实数 压轴题（10大题型）解析版-2024八年级数学上册（沪教版）

实数压轴题（10大题型）

题型归纳

题型一：立方根的性质

题型二：算术平方根、立方根小数点移动问题

题型三：算术平方根规律题

题型四：反证法证明无理数

题型五：程序框图题

题型六：无理数的整数部分与小数部分

题型七：实数与数轴

题型八：正方形的裁剪拼接与无理数的表示（中考新方向思想培养）

题型九：新定义题

题型十：材料阅读题

题型一：立方根的性质

1.已知必+1-2x-1=0,plljx=.

【答案】。或-1或-g

【分析】将原方程变形得到疡石=2x+l,根据•个数的立方根等于它本身得到这个数是。或1或-1,由

此化成一元一次方程，解方程即可得到答案.

【详解】♦••出+1-2x-1=0,

二#2x+1=2x+l,

•••2x+l=l或2x+l=-1或2x+l=0,

解得x=0或x=-1或x=-g.

故答案为：0或-1或-£.

【点睛】此题考查立方根的性质，解一元一次方程，由立方根的性质得到方程是解题的关键.

2.有这样一道题目：“已知疟T=x-1，求x的值.〃甲、乙二人的说法如下，则下列判断正确的是（）

甲：x的值是1：

乙：甲考虑的不全面，X还有另一个值

A.甲说的对，x的值就是1B.乙说的对，x的另一个值是2

C.乙说的对，x的另一个值是-1D.两人都不对，x应有3个不同值

【答案】D

【分析】根据立方根的性质进行计算即可.

【详解】解：•••夜二？二"1,

二工-1=±1或*-1=0,

当戈一1=1时，x=2；

当x-l=-l时，x=0：

当％—1=0时，x=l；

即工有3个不同的值，故两人说法都不对；

故选：D.

【点睛】本题考查了立方根的性质，熟练掌握立方根的性质是解题的关键.

3.已知加[5+2=X,且两口与归五互为相反数，求-y的值.

24

【答案】X=3,y=2,或者x=l,y=-,或者x=2,y=-

【分析】将等式用i+2=》变型为疟1='-2,再两边同时立方，得至Ux-2=(x-2):再采用因式分

解法求出x的值，再根据相反数的定义求出y的值，问题随之解得.

【详解】GI+2=X,

y/x-2=x-2-

x-2=(x-2)',

(X-2)3-(X-2)=0,

[(A-2)2-1](X-2)=0,

(x-2-l)(x-2+l)(x-2)=0

(x-3)(x-l)(x-2)=0,

.,•x-3=0,或者x-l=O,或者x-2=0,

..x=3,或者x=l,或者x=2,

河3y-1与#l-2x,

:.小y-l+>jl-2x=0,

:闻3y7,

3y-l=2x-l,

当i=3时，y=2,

2

当x=i时，y-->

J

4

当工=2时，y=§，

24

即i=3,y=2,或者工=1,y=-,或者工=2,y=-.

【点睛】本题主要考查了采用因式分解法解方程，相反数的定义，江方根的性质等知识，求出x=3,或者

x=l,或者x=2,是解答本题的关健.

题型二：算术平方根、立方根小数点移动问题

4.完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解;夬问题.

X•••0.0640.6464640064000•••

・・・0.252980.88m252.98・・・

…0.40.8618n18.56640•••

⑴表格中的〃，二

（2）已知而=3.873,疝b1.22474,估计折布和疝疗的值；（结果保留四位小数）

⑶若右。14/421,师估i"+力的值.（参考数据：

V2«1.41421,V20«4.4721,V7»1.9129,\/0?0.88790）.（结果保留四位小数）

【答案】⑴80,4

⑵12.2474,0.3873

（3）208.8790

【分析】本题考查了算术平方根，立方根的计算，及其规律的发现，熟练掌握计算方法和规律是解题的关

键.

（1）根据算术平方根的意义计算，根据立方根的规律求解.

（2）根据表格得出算术平方根的规律，即可求解.

（3）根据（2）中规律求出m根据表格得出立方根的规律，然后求出6,即可求解.

【详解】（1）解:q洋=6400,

•••76400=80，

:.m=80,

••-4-=64,

.•・痫=4,

二〃二4,

故答案为：80,4；

（2）解：从表格数字中可以发现：开算术平方根时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动两位，它的

故答案为:故25；0,3873；

（3）小=1，71000=10.V1000000=100,.

小数点的变化规律是：被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位;

（4）•.•厢a2.154,盯方-0.21乂，

a0.2154,

»-0.2154.

.*.y=-U.Ul.

【点睛】此题考查了立方根，以及算术平方根，弄清题中的规律是解本题的关键.

题型三：算术平方根规律题

6.观察下列各式：

后=/=再=2,即R=2.

£=舟牌*舟即yp^二3舟那么念=一♦

【答案】〃二.

【分析】根据已知等式，可以得出规律，猜想出第n个等式，写出推导过程即可.

【详解】解：

V/?•+1+1

故答案为：〃石弓.

【点睛】此题主要考查了平方根的性质，利用已知得出数字之间的规律是解决问题的关键.

7.请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：①"；②彳百；③1万万：④«+2、33+43，

观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值Jr+23+33+…+26，=.

【答案】351

【分析】先计算题干中四个简单式子，算出结果，找出规律，根据规律得出最后式子的值.

【详解】#=1

V13+2S+33=6

>/13+23+33+43=10

发现规律：J1'+2、+3、+…+n>=1+2+3++n

•.J]+23+33+...+263=1+2+3-■-4-26=351

故答案为；351

【点睛】本题考查找规律，解题关健是先计算题干中的4个简单算式，得出规律后再进行复杂算式的求解.

题型四：反证法证明无理数

8.【阅读理解】公元前5世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数应，导致了第一次数

学危机.

定义：可以表示为两个互素整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看做分母为1的有理数；反之为无

理数.如0不能表示为两个互素的整数的商，所以无是无理数.可以这样证明：

设及。与〃是互素的两个整数，.且人工（），

b

贝1」2=/，即〃2=①.

因为人是整数且不为0,

所以4是不为0的偶数.

设。=2〃（〃是整数，且〃工0）,则/=4/.

所以万=②.

所以b也是偶数，与〃是互素的整数矛盾.

所以及是无理数.

【解决问题】

⑴写出①，②表示的代数式，使证明过程完整；

⑵证明：正是无理数.

【答案】（1）①2〃；②2/

⑵见解析

【分析】本题主要考查了无理数的概念，解题的关键是根据所给事例模仿去做，做到举一反三.

（1）根据等式性质得出结论即可；

（2）类比四是无理数的证明进行证明即可.

【详解】⑴解：设&=g。与人是互素的两个整数，且30，

b

则2=%

即/=2b2.

因为〃是整数且不为0,

所以。是不为0的偶数.

设0=2〃（〃是整数，且〃工0）,

则a2=4/72.

所以h1=2/?2.

所以人也是偶数，与a,b是互素的整数矛盾.

所以血是无理数.

（2）设布=：,a与〃是互素的两个整数，且〃/0,则6=^，

bb-

所以a。凡

.:a，方是整数且不为0,

“为6的倍数.

设a=6〃（〃是整数），

•*-a,=216〃'，

・3=36/,

M也是6的倍数，与。与。是互素的整数矛盾•，

荽是无理数.

9.【阅读理解】

定义：可以表示为两个互素整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看作分母为1的有理数；反之为无

理数.如拒不能表示为两个互索•（没有相同的因数）的整数的司，所以正是无理数.可以这样证明：

解：设&=：，〃与〃是互素的两个整数，且

b

“是整数且不为0,

是2的倍数.

设a=2〃（〃是整数，且〃工0）,

则a~=4/72.

；•〃=②，

•••6也是2的倍数，与〃，是互素的整数矛盾.

.•.正是无理数.

【解决问题】

⑴写出①，②表示的代数式，使证明过程完整；

①：②

⑵证明：石是无理数.

【答案】⑴①2〃；②2/

（2）证明见解析

【分析】考查了无理数的概念，解题的关键是根据所给事例模仿去做，做到举一反三.

（1）根据等式性质得出结论即可；

（2）类比血是无理数的证明进行证明即可.

【详解】（1）解：设&=f，。与b是互素的两个整数，且人工0,

即”~=2h2.

因为b是整数且不为0,

所以。是不为0的偶数.

设a=2〃（〃是整数，且〃WO）,

贝=4/.

所以〃=2〃~.

所以匕也是偶数，与。，人是互索的整数矛盾.

所以正是无理数.

故答案为：2b：In2.

（2）设=f,〃与力是互素的两个整数，且力八），则3=」.

bb~

所以a2=3b2f

•••a，匕是整数且不为0,

・”为3的倍数.

设a=3〃（〃是整数），

••b2—3〃~，

・•力也是3的倍数，与。与b是互索的整数矛盾,

「•豆是无理数.

10.【阅读理解】

定义：可以表示为两个互素整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看做分母为1的有理数；反之为无

理数.如正不能表示为两个互素的整数的商，所以正是无理教.可以这样证明：

设拉=*,。与方是互素的两个整数，且6=0,

b

则2=:

b-

即/一①

因为〃是整数且不为0,

所以4是不为0的偶数.

设。=2〃（〃是整数，且〃=0）,

则a2=4/?2.

所以/〜②—

所以/）也是偶数，与a,b是互素的整数矛盾.

所以正是无理数.

【解决问题】

⑴写出①，②表示的代数式，使证明过程完整；

⑵证明：正是无理数，

【答案】（1）①表示的代数式2〃；②表示的代数式2/

⑵证明见解析

【分析1考查了无理数的概念，解题的关键是根据所给事例模仿去做，做到举一反三.

（1）根据等式性质得出结论即可；

（2）类比正是无理数的证明进行证明即可.

【详解】（1）解：设拒=：，。与8是互素的两个整数，目/工0，

b

则4

即『=2乩

因为人是整数且不为0,

所以。是不为。的偶数.

设。=2〃（〃是整数，且"0）,

则a1=4/?2.

所以〃=2".

所以〃也是偶数，与。，6是互素的整数矛盾.

所以正是无理数.

（2）设币=：,。与6是互素的两个整数，且人工0,则7=与，

bb~

所以/=7/，

•:a,〃是整数且不为0,

为7的倍数.

设a=7〃（〃是整数），

-,-b:=7/r,

此也是7的倍数，与。与人是互素的整数矛盾，

正是无理数.

11.在数学课本中，运用反证法说明"正是一个无理数”，请模仿这种方法，说明血+6是无理数.

阅读材料：

“无理数〃的由来

为什么应不可能是一个有理数？现在我们用代数方法来解答这个问题.

假设及是一个有理数，那么可以得到&二:，其中。、〃是整数且。、力互素且8H0,这时，就有:

b

于是。2=2万,则。是2的倍数.

再设a=2〃?，其中〃?是整数，就有：（2〃。2=2〃，

也就是：b2=2m\

所以/）也是2的倍数，可见〃、6不是互素数，与前面所假设的。与方互素相矛盾，因此&不可能是一个

有理数.

解：假设加+石是一个有理数.

则拉+6=£（。、力是整数且〃、力互素且力40）,

b

则、石=972,

b

两边同时平方得：,

所以：2V2-=f-f-l,可得：2>/2=~--,

所以：V2=，

因为：，

所以：近+6是一个无理数.

【答案】3=仕1-2&且+2；为有理数，:一2必为有理数，而&为无理数，与前面所

设矛盾

【分析】仿照题干方法进行证明即可.

【详解】假设五+G是一个有理数.

则拉+6=£（0、方是整数且小。互素且6工0）,

b

则后=;一伉

b

两边同时平方得：3=⑶二2加巴+2,

\b）b

所以：2&g=（@］一1,可得：272=^--,

b{bJba

因为：为有理数，必为有理数，而正为无理数，与前面所设矛盾，

baba

所以：及+百是一个无理数.

【点睛】本题考查了无理数的证明，能够理解并运用题干的反证法是解题的关键.

题型五：程序框图题

⑴当输入的x为36时，输出的），的值是；

⑵若输入x值后，始终输不出y的值，则满足题意的x值是；

⑶若输出的》>2,则X的最小整数值是.

【答案】（1）6

（2）0和1

（3）5

【分析】本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断，

（1）根据运算规则即可求解；

<2）根据。的算术平方根是0,1的算术平方根是1即可判断；

（3）先得出输入的x>4,,再根据运算法则，进行逆运算即可求解.

【详解】（1）解•：当x=36时，取算术平方根病=6,不是无理数，

继续取6算术平方根指,是无理数，

所以输出的》值为逐；

故答案为：巫;

（2）解：当x=0,1时，始终输入出）值.因为。的算术平方根是0,1的算术平方根是1,•定是有理数;

故答案为：0,1；

⑶••・输出的y>2,

>4,

二输入的x>4,

当工=5时，5的算术平方根是”.是无理数，

所以输出的p值为6，

•••x的最小整数值是5.

13.如图所示的是一个无理数筛选器的工作流程图，根据下面叙述回答相关问题.

（1）当x为8时，歹的值为.

（2）当输出的），值是正时，输入的x值唯一吗？若不唯一，请写出其中两个输入的x值.

⑶是否存在输入某个x值后，却妗终输不出），值？如果存在，写出所有满足要求的x值；如果不存在，请

说明理由.

【答案】（1）蚯

（2）工的值不唯•,x=3或x=27

⑶存在，1,0,或-1

【分析】（1）根据运算的定义即可直接求解；

（2）立方根逆运算即可.

（3）始终输不出y值，则x的任何次方根都是有理数，则只有1,0,或-L

【详解】（1）圾=2,

则「=次;

（2）答案不唯一.

X=（#）3=3或x=（（抬）3）3=27.

故答案是3或27.

（3）当输入的x=-l、。和1时，取它们的立方根始终是-1、。和1,是有理数，

•••输入的产」、。和1时，始终输不出y值

【点睛】本题考查立方根以及无理数，正确理解题目中规定的运算是解题的关键.

题型六：无理数的整数部分与小数部分

14.阅读下而的文字，解答问题：

我们规定：用国表示实数x的整数部分，用（x）表示实数x的小数部分，例如[3.14]=3,（3.14）=0.14,[&]=1,

大家知道正是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此近的小数部分我们不可能全部地写出来，但是

由于所以收的整数部分为1，将④减去其整数部分1，所得的基就是共小数部分近-1，即

（0）=&-1根据以上的内容，解答下面的问题：

(1)|V5+1]=,(V5+l)=：

(2)如果(百)=a,[d]=8,求a+人-6的平方根.

【答案】⑴3；45-2

(2)±2

【分析】(1)分别根据无理数的大小写出整数部分和小数部分即可；

(2)根据无理数的大小得出结论即可.

【详解】(1)解：即2＜6＜3，

••・&的整数部分为2,后的小数部分为宕-2,

[y[s+1]=3,(逐+1)=布-2；

(2)解：2VA3,

.­.(75)=75-2,

a=＞/5-2,

乂•♦6＜历＜7，

二[7?1]=6,b=6,

•'-a+6-石=6-2+6-后=4,

•••4的平方根是±2,

：.a+b-册的平方根是±2.

【点睛】本题主要考查无理数大小的估算，熟练掌握无理数大小的估算方法及平方根的计算是解题的关键.

15.阅读下面文字，然后回答问题.大家知道&是无理数，而无埋数是无限不循环小数，所以&的小数

部分不可能全部写出来，由于近的整数部分是1,将近减去它的整数部分，差就是它的小数部分，因此拒

的小数部分可用a-1表示，由此我们得到一个真命题：如果&=x+y,其中x是整数，且那

么x=l,y=1.请解答下歹响题：

(1)如果而=。+5，其中。是整数，月.0〈人＜1,那么。=_,b=_.

⑵如果-痴=c+d，其中。是整数，且那么c=_,d=_.

(3)已知2-=十〃，其中〃7是整数，且求M-〃|的值.

【答案】⑴2,V6-2;

⑵-3,3-瓜;

(3)4-76

【分析】(1)估算出2＜逐＜3,据此即可确定出a、b的值；

(2)估算出-3(-指＜-2,据此即可确定出。、人的值；

(3)先估算出-172-&＜0,确定〃?、〃的值，代入计算即可得到答案.

【详解】（1）解：♦.•#"+b，其中。是整数，且0<b<l,

又•「2<木<3,

「.4=2,b—y/b—2»

故答案为：2,瓜—2:

⑵解：其中C是整数，且0<dvl,

又门〈木<3,

/.-3<—Jb<_2>

c=-3♦d=3-V6，

故答案为：-3,3-5/6：

(3)解：,,,—3<—\/6<—2>

—1<2—y/6<0,

<2-瓜=m+n,其中m是整数，且Ov〃vl,

二.1"=-1,11=3—>/6，

-1-3+甸=|-4+囤=4-6

|桁-〃|的值为4-C.

【点睛】本题考查了估算无理数的大小，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题.

题型七：实数与数轴

16.如图，己知正方形44co的边长为后.

⑴有4x4的网格，每个方格的边长为1,把正方形川气?。画在网格中，要求顶点在格点上.

（2）如图，把正方形力8co放到数轴上，使得点/I与数-1重合，边力。在数轴上，那么点。数轴上表示的数

为.

⑶在（2）的条件下，如果“和力分别表示点。对应的无理数的整数部分和小数部分，求以-〃的值.

【答案】（1）图见详解

⑵-1-底

⑶-5+6

【分析】（1）根据勾股定理4^=石，即可找到相应的格点.，即可得到答案;

（2）根据数轴上点表示的数字及点到原点距离关系直接求解，即可得到答案;

（3）根据夹逼法得到点。表示数字的范围得到。和瓦即可得到答案.

【详解】（1）解：根据勾股定理可得,

亚丁:5

二正方形"CD在网格中的图如卜图，

心A：

31II

（2）解：•••点力与数-1重合，边40在数轴上，边长为。，

.•.点。表示的数为：一1一下;

故答案为：-1-A/5;

（3）解：•••4<6<折

-3<-y/s<-2,

—4<—1-,y/s<-3,

”和b分别表示点D对应的无理数的整数部分和小数部分，

a=-3,b=-1—5/5—（—3）=2—\5,

:.a-b=-2-（3—V5j=-5+5/5.

【点睛】本题考查勾股定理，数轴卜.数的表示，无理数小数部分及整数部分计算，解题的关键是找到点。

代表的数字.

17.如图①，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方

形.由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法.

图④

（1）图②中A、8两点表示的数分别为,

（2）请你参照上面的方法:

把图③中5x1的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形.在图③中画出裁剪线，并在图④的正方形网格中

画出拼成的大正方形，该正方形的边长。=.（注：小正方形边长都为1,拼接不重叠也无空隙）

【答案】（1）-V2,V2,（2）图见解析，V5.

【分析】（1）根据图①得出小正方形对角线长即可；

（2）根据长方形面积即可得出正方形面积，从而求出正方形边长；

【详解】解：（1）设边长为1的小正方形沿对角线长为x,由图①得：X2=2,

二对角线为工=也，

二图②中A、H两点表示的数分别-0,0,

故答案为：-夜,加，

（2）•・•长方形面积为5,

正方形边长为石，如图所示：

、、、

、*、

、、、

图③

故答案为：石.

【点睛】本题考查无理数的表示方法，解题的关键是理解题意，模仿题目中给出的解题方法进行求解.

18.下面是小敏写的数学日记的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务.

2023年9月22日天气：晴

无理数与线段长.

今天我们借助勾股定理，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，认识了“数轴上的点与实数一一对应”

这一事实.

【叫顷梳理：要在数轴上找到表示士拉的点，关键是在数轴上构造线段。1=OW=0.如图1,正方形的边

长为1个单位长度，以原点。为圆心，对角线长为半径画弧与数轴上分别交于点4H,则点力对应的数

为拉，点H对应的数为-JI.

类似地，我们可以在数轴上找到表示±退，土痴，...的点.

拓展思考：如图2,改变图1中正方形的位置，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段08与。"，其

中。仍在原点，点从9分别在原点的右侧、左侧，可由线段。8与。*的长得到点儿"所表示的无理数!

按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数釉上找到无理数对应的点！

图1图2

任务:

⑴在图3中画图确定表示布的点M.

-5-4-3-2-1012345

图3

(2)把5个小正方形按图中位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正方形.请在图中画出裁剪线，并在图4

中画出所拼得的大正方形的示意图.

图4

⑶小丽想用一块面枳为36cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面枳为20cm2的长方形纸片如图5,使

它的长是宽的2倍.小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请你通过计算说明理由.

><8

⑷在图6中的数轴上分别标出表示数-0.5以及—3+班的点，并比较它们的大小.

-5-4-3-2-1012345

图6

【答案】⑴见解析

(2)见解析

⑶不能，理由见解析

⑷数轴见解析，-3+石<-0.5

【分析】(1)由10=9+1,可作出单位长度以3和1为长和宽的矩形，其对角线即是而，然后以原点为圆

心，以J而为半径画弧，即可解答；

(2)设1个小正方形的面积为1,则5个小正方形的面积为5,即所拼成的大正方形的边长为石，进而即

可画出裁剪线和所拼得的大正方形；

（3）由题意可求出正方形纸片的边长为6cm.设长方形纸片的宽为xcm,则长为2xcm,则可列出关于x

的〃程，再利用平方根解方程，即得出长方形纸片的长为2而cm,最后比较即可；

⑷由5=4+1,可作出单位长度以2和1为长和宽的矩形，其对角线即是有，然后以表示-3的点为圆心,

以石为半径画弧，与数轴右侧的交点即为-3+6.再画出表示-0.5的点，根据数轴的性质比较即可.

理由：由题意可知这个面积为36cm2的正方形纸片的边长为6cm,

设面积为20cn?的长方形纸片的宽为疣m,则长为2xcm,

•••x-2x=20,

解得：x=（舍去负值），

•••长方形纸片的长为2限m.

•••2布＞6,

二小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片；

（4）解：在数轴上表示数-0.5和—3+6的点如图，

【点睛】本题主要考查勾股定理，数轴和利用平方根解方程.利用数形结合的思想是解题关键.

19.教材中，如图1,把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起,

就可以得到一个面积为2的大正方形，它的边长是无理数近.由此启发，我们可以尝试川两个同样大小的

长方形拼出一个正方形的方式找出其他无理数的大小.

-4-3-2-101234

图3

如图2,将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有

一个镂空小正方形的大正方形.

⑴所得到的小正方形的边长为；大正方形/4C、。的边长为.

⑵把图2中的正方形力8。放在数轴上，如图3,点C表示的数为1,若正方形48co从当前状态沿数轴正

方问翻滚，我们把点8翻滚到数轴上的点P时，记为第一次翻滚，点力翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚,

以此类推.是否存在正整数〃.使得该正方形经过〃次翻滚后，其顶点4B,C,。中的某个点与数轴上的

2025重合？

【答案】（1）1;历

（2）不存在

【分析】本题考查了算术平方根的应用，掌握等面积法是掌握算术平方根和无理数的意义.

（1）根据图形可求出小正方形EFG〃的边长；根据大正方形的面积=4个直角三角形的面积+小正方形的面

积求出大正方形的面积，进而可求出大正方形45CO的边长：

（2）判断2025-1是否是正方形边长的整数倍，即可得出结论.

【详解】（1）由题意得：所得到的小正方形EFG”的边长为：3-2=1；

大正方形力3CQ的面积为：4xlx3x2+l2=13,边长为历；

故答案为：1：J13:

（2）解：不存在.

理由：假设存在正整数〃，则〃x7i5+l=2025，

713/?=2024.

亚二些，

n

•・•〃为正整数,

・••竺丝为有理数，而为无理数，

n

..•上式等号不成立.即不存在正整数〃.

题型八：正方形的裁剪拼接与无理数的表示（中考新方向思想培养）

20.（1）如图①，由五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开，拼成一个正方形•这个正

方形的面积为，边长为.

（2）如图②，你能把由十个边长为1的正方形组成的图形纸剪开，并拼成正方形吗？请仿照二题用虚线在

图②中画出拼成的正方形，并求得它的边长为.

（3）请仿照上题，在图③中画出边长为用的正方形.

可翻用林B

图①图②图③

【答案】（1）5,75;（2）见解析，V10;（3）见解析

【分析】本题考查了更杂作图，掌握勾股定理及正方形的面枳公式是解题的关键.

（1）根据拼图面积不变及正方形的面积公式求解；

（2）仿照（1）先作边长线段，再作正方形；

（3）仿照（2）作图.

【详解】解；（1）由五个边长为1的小正方形组成的图形纸，

・•・这个正方形的面积为5,边长为石，

故答案为：5,加；

⑵由正寿=而

图②

由十个边长为1的正方形组成的图形纸

・•.这个正方形的面积为10,它的边长为加，

故答案为：Vio：

（3）---722+52=>/29

二如图③所示，正方形48CZ）即为所求.

图③

21.阅读材料,并完成下列问题：

寻找无理数：小明把两个面积为1的小正方形（图1①）分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼

成一个面积为2的大正方形（图1②），从而找到无理数行.问题再发现：

⑴小刚受到小明的启发,把图2①剪拼成图2②后，找到无理数逐，请你在图2①中画出裁剪线（用实

线）;

（2）参考小明、小刚的作法，请你将图3中长为5,宽为2的长方形裁剪成若干块，拼成一•个正方形;

①求该正方形的边长；

②请在图3中画出一种满足条件的裁剪线（用实线）.

【答案】（1）见解析

⑵①标；②见解析

【分析】本题考查无理数的表示方法，勾股定理和无理数，解题的关键是理解题意，模仿题目中给出的解

题方法进行求解.

（1）根据『+22=（不/求解即可：

（2）①首先根据题意得到拼成的正方形的面积为10,进而求解即可:

②根据尸+32=（布『求解即可.

【洋解】（1）如图所示，

（2）①•.•长为5,宽为2的长方形的面积为5x2=10

.♦.拼成的正方形的面积为10

二该正方形的边长为布；

②如图所示.

22.【问题发现】（1）如图1,把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼

在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为，大正方形的边长为.

【知识迁移】（2）爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形.如图2,将

两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空

小正方形的大正方形，所得到的小正方形〃的边长为;大正方形力8。。的面积为；

边长为.

【拓展延伸】（3）小明想用一块面积为900cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为740cm2的长

方形纸片，使它的长与宽之比为5：4.请通过计算说明是否可行.

【答案】（1）2,V2:（2）1,13,J万；（3）不可行，理由见详解

【分析】本题考查了算术平方根的应用，解题的关键是掌握正方形和长方形的面积计算方法以及算术平方

根.

（1）根据大正方形的面积=2个小正方形的面积和，即可得解；

（2）根据大正方形的面积=4个直角三角形的面积+小正方形的面积即可解答；

（3）设截出的长方形纸片的长为5比小，宽为4xcm,根据题意列出方程，计算即可解答.

【详解】解：（1）由题意得：所得到的大正方形面积为1+1=2,边长为应；

（2）由题意得:所得到的小正方形EFG”的边长为：3-2=1；大正方形488的面积为：4xgx3x2+F=i3：

边长为JF：

（3）不可行，理由如下：

设截出的长方形纸片的长为5xcm，宽为4xcm,

则5x-4x=740,

••x=V37（负值舍去）,

•••截出的长方形纸片的长为5y/y7citi=J925cm>30cm，

••・不能用•块面积为900cm?的正方形纸片，沿着边的方向裁出♦块面积为740c/的长方形纸片，使它的长

与究之比为5:4.

23.数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用〃个面积为l（dm?）的小正方形纸片剪拼成一个面积为

的大正方形.下面是他们探究的部分结果：

⑴如图1,当〃=2时，拼成的大正方形48CO的边长为

如图2,当〃=5时，拼成的大正方形481GA的边长为

如图3,当〃=10时,拼成的大正方形462GA的边长为

（2）小李想沿着正方形纸片44G"边的方向能否裁出一块面积为2.42®m2）的长方形纸片，使它的长宽之比

为2:1?他能裁出吗？请说明理由.

⑶小周想沿着正方形纸片4&G2边的方向能否裁出一块面积为4.86（dm?）的长方形纸片，使它的长宽之

比为3：2,且要求长方形的四周至少留出0.3疝?的边框？若能，请给出一种合适的裁剪方案；若不能，请说

明理由.

【答案】⑴&dm;石dm；Vwdm

⑵能，见解析

⑶不能，见解析

【分析】（1）①先得出〃=2时图形的面枳，然后根据正方形的性质，求得边长；②先得出〃=5时图形的

面积，然后根据正方形的性质，求得边长；③先得出〃=10时图形的面积，然后根据正方形的性质，求得

边长；

（2）假设可行，设长方形的长宽分别为2%和4,则根据面积可求得》的值，发现2%的值比正方形的边长

小，故可能；

（3）假设可行，设长方形的长宽分别为3x和2x,则根据面积可求得x的值，3x=2.7,发现加边框后的长

至少要2.7+2x0.3=3.3（dm）,33加比正方形的边长大，故不可能.

【详解】（1）解：当〃=2时，则王方形的面积为2dm，边长为&dm;

当〃=5时，则正方形的面枳为5dm工边长为迅dm：

当八=10时，则正方形的面积为10dm'边长为

（2）能裁出这样的长方形，理由如下：

设长方形的长为2xdm,则宽为％dm

••.27=2.42

解得：x=1.1

.­-2x=2.2=V4^4<V5

.♦.能裁出这样的长方形.

(3)不能裁出这样的长方形，理由如下：

设长方形的长为3xdm,则宽为2xdm

3x-2x=4.86

解得：x=0.9

••.3x=2.7

又•.要求长方形的四周至少留出0.3dm的边框

因此加边框后的长至少要2.7+2x0.3=3.3(而)

,•33=6?=J10.89

，不能裁出这样的长方形.

【点睛】本题考查图形的探究，利用长宽比设未知数是解题的技巧，根据题意列方程是解题的关键.

题型九：新定义题

24.规定[内取。的整数部分，例如：[3刈=3,]5.21=5,网=8,则[Jf]-[及]++…-[闻]+[闻]

的值等于()

A.4B.-4C.5D.-5

【答案】A

【分析】本题考查了无理数的估算，有理数的加减混合运算，正确理解题意是解题的关键.根据口]的定义,

分别求出[廊]的值，再代入计算即可.

【详解】v[VT]=l,[4]=2,[百]=3,[>/16]=4,[岳]=5,[序]=6,[749]=7,

.•.[6]至[G]的值均为1,["]至[网的值均为2,[囱]至[厉]的值均为3,[Vl6]^[V24]的值均为4,[V25]

至[后]的值均为5,[病]至R%]的值均为6,

.•.[7i]-[V2]+[V3]-[V4]+..-[V48]+[V49]

=(|VT]+[V3]+[V5]+...+[V49])-([V2]+[V4]+[V6]4----+[V48])

=(1X2+2X2+3X4+4X4+5X6+6X6+7)-(1+2x3+3x3+4x54-5x5+6x7)

=107-103

=4.

故选：A.

25.阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于-1,记为尸=一1，这个数，•叫做虚数单位，把形如6

(。，b为实数)的数叫做好数，其中。叫这个复数的实部，6叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运

算与整式的加I,减，乘法运算类似.

例如计算：(2-/)+(5+3/)=(2+5)+(-l+3)Z=7+2Z；

(14-f)x(2-f)=lx2-/+2x/-/2=2+(-l+2)/4-l=3+z；

根据以上信息，完成下列问题：

(1)填空：，/二.

(2)计算：(l+，)x(3—4i)；

⑶计算：，+产+/+产.

【答案】(1)T,1

(2)7-/

⑶7

【分析】本题考杳了整式的混合运算，复数的定义，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法

则，以及正确理解题目所给的复数的定义.

(1)把『=-1代入即可求解；

(2)根据多项式乘以多项式的运算法则，将括号展开，再根据j2=-l计算即可；

(3)先归纳出每4个数为一组，每组按照。7,T,1的顺序排列，即可进行计算.

【详解】(1)解：•.•尸二一1,

•••/3=72•/=—/,/=(『)=(—

故答案为：T,1；

(2)解：(l+/)x(3-4f)

=1X3-1X4/+ZX3-/X4/

=3-i-4/，

=3-/-4x(-l)

=7-，：

(3)解：根据题意可得：

•：i，/2=-1>F=-i，/4=1>『=，，i('--1»J=T,广=1..

•••每4个数为一组，每组按照的顺序排列：

2023+4=505…3,

，”『+/+•••+产°”

=(;-l-Z+l)x505+(/-l-z)

=—1.

26.喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的

算术平方根都是整数，则称这三个数为"老根数"，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根"，最大的整数

称为“最大算术平方根〃.例如：1,4,9这三个数，71^4=2.斤=3,74^9=6,其结果分别为2,

3,6,都是整数，所以1,4,9这三个数称为“老根数〃，其中“最小算术平方根”是2,“最大算术平方根"

是6.

⑴试说明：2,8,50这三个数是“老根数”，并求出它们的最小算术平方根与最大算术平方根；

⑵已知16,36,这三个数是“老根数"，且它们的最大算术平方根是最小算术平方根的2倍，求。的值.

【答案】⑴理由见解析，最小算术平方根是4,最大算术平方根是20

(2)9或64

【分析】本题考查算术平方根，理解“老根数〃、“最小算术平方根〃、"最大算术平方根〃的意义是正确解答的

前提，求出“任意两个数乘积的算术平方根〃是解决问题的关键.

(1)根据“老根数”"最小算术平方根〃“最大算术平方根”的意义求解即可：

(2)分三种情况进行解答即可，即“V16,16<。<36,。>36,分别列方程求解即可.

【详解】(1)解：,•,亚彘=4，72x50=10,78x50=20,

・•.2,8,50这三个数是"老根数";其中最小算术平方根是4,最大算术平方根是20；

(2)当。<16时，

vl6,。，36,这三个数是“老根数”，且它们的最大算术平方根是最小算术平方根的2倍，

•*-=Vl6x36，

=24，

解得：a=9：

当16<a<36时，

依题意，得：=

8>/a=6>fa，

*'•I'fa—0，

解得：。=0,不合题意舍去；

当a>36时，

依趣意，得：2jl6x36=J36a,

6-/a=2x4x6，

解得：a=64,

综上所述，。的值为9或64.

题型十：材料阅读题

27.阅读材料：我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理

数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得，如果〃?x+〃=0,其中加、〃为有理数，x为无理数,

那么〃?=0,n=0.运用上述知识解决下列问题：

(1)若小、〃均为有理数，且(〃7+l)G+〃-2=(),求用+〃的立方根；

(2)若〃7、〃均为有理数，且(/〃+1)&+加-17=2夜一/,求加和〃的值.

【答案】(1)1

（2））7i=］,n=±4

【分析】（1）根据题干提供的方法列出机和〃的方程求解即可；

（2）先整理成〃？x+〃=0,其中也〃为有理数，%为无理数，再按题干提供的方法求解.

本题考查了立方根，无理数的定义：理解题意是解题的关键.

【详解】（1）解：•••（m+l）6+〃-2=0,其中〃?，〃均为有理数，

二.机+1=0,72-2=0.

解得〃？=—1,n=2,

则〃?+〃=一1+2=1,1的立方根为1,

...加+〃的立方根为1.

（2）解：将原式整理，得（〃?+1-2）啦+加+/-17=0,即（根-1）返+〃?+〃2-17=0,

•••〃?、〃均为有理数，

:.m—1=0,ffi+n~-17=0•

解得〃?=1,n=±4.

28.我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无

理数，而零与无理数的积为零，由此可得，如果办+方=0,其中。、6为有理数，x为无理数，那么。=0,

且6=0,运用上述知识解决下列问题：

⑴如果&（。+2）-33=0,其中。、力为有理数，那么。=,b=；

（2）如果%—。―6（。+6—4）=5,其中。、b为有理数，求a+86的算术平方根；

（3）若。、人都是有理数，且/+2力+近（〃+4）=17,试求。+6的立方根.

【答案】（1）。=-2b=3

（2）”+汕的算术平方根为5

（3）a+b的立方根为1或舛

【分析1本题考查了立方根，实数的运算，算术平方根，准确熟练地进行计算是解题的关键.

（1）根据已知可得。+2=0,-6+3=0,然后进行计算即可解答；

（2）根据已知可得26-a-G（〃-6-4）=5,从而可得［，进而可得：'：］，然后把a,6的

值代入式子中进行计算，即可解答；

（3）根据已知可得/+26-17+近0+4）=0,从而可得/+2b-17=0,6+4=0,进而可得分=-4,

a=±5,然后分两种情况进行计算，即可解答.

【详解】（1）解：•.•收（4+2）-6-3=0,其中八方为有理数，

.,.（7+2=0.一力+3=0,

/.a=-2,b=3,

故答案为：-2：3；

(2)解:2b-a-y/3(a+b-4)=5,

:.2b-a-5-(a+b-4)y/3=0,

♦:a、b为有理数，

26-«-5=0

•V

a+b-4=0

a-I

解得：L、，

・•・a+86=1+3x8=25,

•••其算术平方根为5；

(3)解:/+2b+/(b+4)=17,

fl2+2Z>-17+V7(Z>+4)=0,

<?2+2Z>-17=0

Ab+4=0'

a=5fa=-5

解得：4或，Af

b=-4[ZJ=-4

,.当a=5,8=-4时，a+力=5+(—4)=1,4+b的土方根为1；

3fl=-5,6=-4时，a+b=-5+(-4)=-9,a+力的立方极为一强.

29.【阅读材料】

数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方

根.华罗庚脱口而出：“39〃.邻座的乘客十分惊奇，忙间其中计算的奥妙.

你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的步骤试一试：

第一步：vVi()00=10,%000