人教版八年级数学上册 第十五章《轴对称》同步练习（含解析）

第十五章轴对称

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一、单选题

1.如图，在菱形48co中，®D=80。，A8的垂直平分线交对角线AC于点尸，垂足为E.连接。尸,

则NOFE等于（）

A.120°B.140°C.150°D.160°

2.如图1,点Q为菱形A8CQ的边8c上一点，将菱形ABCO沿直线AQ翻折，点8的对应点尸落

在8c的延长线上.已知动点M从点8出发，在射线BC上以每秒1个单位长度运动.设点M运动的时

间为x,的面积为y.图2为），关于文的函数图象，则菱形AACO的面积为（）

图2

A.12B.24C.10D.20

3.如图，在aABC中，A8=8C=3,乙48c=30。，点P为△A8C内一点，连接布、P8、PC,求阳+P8+尸C

的最小值（）

A.372B.3+&C.3GD.3+赤

4.如图，矩形"CD的顶点A、B在两坐标轴上，Q4=OB=2,BC=3近.将矩形A8CD绕原点。顺

时针每次旋转90。，则第2022次旋转后点。的坐标是(

C.(-3,5)D.(5,3)

5.如图，已知线段A4,分别以点4、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点C和点D,

作直线CO,在C。上取两点尸、M,连接/<4、PB、MA、M0,则下列结论一定正确的是()

MA=PBC.PM=BMD.PA=PB

6.VABC中三边a、b、c满足(a-b)(6-c)(c-a)=0,则这个三角形一定为()

A.等边三角形B.等腰三角形C.等腰钝角三角形D.等腰直角三角形

7.在平面镜里看到背后墙上正放的电子钟示数如图所示，这时的时间应是()

A.01:21B.10:21C.10:51D.15:01

8.如图，在V/18C中，C。平分NACB交/W于点。，DEi/BC,交AC于点E.若OE=4cm,

AE=5cm,则AC等于()

4cmC.9cmD.1cm

9.下列四种表情图片，其中是轴对称图形的是()

10.下列轴对称图形中，对称轴条数最多的图形是（）

11.一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40。的方向行驶100海里到达4地，再由8地向北偏西20°

的方向行驶】00海里到达C地，则A，。两地相距（）

A.100海里B.80海里C.60海里D.40海里

12.如图，等边VA4C中，点£是A8的中点，点。在AC上，且OC=2D4,则（）

16.如图，若沿直线AC对折，VABC与重合，则△4BCZ,A8的对应边是

AC的对应边是,N8的对应角是,4C4的对应角是.

17.抛物线)，=一(工+2『关于)，轴对称的抛物线的表达式为

三、解答题

18.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-gx+4与X轴、)，轴分别交于点A、点8,点。(0,-6)

在)'轴的负半轴上，若将△DM沿直线折登，点A恰好落在工轴正半釉上的点C处，直线CO交A8

(I)直接写出点A、B、C的坐标;

⑵求V4)E的面积.

19.阅读下面材料，并解决问题：

(1)如图①等边V/WC内有一点若点P到顶点A、B、C的距离分别为8,15,17,求NAP3的

度数.为了解决本题，我们可以将△A8P绕顶点A旋转到处，此时△43g“1/好，这样就可

以利用旋转变换，将三条线段/%、PB,转化到一个三角形中，从而求出“力-

(2)基本运用

请你利用第(1)题的解答思想方法，解答下面问题

已知如图②，V48C中，ZC4B=90°,AB=AC,E、尸为8C上的点且NE4/=45。，求证:

EF2=BE2+FC2;

（3）能力提升

如图③，在Rl/SABC中，ZAC«=90°,AC=\,ZABC=30°,点。为RlZ^AAC内一点，连接AO,

BO,CO,且Z4OC=NCOB=NAOA=120。，求04+08+00的值.

图①图②图③

20.已知，如图，尸是/AO8平分线上的一点，PC±OA,PDtOB,垂足分别为C,D.求证:

(\)OC=OD；

⑵OP是CQ的垂直平分线.

21.已知：如图，在四边形A8c。中，AC,4。互相平分于点O,ZAEC=ZBED=90°.求证四边

形A48是矩形.

22.如图，在矩形A8CO中，4B=3,BC=4,尸是边A。上一点，将AAEP沿着直线P8折叠，得到

AEBP.

（I）请在备用图上用没有刻度的直尺和圆规，在边A。上作出一点P,使8E平分NP8C；（作图要求:

保留作图痕迹，不写作法）

⑵连接。E，则。E的最小值为.（直接写出答案）

23.如图，点人、8分别在NMCW的边上，NMON的平分线0C与A3的垂直平分线交于点C,

8，。加于点£,CF工ON于点、F.

(2)若08=8,OE=6,求。4的长;

⑶求证：ZABC=ZAOC.

24.如图，己知：Z1=Z2,DA=DB,AC=^AB.求N4CD度数.

《第十五章轴对称》参考答案

题号12345678910

答案cDABDBCCAA

题号1112

答案AB

I.C

【分析】连接3尸，由菱形的性质得N84O40。，NBCF=NDCF=/BAC=40。,Z4BC=IOO0,由

线段垂直平分线的性质得人尸=为'则448/=/明。=40°,ZC5F=60°,由SAS可得

△3b名△7)€「得至|JNCD/\NC8/、6O。，由三角形的外角性质求出乙4田=100。，进而得到答案.

【详解】连接防，如图所示：

•••四边形A8CZ)是菱形，44£>=80°,

/./BAC=-ZBAD=40°,

2

AB=BC=DC,

/BCF=/DCF=ABAC=40°,

ZABC=180°-/BAD=100°

・・・E/是线段A8的垂宜平分线，

:.AF=BF,

ZAFE=900-ZBAC=50°

・••ZABF=Z£?AC=40°

，NCBF=ZABC-ZABF=6(?.

•・•在V8CT和△OC/中，

BC=DC

NBCF=/DCF

CF=CF

・•・ABCF冬ADCF(SAS)

••・4CDF=NCBF=3。

，ZAFD=zLCDF+Z.DCF=100°

，ZDFE=ZAFD+ZAFE=150°.

故选C.

【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的

性质、三角形的外角性质等知识点；熟练掌握菱形的性质、证明三角形全等是解题的关键.

2.D

【分析】由图2,可知8P=6,^ABP=\2,由图I翻折可知，AQ^BP,进而得出AQ=4,由公股定理，

可知BC=AB=5,菱形ABCD的面积为BC^AQ即可求出.

【详解】解：由图2,得8P=6,S^ABP=\2

・・・AQ=4

由翻折可知，AQVBP

由勾股定理，得8c=止"2+3?=5

・•・菱形ABCO的面积为8CxAQ=5x4=20

故选：D

【点睛】本题是一道几何变换综合题，解决本题主要用到勾股定理，翻折的性质，根据函数图象找出

几何图形中的对应关系是解决本题的关键.

3.A

【分析】将AAB尸绕点B逆时针旋转60°得至ijAB/E,连接PF,EC.PA+PB+PC=PC+PF+EF,

因为推出当P,/在直线EC上时，附+P8+尸。的值最小，求出EC的长跳可解决问

题.

【详解】解：将△回〃绕点3逆时针旋转60。得到连接PREC.

Ea

由旋转的性质可知：△尸B尸是等边三角形,

：,PB=PF,

PA=EF,

R\+PB+PC=PC+PF+EF,

*：PC+PF+EF>EC,

・••当P,尸在直线EC上时，用+P8+尸。的值最小，

由旋转可知：BC=BE=BA=3,ZCBE=ZABC+ZABE=90°,

:・EB工BC,

EC-5/2BC-3\/2»

:.出+PB+PC的最小值为3拉，

故选A.

【点睛】本题旋转变换，等边三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造

全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题.

4.B

【分析】如图所示，过点C作C/_Lx轴于F,先求出点C的坐标为（5,3）,然后根据每四次旋转

（即旋转360。）点C会回到初始位置.，可知当旋转2022次时相当F把点。绕原点顺时针旋转180°,

由此求解即可.

【详解】解：如图所示，过点C作Cb_Lx釉于忆

•.•04=08=2,N4OB=90。，

AZAOB=ZCFB=90°,NO胡=45°,AR=^OA2+OR2=?>??>

•・•四边形48CQ是矩形，

，NA8G90。，

JZFBC=45°,

/.ZFCB=45°=ZFBC,

:,FB二FC,

•/FB2+FC2=BC2，

’2朝=（3点

:・FB=FC=3,

：.OF=5,

，点C的坐标为（5,3）,

•・•将矩形48CO绕原点。顺时针每次旋转90。，

，每四次旋转（即旋转360。）点C会回到初始位置，

720224-4=505余2,

・•・当旋转2022次时相当于把点。绕原点顺时针旋转180°,

・•・此时C点的位置与初始位置关于原点对称，

・••第2022次旋转后点C的坐标是（-5,-3）,

故选B.

【点睛】本题主要考查了坐标与图形，点的坐标规律探索，关于原点对称的点的坐标特征，正确分析

出第2022此旋转后点C的位置是解题的关键.

5.D

【分析】根据作图的过程可知是线段A8的垂直平分线，利用垂直平分线的性质即可得到问题的

选项.

【详解】解：由题意可知，直线PO是线段力。的垂直平分线，所以可=心.

故选择：D

【点睛】本题考查了基本作图-作已知线段的垂直平分线以及考查了线段垂直平分线的性质：线段垂

直平分线上的点到线段两端点的距离线段.

6.B

【分析】三项相乘得0,那么至少有一项为0,从而判断至少有两条边相等，所以一定为等腰三角形.

【详解】•・・（〃-3。-。）（-）=0则相乘的三项中至少有一项为0.

.**a=0或。-c=0s£c-a=0

a=b^b=c或c=a

综上所述，三条边中至少有两条相等，所以△ABC一定为等腰三角形.

故选B.

【点睛】本题考查多项式乘法与三角形的结合，理解多项式相乘为0的性质和等腰等边三角形的性质

是解题关键.

7.C

【分析】本题主要考食了轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握两个成轴对称图形的性质.

【详解】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的片刻与10:51成轴对称，

所以此时实际时刻为10:51,

故选：C.

8.C

【分析】本题考查了角平分线性质、平行线性质、以及等角对等边的性质等，进行线段的等量代换是

正确解答本题的关键.

首先根据角平分线的性质得出=进而利用平行线的性质得出N£OC=NE6,即可得

出。£=£C进而求出即可.

【详解】解：:C。平分NACB交AB于。，

:.ZACD=ZDC8,

•/DE//BC,

：.ZEDC=ZDCB,

:"EDC=/ECD,

DE=EC=4cm,

,/AE=5cm,

/.AC=AE+EC=5+4=9（cm）.

故选：C.

9.A

【分析】根据轴对称图形的概念结合四种QQ表情图片的形状求解.

【详解】解：由轴对称图形的概念可知A是轴对称图形，B,C与。不是轴对称图形.

故选A.

【点睛】本题主要考查了轴对称图形的识别，解决本题的关键是要熟练掌握轴对称图形的定义.

10.A

【分析】根据轴对称图形的概念分别得出各选项的对称轴的条数，从而可得答案.

【详解】解：选项A有5条对称轴，

选项6有3条对称轴，

选项C有1条对称轴，

选项。有4条对称轴，

故选：A.

【点睛】本题考查了轴对称的概念，确定轴对称图形的对称轴的数量，掌握确定对称轴的方法是解题

的关键.

II.A

【分析】先求得NC加=60。，然后可判断&43c为等边三角形，从而可求得人。的长.

【详解】解：如图所示：连接AC.

•.•点B在点A的南偏西40。方向，点C在点B的北偏西20。方向，

.\ZCBA=60°.

又•.•3C=8A,

••・A4AC为等边三角形.

AC=BC=/\B=100海里.

【点睛】本题主要考查的是方向角、等边三角形的性质和判定，证得AA8C为等边三角形是解题的关

键.

12.B

【分析】由等边三角形的性质，中点的定义得到8C=A8=2AE,ZA=ZC=60°,结合DC=2Q4,

Af7AD1

得到空=把=」即可得到

C8CD2

【详解】解：・・・VABC是等边三角形，

/.BC=AB,ZA=ZC=60°,

丁点E是AB的中点，

:.BC=AB=2AE,

*/DC=2DAt

,AEAD\

••==,

CBCD2

*/ZA=ZC=60°,

・•・AAEDs^CBD.

故选:B.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定，等边三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定进

行判断.

13.5

【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键.根据

线段垂直平分线的性质得到E4=£B,GB=GC,然后根据三角形的周长公式计算，得到答案.

【详解】解：•.•小是A8边的垂直平分线，尸G是8c边的垂直平分线，

;.EA=EB,GB=GC,

•.•△3EG的周长为32,

:.GB+EB+GE=32,

：.EA+GC+GE=32f即AG-^GE+GC+GE=AC+2GE=32t

vAC=22,

.•.GE=（32-22）+2=5.

故答案为：5.

14.26

【分析】过。作。〃_L8。干从根据将平行四边形沿对角线8。折叠,使点C落在点C处.

CD

ZAEB=60°,可得NAO8=NCBD=NC8O=30。，在即△OC”中，即可得。"=於=石，在RsBHC

中，BC=2CH=28.

【详解】解：过。作CW_LB。于"，如图：

•・•将平行四边形43co沿对角线8。折叠，使点C落在点C处,

.\ZCBD=ZCBD,AD^BC,

/.ZAD8=ZCBD,

・•・NADB="BD,

：ZAEB=W=ZADI3+ZCBD,

：.NADB=NCBD=NCBD=30。,

在.M△DCH中,ZBDC=45°,CD=底,

CDnr

:.CH=^=J3,

在/?/△BHC中,ZHBC=30°,

:,BC=2CH=26,

故答案为：26.

【点睛】本题考查平行四边形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，能熟练应用含30。，45。

角的直角三角形三边关系.

15.2G

【分析】根据四边形/WCQ是平行四边形，可得AO〃8c.所以NC4O=NACB=90。.又乙4CE=90。，

可证明四边形ACE/)是矩形，得出/V)=CE=2,AF=EF,AE=CD.证明△是等边三角形，再根据

勾股定理即可求出8尸的长.

【详解】解：•・•四边形ABCQ是平行四边形，

・•・AD//BC,

JZCAD=ZACB=90°t

*：DE±BC,

：.ZACE=ZDEC=ZCAD=9()Q.

・•・四边形4cm是矩形，

：,AD=CE=2,AF=EF,AE=CD,

•・•四边形ABCD是平行四边形，

：,BC=AD=2,AB=CD,

：,AB=AEf

••・CE=BE=2,8E=4

又：/人8060。，

.••△ABE是等边三角形.

：,AF=EF=2,ZBFE=90°,

BF=yj/3E2-EF2=2y/3•

故答案为：2G

【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌

握正方形的判定与性质和等边三角形的判定与性质.

16.AADCADACNDZDCA

【分析】本题考杳翻折变换及全等三角形的相关概念，解题的关键是掌握翻折的性质及找全等三角形

对应边、角的方法.

根据翻折的性质解答即可.

【详解】解：若沿直线AC对折，V4BC与重合，则△ABWAAQC,的对应边是A。，AC

的对应边是八C,上〃的对应角是一。，NBC4的对应角是

故答案为：AA£>C,AD,AC,ND,ZDCA.

17.J—/

【详解】写出顶点关于y轴对称的点，把它作为所求抛物线的顶点，这样就可确定对称后抛物线的解

析式.

解：抛物线产-(x+2)2顶点坐标为(-2,0),其关于)，轴对称的点的坐标为(2,0),

V两抛物线关于y轴对称时形状不变，

，抛物线丁=-Cv+2)2关于y轴对称的抛物线的表达式为)=-(x-2)2.

故答案为：y=~(厂2)2.

【点睛】本题考查了抛物线关于坐标轴对称的抛物线解析式求法.类似于点关于坐标轴对称的坐标求

法，关于x轴对称，点横坐标不变，纵坐标变为相反数，关于y轴对称，点横坐标变为相反数，纵坐

标不变.

18.(1)点月的坐标为(3,0),点4的坐标为(0,4)，点C的坐标为(8,0)

⑵S»DE=9

【分析】(I)利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点4以再利用勾股定理可求得八以根据

折叠的性质可得AG44即可得OC的长度，进而可得C点的坐标.

(2)根据翻折的性质，可得;NC,NBOA=NAOC,进而可得/AOD=NAED,可证得

△AODWXAED,故所求AAD£的面积即为求AAO。的面积，即可得解.

4

【详解】⑴解：由题意，直线y=-§x+4与大轴、》轴分别交于点A,B,

令x=o,得y=4,

•••点3的坐标为(0.4),

令)，=0,得x=3,

二点A的坐标为(3,0),

OB=4,OA=3,

/.A5=742+32=5»

•••将△D48沿直线AO折叠，点8恰好落在x轴正半轴上的点C处，

即AC=A5=5,

.•.OC=5+3=8,

二•点C的坐标为(8.0).

(2)解；山翻折的性质可得，N3=NC,/BDA=ZADC,

ZBAO=^CAE,

:.ZAOB=ZAEC=90°,

:.ZAOD=ZAED,

AD=AD♦

.△AODgaA£Q(A4S),

•••点。(0,-6),

/.OD=6,

•，•SAADE=SAAOD=-X3X6=9.

【点睛】本题考查一次函数的图象与性质、勾股定理，翻折的性质以及全等三角形的判定与性质.

19.(1)150°；(2)见解析；(3)不

【分析】(1)根据全等三角形的性质及等边三角形的判定及性质得出△4/>/>'为等边三角形，再根据

等边三角形的性质得出尸P=AP=8,Z4^P=60°,然后利用勾股定理的逆定理得出N"C=90。，

最后根据角的和差即可得出答案；

(2)把44瓦:绕点A逆时针旋转90。得到AACE,连接EF,由旋转的性质得出A£=4E,CE=BE,

NC4£=NB4E,ZACE=NB,ZE4£*=90°,再利用SAS证明△外尸乌△人/,然后根据全等三

角形的性质及勾股定理即可得证：

(3)根据勾股定理求出8C的值，将VAO8绕点8顺时针旋转60。，得到△A'O'B,连接0(7,根据旋

转的性质得出Z/r3C=ZA8C+600=30o+600=90。，AO=A,O,,BO=BO',A8=AB',=60。，

即可得出△80。是等边三角形，再根据等边三角形的性质结合角的和差得出C、0、4、。四点共

线，然后根据勾股定理及等量代换即可得出答案.

【详解】(I)•••△AC^^ABP

.•.AP=AP=8,CP=BP=15,ZAPC=ZAPB,^BAP=/CAP,

•.•△ABC为等边三角形

/.ZBAC=60°

即ZBAP+ZPAC=(^°

ZPAP=ZPAC+NC4P=60。

.♦.△A"'为等边三角形

.•.pp=AP=8,/4^^=60°

P'P?+^2=82+152=172=PC2

.•.△”'C为直角三角形，且NPPC=90。

/.ZAPB=ZAPC=ZAPP+NPPC=60°+90°=150°

（2）证明：如图，把△然£：绕点A逆时针旋转90。得到△ACE',连接£尸,

由旋转的性质得AE'=AE,CE=BE,NCAE=NBAE,/LACE!=ZB,ZE4£*=90°

ZE4F=45°

NEAF=NEAE'-NEAF=90°—45°=45°

:.^EAF=^EAF

在△以尸和AEA厂中

AE=AEl

<ZEAF=ZE'AF

AF=AF

/

.•.△E4F^AEAF(SAS)

/.E!F=EF

VZC4«=90°,AB=AC

.•.N8=Z4CB=90。

.•.zrCF=450+45°=90°

由勾股定理得，ET2=CE,2+FC2

即EF2=BE2+FC2;

(3)•.•在RtaABC中，ZACB=90°,AC=1,ZACB=30c

.-.AB=2,

/.BC=>IAB2AC2=G

如图，将VAOB绕点。顺时针旋转60。，得到“VOB,连接。。

/.ZABC=ZABC+60°=30°+60°=90°,AO=Af(7,BO=B。，AB=AB,,

NOB。=60°

.•・△区。。是等边三角形

BO=O(y,/BOO=/BOO=60°

•/ZAOC=NCOB=^BOA=120°

/.Z.COB+Z.BOO=Z.BOA+/BOO=120°+60°=180°

.•・c、0、4、。'四点共线

在RLABC中，A!C=VfiC2+AfB2=J(73)'+22=V7

:.OA+OB+OC=A,O,+OOf+OC=A,C=>f7.

【点睛】本题考杳了旋转的综合题，涉及到全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、旋

转的性质以及勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键.

20.⑴见解析

⑵见解析

【分析】木题考查全等二角形判定与件质、线段垂直平分线的判定、角平分线的性质，熟练掌握角平

分线的性质和线段垂直平分线的判定是解答的关键.

(1)先根据角平分线的性质得到PC=P。，再证明Rt"CgRLPDO(HL),利用全等三角形的对■

应边相等即可证得结论；

(2)利用线段垂直平分线的判定可得结论.

【详解】(1)证明：•・•/>是/4O8平分线上的一点，PC±OA,PD工OB,

/.PC=PD,NPCO=NPDO=90。，又OP=OP,

・•・Rt"CgRt△产力0HL),

：,OC=OD；

(2)证明：VOC=ODtPC=PD,

・••点。、。在线段CO的垂直平分线上，

即OP是。。的垂直平分线；

21.证明见解析.

【分析】先证明四边形ABC。是平行四边形，如图，连接再利用直角三角形斜边.卜•的中线等于

斜边的一半证明AC=BD,从而可得结论.

【详解】证明：如图，连接。旦

•••AC.互相平分于点O,

/.OA—OC,OB=OD,

■■四边形ABC。是平行四边形，

E

•••ZAEC=NBED=900,

:.OE=-BD=-AC

221

AC=BD,

••・四边形48C。是矩形.

【点睛】本题考查的是平行四边形的判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，矩形的判定,

连接证明AC=BO是解本题的关键.

22.⑴见解析

（2）2

【分析】（I）作等边VA8EN8G/，连接BG并延长交人。于P即可；

（2）由点E在圆4上运动，且8七为定值，当BE+OE最小时，。石有最小值，即当8,E,。三点共

线时，OE最小，进而可以解决问题.

【详解】（1）解.：如图，以点B为圆心，BA长为半径画弧交BC于点片分别以点A,尸为圆心,

AB长为半径画弧交弧4尸于点G,E,连接8G并延长交A。于点P,点尸即为所求；

（2）;△AB〉与△EBP关于BC成轴对称,

：.BE=BA=3,

・••点E在圆8上运动，且BE为定值，

・••当8E+OE最小时，QE有最小值，即当B,E,。三点共线时，QE最小,

连接B。，根据勾股定理，得：8D=JBC^+CD2="+加=5.

:,DE=BD-BE=5-3=2,

..・。巴.的最小值是2.

故答案为：2.

【点睛】本题考查了作图-基本作图，等边三角形的性质，勾股定理的应用，矩形的性质，翻折变换，

圆的基本性质，解决本题的关犍是掌握基本作图方法.

23.⑴见解析

⑵4

(3)见解析

【分析】此题重点考查角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、四边

形的内角和等于360。、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明

及△COE^ACOF是解题的关键.

(1)由线段的垂直平分线的性质得AC=8C,由OC平分线"ON,