空间向量及其运算的坐标表示-2023学年高二数学考点专项突破（人教）

1.3空间向量及其运算的坐标表示

【考点梳理】

考点一空间直角坐标系

1.空间直角坐标系及相关概念

(1)空间直角坐标系：在空间选定一点。和一个单位正交基底｛i，j，k｝,以。为原点，分别以i,j,k的方向为正

方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直

角坐标系Orvz.

(2)相关概念：Q_叫做原点，i,j,A都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为虫L平面、

Ovz平面、Ozx平面,它们把空间分成八个部分.

2.右手直角坐标系

在空间直角坐标系中，让右手拇指指向的正方向，食指指向ylt的正方向，如果中指指向逐的正方向，则称

这个坐标系为右手直角坐标系.

考点二空间一点的坐标

在空间直角坐标系Qyyz中，i,方士为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量―，且点A的位置由向量晶唯

一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x,y,z),使晶=xi+0+北在单位正交基底｛i,j,以下

与向量OA对应的有殍实数组(x,v,z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标,记作A(x,)、，z),其中工叫做点A

的横坐标，£叫做点A的纵坐标，工叫做点4的竖坐标.

考点三空间向量的坐标

在空间直角坐标系Qxyz中，给定向量〃，作04=a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x,y,z)»使a=

京+0+zA.有序实数组(x,y,z)叫做a在空间直角坐标系。ryz中的坐标，上式可简记作a=(x,y,z).

考点四空间向量的坐标运算

设。=(曲,。2,〃3)，b-(b\fbz，①)，有

向量运算向量表示坐标表示

加法上+历，出+公)

减法a-ba—b=(aLb],他一历，坦一回)

数乘/M痴=(血，〃2，筋3)，2£R

数量积aba,b=a；bi+a2b2+a3b3

考点五空间向量的平行、垂直及模,夹角

设a=31，42，。3)，b=(bi,bl，例)，则有

当力W0时，a//b<^a=/.b<^a\=Xb\,公=彻,的=物(，£11)；

aA_b^>ah=()^>a]b\+0262+0363=。;

\a\=\[ah=y]a^-\-ai+alt

/ab4仍1+。2—+。3力3

cos=丽=7的+♦+成

考点六空间两点间的距离公式

设P|（汇，y\,Z|）,「2（X2，”，Z2）是空间中任意两点，则P1P2=|品2|=＞。2—汨）2+。2—M）2+⑵一」产.

【题型归纳】

题型一：空间向量的正交分解问题

■|，3)B.(1,3)

A.（一，C.（3,[，|）D.小1-3)

A.-5B.5C.-9D.9

题型二：空间向量的坐标运算问题

题型三：空间向量的模长的坐标问题

题型四：空间向量的平行的坐标表示问题

A.2B.4C.-4D.-2

A.一2B.2C.D.\_

22

A.1B.2C.3D.4

题型五：空间向量的垂直的坐标表示问题

A.1B.-2C.-4D.0

题型六：空间向量的夹角余弦的坐标问题

A.60,B.120°C.45：，D.135°

题型七：空间直线的方向向量问题

A.-6B.6C.14D.-14

题型八：空间向量的坐标运算的综合问题

(1)求G，方夹角的余弦值.

(2)求乙5夹角的余弦值;

【双基达标】

一、单选题

A.1B.V2C.GD.2

27.(2022・湖北•宜昌市夷陵中学高二阶段练习)下列四个结论正确的是()

A.21B.4C.-4D.10

A.-2B.1C.一1或2D.1或一2

【高分突破】

一：单选题

c.1D.V2

c.VioD.3万

44

c.0或二D.。或Q

C-VD-

二、多选题

40.（2022・福建龙岩•高二期中）对于非零空间向量入B，入现给出下列命题，其中为真命题的是（）

C.8"的中点坐标为（1,1,1）D.点片关于），轴的对称点为（-2,2,-2）

42.（2022•江苏•沛县教师发展中心高二阶段练习）下列关于空间向量的命题中，正确的有（）

44.（2021•浙江台州•高二期末）下列说法正确的是（）

45.（2022.全国•高二期末）关于空间向量，以下说法正确的是（）

三、填空题

47.（2022•江苏•涟水县第一中学高二阶段练习）己知空间三点A（l,1,1）,8（1,2,2）,C（2,I,1）,则而在北

上的投影向量的模是______.

四、解答题

（1）求W的坐标

56.（2021•山东省潍坊第四中学高二）如图，已知直三棱柱在底面△月&?中，CA=CB=\,ZBCA

=90°,棱A4/=2,用，N分别是43/,4*的中点.

_________Ullll

（1）求丽的模；（2）求cos（贻，CB｝）的值；（3）求证：46_LGM.

（1）求工石;

【答案详解】

I.A

【详解】

故选：A.

2.D

【详解】

3.B

【详解】

4.B

【详解】

故选：B.

5.A

【详解】

故选：A.

6.A

【详解】

故选：A

7.D

【详解】

故选：D.

8.C

［详解】

故选：C.

9.A

【详解】

故选：A.

10.C

【详解】

故选：c

II.C

【解析】

【分析】

根据向量共线的性质即可求解.

【详解】

故选：C.

12.A

【解析】

【分析】

根据向量平行和垂直的坐标表示求出y和x即可.

【详解】

故选：A.

13.B

【详解】

故选：B

14.C

【解析】

【分析】

【详解】

而A、B、D说明乙与4平行.

故选：C

15.A

【解析】

【分析】

由空间向量垂直的坐标表示计算.

【详解】

故选：A.

16.B

【详解】

以。为原点，分别以04、04、0C所在直线为小y、z轴建立空间直角坐标系

【详解】

故选：C.

18.B

【详解】

故选：B.

19.C

【详解】

故选：C.

20.A

【详解】

故选：A.

21.B

【详解】

故选：B.

【解析】

(1)

(2)

由(1)可得

(3)

23.(1)5

【解析】

(1)

(2)

【解析】

(I)

(2)

(3)

25.C

【解析】

【分析】

利用空间向量的坐标运算法则即可求解.

【详解】

故选：C.

26.D

【解析】

【分析】

由空间平行向量，先求出用的值，再由模长公式求解模长.

【详解】

故选：D

27.B

【解析】

【分析】

【详解】

则A,B,。三点共线，B正确；

故选：B

28.C

【解析】

【分析】

【详解】

•・•点A,B,C在同一条直线上

故选：C.

29.C

【解析】

【分析】

【详解】

故选：C.

30.C

【解析】

【分析】

根据点关于原点对称的性质即可知答案.

【详解】

由点关于原点对称，则对称点坐标为该点对应坐标的相反数,

故选：C

31.(1)10

【解析】

【分析】

(1)根据空间向量的坐标运算律，即可求解.

(2)根据空间向量的夹角公式，代入求解.

(1)

(2)

(3)

⑵历

【解析】

【分析】

(1)

(2)

33.C

【解析】

【分析】

【详解】

故选：C

34.B

【解析】

【分析】

【详解】

B'

故选：B

35.D

【解析】

【分析】

【详解】

故选：D

36.C

【解析】

【分析】

【详解】

故选：C.

37.C

【解析】

【分析】

由空间向量夹角余弦的坐标表示直接计算可得.

【详解】

故选：C

38.B

【解析】

【分析】

【详解】

所以以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系,

所以异面直线AC与巴）所成角的余弦值为它，

4

故选:B.

39.AD

【解析】

【分析】

根据基底向量的要求不共体可以判断A正确，B、C、D通过建立空间直角坐标系结合空间向量的坐标运算进行运

算判断正误.

【详解】

故选：AD.

40.BD

【解析】

【分析】

根据空诃向量夹角的定义、空间向量数量积的坐标表示公式，结合空间向量数量积的运算性质、空间向量基底的定

义逐一判断即可.

【详解】

D：假设c是共面向量，

故选：BD

41.BCD

【解析】

【分析】

根据空间直角坐标系，可求点G的坐标，由此判断A;求出彳的坐标，可判断B;

利用中点坐标公式求得台R的中点坐标，可判断C;根据空间点关于坐标轴的对称点的特点可判断D.

【详解】

故选：BCD

42.BCD

【解析】

【分析】

【详解】

故选：BCD

43.BCD

【解析】

【分析】

由空间向量平行的性质及空间向量模长，数量积，夹角的坐标运算进行判断即可.

【详解】

故选：BCD.

44.ACD

【解析】

【分析】

【详解】

故选：ACD.

45.AB

【解析】

【分析】

对于A.由向量共面的判定方法直接判断；

对于B.由向量共面的判定方法直接判断；

对于C.按照基底的定义直接判断；

【详解】

故选：AB

46.2

【解析】

【分析】

根据空间向晟的坐标运算与数量积公式求解即可

【详解】

故答案为：2

【解析】

【分析】

【详解】