立体几何（文理）-高考数学一轮复习专练解析版

专题07立体几何

一、单选题

1.（2022・江苏•如皋市第一中学高一期末）某圆锥的侧面积为1,用一个平行于圆锥底面的

平面截该圆锥得到一个圆台，若圆台上底面和下底面半径之比为则该圆台的侧面积为

（）

A.1B.也C.-D.-

2248

【答案】C

【分析】

根据圆台的底面半径之比可得母线之比，进而根据锥体的侧面积公式即可求解.

【详解】

设圆台的上底面半径为L下底面半径为2人设圆台的母线为/,则圆锥的底面半径为2r,

圆锥的母线为2/,

圆锥的侧面积记为S.=-2^-2r-2/=4"/=1=>兀”=■!■,

24

截去的小圆锥的侧面积即为=

■24

I3

故圆台的侧面积为S-S2=1-T=],

44

故选：C

2.（2018・湖南・华容县教育科学研究室高一期末）已知直线加，平面夕，〃表示直线，夕表

示平面，有以下四个结论:①=；②〃〃/〃，nu/S=>a"；③〃

④若£与〃?相交，则夕与a相交.其中正确的结论的个数是（）

A.4B.3C.2D.I

【答案】C

【分析】

根据线线，线面的位置关系，线面垂直的性质，面面的位置关系及面面垂直的判定定理，逐

项分析即得.

【详解】

对于①，a_L〃=〃?///7或〃?u/7,故①错误；

对于②，m//n,mla=>itla,又〃u/7,所以a_L/?,故②正确；

对于③，m±a,〃/7a=>〃，_!_〃，故③正确；

对于④，若£勺加相交，则£与。相交或平行，故④错误.

故止确的结论的个数是2.

故选：C.

3.（2022・河北廊坊・高二期末）如图所示，在长方体48co-A8cA中，AQ=e=2,AB=4,

点七是棱人8的中点，则点E到平面AC。的距离为（）

D,Ci

ED

74

A.1B.：C.-D.72

【答案】B

【分析】

设点E到平面ACR的距离为力，根据匕is，利用等体积法即可得出答案.

解：设点E到平面A。。的距离为儿因为点E是棱A/3的中点，

所以点月到平面的距离等于点8到平面4CR的距离的一半，又平面AC。过的中

点，

所以点4到平面ACR的距离等于点。到平面4CR的距离，由等体积法％.AS

所以奈*2=台389口,5AXCD=ix2x4=4,DD1—2,

在△AC。中，A〃=2a,AC=Cn=26,所以S-s=gx20xJ（2遥尸一（正『=6,

1127

则QX6X2/?=；X4X2解得〃=：,即点E到平面AC。的距离为;.故选：B.

4.（2020•浙江师范大学附属东阳花园外国语学校高二开学考试）在三棱锥尸-A8C中以、

PB、PC两两垂宜，。是。在平面A8C内的射影，则。是。的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

【答案】D

【分析】

连接AQ8O,利用线面垂直的判定定理和性质定理可以得到8C_LAO,ACJ.BO,进而

得点O是，.ABC垂心.

解・：连接AO.8O,点。是〜在平面ABC内的射影，.•.POJ.面A8C,

•,笈C,ACu面A8C,/.PO±BC,PO±ACt

yPA.PB、PC两两垂直，・・・AP_LP/*AP_LPC,PB1PC,

•・,P87尸C=P,/）氏尸Cu平面P3C,PA尸C=P,PA产Cu平面PAC,

，AP_L平面PBC,BP_L平面PAC,

•・・8Cu平面P8C,ACu平面PAC,

AAPLBC,BPLAC

APoPO=P,AP,POu旬APO,BPcPO=P,BP,POu面BPO,

.•.^。，面人2。，从。_1面820,

QAOu面APO,8Ou面BPO,

/.BC1AO；ACLBO

••・。是448c的高线的交点，记为雍心.故选：D

5.(2022・全国•高考真题(理))甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和

为2兀，侧面积分别为厮和S乙，体积分别为％和%.若裂=2,则白=()

3乙V乙

A.0B.2&C.710D.包叵

4

【答案】C

【分析】

设母线长为/,甲圆锥底面半径为4,乙圆锥底面圆半径为根据I员I锥的侧面积公式可得

彳=24，再结合圆心角之和可将小弓分别用/表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，

再根据圆锥的体积公式即可得解.

【详解】

解：设母线长为/,甲圆锥底面半径为小乙圆锥底面圆半径为5，

S甲7ri\l八2^r2如；_2.1,

则丁=­；=一=2,所以耳=24，又一^+―j—=2用，则」^一二1,所以q=；//=:/,

》乙兀rjr2/II33

所以甲圆锥的高匕==争,乙圆锥的高必=/J产=半/,

7.(2022・全国•高考真题(文))在正方体人BCO-ABCQ中，E,b分别为481c的中

点，贝IJ()

A.平面与£b_L平面8。"B.平面平面48。

C.平面居E尸//平面AACD.平面4所〃平面AC。

【答案】A

【分析】

证明£F_L平面8。。，即可判断A；如图，以点。为原点，建立空间直角坐标系，设AA=2,

分别求出平面与后尸，A.BD,AG。的法向量，根据法向量的位置关系，即可判断BCD.

解：在正方体人BCO-4罔GR中，4。_13。且。口_1平面48。。，乂EFu平面ABCD,所

以£尸_LDD、,

因为E，r分别为48IC的中点，所以痔IAC,所以MJ_8D，又BDCDD『D,

所以政，平面B。。，又斯u平面用七/，所以平面gEF_L平面4。。，故A正确；

选项BCD解法一：如图，以点。为原点，建立空间直角坐标系，设A/，=2,

则4(2,2,2),£(2J0)/(l,2,0),3(220),A(2,0,2),4(2,0,0),C(0,2,0),C,(0,2,2),

则所=(-1,1,0),鹤=(O，l，2)，。8=(2,2,0),。4=(2,0,2),

M二(0,0,2),AC=(-2,2,0)，AG=(-2,2,0),

ffj•EF=—x+v=0

设平面r的法向量为〃?=(%yzj,贝耐｛'_',，可取〃z=(2,2,-1),

m-EBl=y+2Z[=0

同理可得平面ABD的法向量为仆平面AAC的法向量为4=(1』,0)，

平面AG。的法向量为则，〃囚=2-2+1="0,

所以平面4EF与平面4/。不垂直，故B错误；

因为〃;与微不平行，所以平面々E尸与平面AAC不平行，故C错误：因为加与均不平行，

所以平面与£产与平面4CQ不平行，故D错误，故选：A.

选项BCD解法二：

解：对于选项B，如图所示，设=EFTBD=N,则MN为平面B/尸与平面

A3。的交线，

在△8V/N内，作BP_LM,Vr点产，在&EMN内，作GP工MN,交EN1点、G,连结AG,

则N8PG或其补角为平面线炉与平面Aa)所成二面角的平面角,

由勾股定理可知：PB2+PN2=BN2,PG2+PN2=GN2,

底面正方形A8C。中，£产为中点，则比'_L3D,

由勾股定理可得NB2+NG2=BG2，

从而有：NB2+NG2=(PB2+PN2)+(PG2+PN2)=BG?,

据此可得尸发+PG2/BG\即/BPG/90,

据此可得平面与E/JL平面48。不成立，选项B错误；

对于选项C,取入出的中点”，则人，B\E,

由于A"弓平面相交，故平面尸〃平面A'C不成立，选项C错误;

对于选项D,取A/）的中点M,很明显四边形AAFM为平行四边形，则AMB\F,

由于AM与平面AG。相交，故平面耳EF〃平面AG。不成立，选项D错误；

故选：A.

8.（2022.天津市西青区杨柳青第一中学高一期末）如图，矩形ABC。中，AB=2AD,E为

边A3的中点.将二ADE沿直线DE翻折成△AOE（A足平面BCDE）.若M在线段4。上（点

“与A，C不重合），则在-ADE翻折过程中，给出下列判断：

①当”为线段A。中点时，|4M|为定值：

②存在某个位置，使。E-A。；

③当四棱锥A-AC。七体积最大时，点A到平面8CDE的距离为正；

2

④当二面角A-OE-B的大小为g时，异面直线人。与既所成角的余弦值为今

JJ

C.3D.4

【答案】B

【分析】

①利用余弦定理判断；②用线线垂直判断；③由垂线段判断；④由二面角与线线角公式判断.

【详解】

在矩形ABCD中，AB=2AD,不妨令AB=2AD=2,则：

,%

⑴取OC的中点F、连接MF、FB,

易知NMFB=NA\DE且为定值，

MB2=MF2+FB2-2MF-FBcosZMFB=-->/2cos/MFB(定值)

4

所以MB的长为定值，故。正确；

(2)假设存在某个位置，使DEIA.Cy连接CE,取/%的中点H,连接AH、CH,

显然4"_LQE、而=平面A"。、

QCHu平面AHC,：.DE上HC,

进而有£>C=CE,但DC=2,CE=近,不可能相等，

所以不可能有。石_LAC，故②错误；

(3)由题意得，»ADE是等腰直角三角形，A到OE的距离是旦,

2

当平面A.DE1平面BCDE时，四棱雉A-BCOE体积最大，

点A到平面BCDE的距离为4”=当，故③正确；

(4)易知二面角A1-DE-B的平面角乙川,当二面角A.-DE-B的大小为y时,

N'HF喂

又AH=HF=^,所以AF=当,

乂易知异面直线4。与BE所成角为NAOF,

+m—q/21+12-_-3,

二.cos/\DF=

2A.DFD2x1x14

故④错误，

综上可知，正确的有2个.

故选:B.

9.（2022・重庆•西南大学附中高一期末）已知正方体A8CQ-A4Gq的棱长为1，E为DD、

中点，F为棱C。上异于端点的动点，若平面阴汴截该正方体所得的截面为四边形，则线段

的取值范围是（）

A.（；,1）B.（―,1）C.）D.（0,—]

【答案】D

【分析】

根据给定的几何体，利用面面平行的性质结合平面的基本事实，探讨截面形状确定尸点的

位置，推理计算作答.

【详解】

在正方体ABC。-A线中，平面平面而BW平面A34A，Be平

囿BEF,

平面CDRG〃平面AB4A，则平面的与平面A即A的交线过点B,且与直线EF平行,

与直线相交，令交点为G,如图，

而。。_L平面A8CO,例，平面A8CQ,即NEFRNG84分别为EEGB与平面ABCD所

成的角，

而EF//GB,则N£FD=NG3A,W—=tanAGHA=tanZEFD=—,

ABDF

当产与C重合时，平面BE/截该正方体所得的截面为四边形，GA=ED=^,即G为梭AA

中点M,

当点尸由点C向点。移动过程中，NGR4逐渐增大，点G由M向点A方向移动，

当点G为线段"A上任意一点时，平面8所只与该正方体的4个表面正方形有交线，即可

围成四边形，

当点G在线段MA,延长线上时，直线BG必与棱A瓦交干除点片外的点，

而点尸与/）不重合，此时.平面8所与该正方体的5个表面正方形有交线，截面为五边形，

如图，

因此，〃为棱CQ上异于端点的动点，截面为四边形，点G只能在线段历4,（除点M外）上，

即g<G4Wl,

显然，Q八叱产=H，1），则Cf=l-。/e（02],

GA2GA22

所以线段的CF的取值范围是（0,夕.

故选：D

10.（2022・河南•信阳高中高i期末）我们把底面是正三角形，顶点在底面的射影是正三角

形中心的三棱锥称为正三棱锥.现有一正三棱锥尸-A8c放置在平而。上，已知它的底面边

长为2,高〃，该正三棱锥绕8C边在平面a上转动（翻转），某个时刻它在平面a上的射

影是等腰直角三角形，则力的取值范围是（）

D」。闸杵]

【答案】B

【分析】

分别讨论底面一人8。在々上的射影为等腰直角三角形和侧面/P4C在a上的射影为等腰直

角三角形时的情况可求解.

【详解】

首先在，A8C中，设其中心为“，8c中点为。，则O〃=­x-^―x2=——，DA—，

424

当“E8C为等腰直角三角形时，DE=1,

若底面一ABC在。上的射影为等腰直角三角形E8C时，如图1,只需

易知tan/4O"=cot/4DE=q^=W，又DH=®~AB=B,所以在，此时

A巴72636

0</i<—；

6

若侧面，尸8C在。上的射影为等腰直角三角形时，易知PMShWPE,

如图2和图3,可求得巫，P2H=\,所以迈《力41,

33

综上，力的取值范围是fo,J*」.

\03

故选：B.

11.（2022・全国•高考真题（文））已知球。的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个

顶点均在球。的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）

A.-B.yC.且D.—

3232

【答案】C

【分析】

先证明当四棱锥的顶点。到底面48C。所在小圆距离一定时，底面A8co面积最大值为2r2,

进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锌体积的最大值，从而得到当该四棱

锥的体积最大时其高的值.

【详解】

设该四棱锥底面为四边形A8CQ,四边形A/3C7）所在小圆半径为r,

设四边形48CQ对角线夹角为。,

（当且仅当四边形44co为正方形时等号成立）

即当四棱锥的顶点0到底面48CQ所在小圆距离一定时，底面ABCD面枳最大值为2户

又八+»=/

则％.'2/•6=—Vr-r-2//2<—卜+/+2力［=递

。一枚。3333J27

当且仅当产=2川即/,=4时等号成立，

故选：C

12.（2022・全国•高三专题练习）直角.ABC中，AB=2,"C=1,。是斜边AC上的一动点，

沿将AAB。翻折到VABO，使一面角A'-8O-C为宜一面角，当线段A'C的长度最小

时，四面体48C。的外接球的表面积为（）

13乃妨14乃-13%_12^

A.——B.——C.——D.——

4335

【答案】D

【分析】

作CM工BD,NH//CM,，设NA'B/）=，，则有AC?=5-2sin2,,

从而求解即可.

【详解】

作A〃_L8£),CM1BD,NH〃CM,CN〃MH,

设NABD=0，A”=2sin〃，CM=cos0,CN=MH=2cos8-sin8.

在RtZ\A'”N中，AfN2=AfH2+HN2,在mAM3中，AC?=从解十，

A'C2=A'N2+CN2=AfH:+HN2+CN2=(2sin0)2+cos26？+(2cos<9-sin0尸=5-2sin2,.

当心?时AC最小.

设△BCD,VAZZ）的外接圆半径分别为，i，G

好L26

CDTVio.M…A'D亍2屈.M

rri=，2

'~s\nZCBD~^~~^~r~sinZA'BD~&323

TT

x/iO22x/2I(\

BD=—sin/BCD百丁'°?E=《2七BD

31214

2122

・•・R=O}B+OO；=O1B+aE=—+p-=-

.AA714

••SC外接球=4;rR=47rx-=—7r.

oJ

故选:D.

二、填空题

13.（2022•广东惠州•高三阶段练习）如图所示，在四棱锥尸-ABC。中，%_L底面A8CD,

且底面各边都相等，ACfBD=O,M是PC上的一动点，当点M满足___________时，平

面M/2L平面PCD（只要填写一个你认为正确的条件即可）

【答案】DM1.PC（或OMJ.PC等都可）

【分析】

先确定所填答案，如DM工PC,再证明平面MB/）J_平面PC。即可，根据线面垂直的性质

可得抬_L〃），从而可得8。_L平面PAC,再根据线面垂直的性质可得8。_LPC,从而可

得PC_L平面MBD,再根据面面垂直的判定定理即可得证.

【详解】

解：可填。M_LPC,

由A3CO为菱形，^iAClBD,

,/PA_L平面ABCD,BDu平面ABCD,

所以Q4_L/）,

又PAfUCf

工BOL平面PAC,

又PCu平面A4C,

BD工PC,

又DMLPC,BDcDM=D,

所以PCL平面用8D,

又因尸Cu平面PCD,

所以平面M4Q_L平面PCD.

故答案为：DMA,PC.（或8W_LPC,QM_LPC等都可）

14.（2022♦全国•高三专题练习）已知正三棱柱ABC-AgG的各棱长均为28，以4为球

心的球与棱5c相切，则球A于正三棱柱ABC-AUC内的部分的体积为.

【答案】3冗

【分析】

球的半径即为A到直线的距离也即底面正三角形的高，A为球心，求出半球的体积即平

面ABC上方的半个球的体积，而位于正三棱柱内部的部分是在两平面AM1人和平面

4CGA所夹锐角的部分，占半球的!，由此可得体积.

【详解】

如图，

正三棱柱ABC-A/C的各棱长均为2月，

丁•以人为球心与棱4c相切的球的半径为J（2g）2-（石f=3,

则以平面ABC为截面的上半球的体积为，：犷33=厢.

又NBAC=J

3

•••球A位于正三棱柱内的部分的体积为Jxl8i=3;r.

O

故答案为：3乃.

15.（2022•江西萍乡•三模：理））如图，在正方形48co中，点M是边C。的中点，将△4DM

沿AM翻折到△MW,连接PB.PC,在“。用翻折到△加W的过程中，下列说法正确的

是.（将正确说法的序号都写上）

D

①点尸的轨迹为圆弧；

②存在某一翻折位置，使得A"_LP8：

③梭PB的中点为E,则CE的长为定值；

【答案】①③

【分析】

依据翻折过程中/W_LAM,PH=^A。均不变，判定点。的轨迹为圆弧，从而判断①止

5

确；利用反证法否定②；求得翻折过程中CE的长恒为予AD，从而判断③正确.

【详解】

设正方形A8C。边长为外

①在正方形A8c。中，过点。作£)”_LA"于”，则。〃=@a

在ZVIDM翻折到△E4M的过程中，PHA.AM,777=好a均不变,

5

则点P的轨迹为以〃为圆心，以且。为半径的圆弧.判断正确；

5

②假设存在某一翻折位置，使得AM_LPR

在△抬M内，过点尸作尸N_LAM于N,连接BN,

=P,可得平面03N

又BNu平面PBN,则AM_LBN,则cosNM48=&^=也

AB5

又在正方形48C。