=阳+2,4（丁丹）,8（3力）；

联立抛物线方程可得）3一即肛—16=0,可得y+必=8m,乂必=T6,

所以相当+（＞+必+相必

OAOB=XAX2+yj2=（g+2）（2）+y%=1）Y2（y+）+4

=—16（w2+1）+2m-Sm4-4=-12＜0,

所以4A08为钝角，即A正确；

对于B,由而=2而可得/过点由（1）可得）1=-2），2；

所以y：=4y；,结合y+K=8〃z,yy,=-16可得加=±立，

4

可得/的斜率为±2近，即B错误；

对于C,易知。（一2,0）是抛物线的准线工=-2与x轴的交点，作A片与准线垂直，垂足为

6,如下图所示：

乂在△[PQ中，cos/勺户。=^,且NqPQ£(0,：

因此当N[PQ取得最大值时，满足题意，此时P。斜率存在且与抛物线相切,

设PQ的方程为％=。，-2,代入抛物线方程可得)3-8,世+16=0,

所以△=（8，〃）2—4x16=0,即加=±1：

PF\

解得y=±4,此时x=2,因此点P的横坐标为2时,网最小’即C正确;

对于D,设PQoJo),直线/：戈=，少+。，如下图:

，可得)2-8町，-8。=0,因此另=8〃,%必=一8〃；

所以％+赴="（X+%）+2〃=8/+2a,

因为四边形A/力尸为平行四边形，所以而=包+丽,

即(xu—2,%)=(.£-2,)1)+(巧—2,必),

所以/=%+々-2=87+2。-2,%=y+%=8〃：

代入%=8x0可得(8〃『二8(8/+2a-2),解得a=1；

即，x”+l,显然/过定点(1,0),即D正确.

故选：ACD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若将公比9不为1的等比数列％,生，内调整顺序后为等差数列，则4的一个值为

【答案】一2(或答案不唯一)

2

【解析】设等比数列为调整顺序后为等差数列有以下几种可能情况:

情况一：同为等差数列，

根据等差数列性质，2々々2=4+々臼，

因为4工0（等比数列首项不为0）,得到2寸=1+夕，

解得4=1或4=一,，因为夕。1,所以9二一,，

22

情况二：。必对。闻2为等差数列，

则24=aq+《/,得2=q+d，解得4=1或“=-2,因为4H1,所以“=一2,

情况三：为等差数列，

则24夕2=qq+q,得2/=4+1,解得4=1或q=-g,因为所以q=-g,

综上所得，的一个值为一2或一

2

故答案为：—2（或一L,答案不唯一）.

2

V2y2

13.已知双曲线C：4—3=1卜”>0,〃>0）的左、右焦点分别为&，过片的直线与

C的一条渐近线平行，交另一条渐近线于点A,若tan/片64=：，则。的离心率为.

【答案】亚

22ly

【解析】对于双曲线二-5=1,其渐近线方程为），=±-丸

crlra

设々（-c,O）,过招的直线与一条渐近线），=2入一平行，则该直线方程为丁=々。+c）.

aa

与另一条渐近线），=—联立，可得-2x=9（x+c）,

aaa

-c

-x=x+c,2x=-Crx=——.

2

..c小、b—abe...cbe、

将x二一二代入y=一-x,可得），=丁，所以A（一二，丁）.

2a2a22a

此

be一A

为

已知名（c,0）,则tanN4月A=-^一=%

c+-32C

t

I

因为lanN£E4=—=-,所以6=2。.

3。3

又因为双曲线的离心率e=£,且。2=/+〃2,

把Z?=2。代入可得/="+4a2=5a2，即c=\[5a-

所以离心率e=£=J5.

14.已知正方形ABC。和矩形ACEF所在平面互相垂直，AB=M，A尸=1，若平面

8CE与平面少所的交线为/,则点8到/的距离为

【答案］巫

3

交8C的延长线于点/,连接E7,如图,

因为四边形AC/。为平行四边形，所以AC=。/,

所以EF/IDI,EF=DI，即E/u平面/

又E/u平面BCE,所以平面8CE与平面£>£尸的交线为E7,

因为E/=EO=G，CI=6.

设点8到1的距离为人,

由等面积法可知，-BbEC=-Ehh,

22

-BIEC2V2276

所以。=-------=—=^=-----.

E163

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知圆C的圆心在直线y=2x上，且圆。与x轴相切于点(1,0).

(1)求圆C的标准方程；

(2)若直线/过点(3』)，且被圆C横得的弦长为26，求直线/的方程.

解：(1)因为圆。与1轴相切于点(1,0),所以圆心C在直线式=1上，

又圆心C在直线y=2式上，所以圆心为。(1,2),半径为2,

所以圆C的标准方程为()一1『+()，—2)2=4.

(2)设圆心到直线/的距岗为d,因为直线/被圆C截得的弦长为2百，

所以2G=2"-/，解得4=1,

当直线/垂直于无轴时，则圆心C到直线/:x=3的距离为2，

此时，直线/:x=3与圆C相切，不满足条件.

当直线/不垂直于工铀时，设直线/的方程为)，-1=〃()一3),即京一尸弘+1=0,

所以整理得3公+4A=0,解得左=0或2=-；.

“2十[收+13

所以直线/的方程为>=1或4x+3y-15=0.

16.已知数列｛%｝的前〃项和为S“，且Sn=24-1.

(1)求｛q｝的通项公式；

n

(2)记数列〈「卜的前〃项和为《，证明：7；,<2.

(I)解：因为S”=2a”-1,当〃=1时，S[=2q-1,所以4=1,

当〃32时，=2^-1,

所以4=2%—2%,即an=2j

又6=lw0,所以‘工二2(〃22),从而数列｛2｝为公比为2的等比数列,

a»-\

所以《二2”，

(2)证明：由(1)得q=2")所以」L=.

2凡⑴

所以7；=[x]g、+2x（；）+3x4）+…+〃x（；

+2x

I\2\3、〃十I

两式相减得g7；=i1

2+

:++…+一〃X

<22）2;

所以7>2—(〃+2)0.

因为“EN*，所以(〃+2)(g)>0,所以7；<2.

17.如图，三棱柱的棱长均为4,D，E,歹分别是棱AC，CC｝,用G的

中点，GO_L平面A3C.

(1)求证：A。_LBE；

(2)求二面角A—8。一尸的余弦值.

(1)证明：因为G。！.平面ABC,DB,DAu平面ABC,

所以GQJ_DB,QD1DA.

因为VA8C为等边三角形，且。为AC中点，所以8Q_LAC,

故DB，DA,OG两两互相垂直•以｛。反DA，。*｝为正交基底建立如图所示的空间直角

坐标系.

则0(0,0,0),A(0,4,2/),C(O,-2,O),网26,0,0),后(0,-1,6b

所以方二(26,1,—6).C4=(0,6,2>/3).

所以E月-Oi=2石x0+lx6一百x2石=6-6=(),

所以“_LC?，即应:_LAC.

（2）解：因为2于=函=函=（26,2,0）,所以即=（6,1,0卜

而G（0,0,2g）,所以用右』,26），

则。声=（61,2g）.

设平面FBD的法向量为历=。），

niDB,n-DB=0.2岛=0.

则所以即《

万_!.而,=0,

n~DF=0y6a+b+2\[3c

令b=5/3>则a=0,c=——>

所以平面M。的一个法向量为==（0,6,-g）.

又因为平面A3。的一个法向量为沅=（0,0』），

___irin~2屈

所以8Sm,〃=丽=-可

由图形可知，二面角A-BD-F为锐角，

所以二面角A—8。一尸的余弦值为姮.

13

18.已知双曲线E:三一六=1（〃>0,力>0）的左、右焦点分别为石，鸟，实轴长是虚轴长

的2倍，且E过点卜,g）.

（1）求上的标准方程；

（2）若直线/与E相切于第一象限内的点尸，且与工轴相交于点Q,

①证明：PQ平分NF/F?；

②过坐标原点。作/的垂线（垂足为“），与尸月相交于点7,求△可”面积的最大值.

（1）解：因为实轴长是虚轴长的2倍，则2a=2x3,即a=2/r

（191

乂£过点P3,；,所以小"—^=1,解得从=2,/=*=8.

k2）4。’4/r

所以E的标准方程为工-二=1.

82

（2）①证明:设Pg,%）,则片一4y；=8,切线/:y-%=攵（工一/），

《-回=1,

联立彳82'化简得（1—4々2）X2_8女（％_七%）1_4（），0_米0）-_8=0.

广为二心一/），

由4二［8攵（％-5）］2-4（1-4攵戈-El"。）?-卜8,解得％=含，

所以直线P。：），-%=¥（/-%），令y=o,得《色,（）.

4）'。）

直线万写的方程为）'=x:加［+屈），即%［+府）一乂题+1布）二0，

）'。

所以。到。6的距离为4=

2

同理点。到直线PF2的距离为

一}&一而）1|野（属一回产M

X

小可公-加）-1|x/5x0-4x^|I°I

所以4=4，故P。平分NRP6.

②解：由①可知07的方程为）'二二丛工，

%

S,。।32%_4叫。印

亚X。+4>/25x；—325XQ—32

=4而440/二眄

苍+16%2y/l6x-y-2

当且仅当与2=16.%2时，取等号.

所以△"；"的面积5=，乂[0£||），,一），〃|«!'亚乂巫=』，

即△历”面积的最大值为g.

19.已知数列｛凡｝共有/n（/neN\/7?>3）项，且各项均为正整数，设集合

T=^x\x=a｝-a^\<i<j<m｝,记7的元素个数为。（7）

（1）若｛《,｝为1,2,3,5,求7及P（T）；

（2）若｛可｝是单调数列，求证："｛〃〃｝为等差数列”的充要条件是“P（7）="L1”；

（3）若｛%｝是由1,3,5,7,-・,2〃-1,2〃这〃+1个数组成，且这〃+1个数在｛“；｝中都至少

出现一次，m=2n+l,求P（T）的所有可能值.

解：（1）因为q=l,%=2,4=3,4=5,所以工二%-q,机的可能情况

有：/-6=1，%一%=2,〃4_q=4,a3-a2=],a4-a2=3fa4-a3=21

所以T=｛1,2,3,4｝,故P（T）=4.

（2）不妨设｛q｝为递增数列.

必要性：若｛4｝是递增等差数列，设公差为"，则d>0.

则当时，%一q=（/-i）d,所以T=｛d,2d,…,。〃一1”｝,则0（7）=〃?一1.

充分性：若P（7）=〃?-l.

因为｛〃〃｝是递增数列，所以生一卬<%-4<…<。川一％，

所以%-一%…，4一可£丁，且互不相等，正好满足尸（7）=〃2-1,

所以7=｛/一4，%一知…一“｝.

又4一生<4_%<,••<〃，，一一生〈4”一〃2<4“一6，

所以%一心，/一生，…，"〃一％，。,“—/£丁，且互不相等.

aa