三角形的内角（预习讲义）-人教版八年级数学上册

第十三章三角形13.3.1三角形的内角

(预习讲义)

唱会羽目阳

1.知识与技能：

(1)理解三角形内角和定理的内容。

(2)掌握三角形内角和定理的证明方法(重点是通过作辅助线和平行线的性质进

行推导)。

(3)能运用三角形内角和定理解决简单的角度计算问题。

2.过程与方法：

(1)通过观察、实验、猜想、推理等数学活动，体验三角形内角和定理的探索过

程。

(2)在探究活动中，发展推理能力和有条理的表达能力。

3.情感态度与价值观：

(1)通过对三角形内角和定理的探究和证明，感受数学的严谨性和逻辑性。

(2)在合作与交流中，培养团队协作精神，激发学习数学的兴趣。

W阂混前短图

一、三角形内角的概念

•定义：三角形中相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角。

•注：一个三角形有三个内角。例如，在aABC中，NA、NB、NC都是它的内角。

二、三角形内角和定理

•定理内容：三角形三个内角的和等于180度。

几何语言表示：在AABC中，ZA+ZB+ZC=180°。

二、二角形内角和定理的证明

•探究思路：如何说明一个三角形的三个内角之和是180度呢？

（1）方法一（剪拼法实验验证）：

1.画一个任意三角形。

2.把它的三个内角剪下来。

3.将三个角的顶点重合，且使其中的一个角的一边与另一个角的一边重

合，依次拼在一起。

4.观察发现：三个角正好组成一个平角，即180度。

-注：这是一种直观的实验方法，能帮助我们得出猜想，但不能作为严

格的证明。

（2）方法二（作辅助线证明逻辑推理）：（人教版教材常用方法，利用平行线

的性质）

■已知：ZXABC。

■求证：ZA+ZB+ZC=18（To

•证明思路：通过作一条辅助线，将三角形的三个内角转化到一个平角

或同旁内角中。

■证明过程（例如）：

a.如图，延长BC到点D。

b.过点C作直线CE平行于AB。

c.因为CE〃AB（已作），所以ZA=ZACE（两直线平行，内错•

角相等），ZB二ZECD（两直线平行，同位角相等）。

d.因为ZACB+ZACE+ZECD=180°（平角的定义），所以

ZACB+ZA+ZB=180°（等量代换）。

e.即NA+NB+ZACB=180°。

・辅助线：为了证明的需要，在原来图形上添画的线叫做辅助线。辅助

线通常画成虚线。

•注：证明方法不止一种，还可以过三角形的一个顶点作另一边的平行

线，或将三角形的一个内角沿一边平移等。

四、三角形内角和定理的初步应用

•已知三角形的两个内角，求第三个内角。

方法：第三个内角=180°已知的两个内角的和。

•已知三角形三个内角之间的数量关系（如一个角是另一个角的几倍，或两个角相

等），求各内角的度数。

方法：设其中一个角为X度，根据题意用含X的式子表示出其他角，再根据内

角和定理列出方程求解。

•判断三角形的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）。

直角三角形的两个锐角互余（即和为90度）。因为直珀为90度，所以另外两

个内角之和为i8（r90°=9（r。

Q阖蟆噩绐

1.三角形内角的定义：三角形相邻两边组成的角。

2.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180度。（核心知识点）

表达式：在AABC中，ZA+ZB+ZC=180°。

3.定理的证明：关键在于通过作辅助线（如作平行线），将三个内角转化为一个平角或

利用平行线的性质进行推导。

4.定理的应用：

（1）己知两角求第三角。

（2）已知角之间的关系求各角的度数（方程思想）。

（3）直角三角形的两个锐角互余（重要推论）。

.小同父为

一、选择题

1.一个三角形三个内角的度数之比是1：2：3,则这个三角形属于（）

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等边三角形D.等腰直角三角形

2.若直角三角形的一个锐角是35°,则另一个锐角的度数是（）

A.75°B.65°C.55°D.45°

3.若三角形有两个内角的和是100。，那么这个三角形是（）

A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.不能确定

11.直角三角形中两个锐角的差为20°,则较小的锐角的度数是

12.在△4BC中，/4+/8=90°,那么△4BC是（填“直角三角形”、“钝角三

角形”或“锐角三角形”）

13,把一副三角板按如图所示的方式摆放，4=60，4=45°，DE1BC,则的度数

为.

14.加图，在中，•与/C互余，/。=60。，4。是高，＜£是角平分线，则/I的度数

是.

15.如图，为直角三角形，N/K3=90°,①是斜边脑上的高，N4=25°,则的度数

是_________.

EC-----B

16.两个直角三角形积木△ABC和△CDE按如图所示摆放在水平桌面上，已知/B=30，

NDCE=45°，把下端挂有铅锤的细绳的上端拴在直角顶点0处，则NEDG=

17.图1的指甲剪利用杠杆原理操作，图2是使用指甲剪的侧面示意图，ZCEO=90a,杠杆8c与

上臂OC重合：使用时，8刚好至8,点，当力‘||OE时，恰好CB'平分/OCE,若NCB,不=

124。，贝IJ/COE=°.

18.如图所示为某城市几条道路的位置关系，道路AB与道路CD平行，/B4E=108'。城市规划部

门计划新修一条道路DE,要求2/。=4,则N0的度数是.

19.如图，一副三角板叠放在一起，则Nh的度数是

20.如图，在△48C中，力。是△ABC的角平分线，OEJ.4C,若Z5=42。，ZC=58。.

(2)求4DE的度数.

21.如图，AABC中，AD平分NBAC交BC于点D,AE_LBC于点E,点F在AE上且CF〃AD.

(1)如图①，若△ABC是锐侑三角形，ZB=30°,ZACB=80°,则NCFE=度.

（2）如图①，若△ABC是锐用三角形，ZACB>ZB,ZB=x,ZACB=y,则NCFE=

（用含x,y的代数式表示）.

（3）如图②，若△ABC是钝角三角形，/ACB为钝角，其余条件不变，则（2）中的结论还成立

吗？说明理由.

22.问题情景：如图1,在同一平面内，点B和点C分别位于一块直角三角板PMN的两条直角边

PM,PN上，点A与点P在直线8C的同侧，若点P在AABC内部，试问48P,与4的大小

是否满足某种确定的数量关系？

(1)特:殊探宛：若/4=55"，则/力8C+NACB=125度，/PBC+/PCB=度,

NABP+4cp=度;

（2）类比探索：请猜想Z4BP+/4cp与4的关系，并说明理由;

（3）类比延伸：改变点A的位置，使点P在△A8C外，其它条件都不变，判断（2）中的结论是

否仍然成立？若成立，请说明理由：若不成立，请直•接•写出48P,4CP与N为满足的数量关系

式.

23.如图，在aABC中，AE,CD分别是NBAC,NACB的平分线，且AE,CD相交于点F.

7)

(1)若NBAC=80°,ZACBMO0,求NAFC的度数;

(2)若NB=80°,求NAFC的度数;

(3)若NB=x°,用含x的代数式表示NAFC的度数.

参考答案

1.A

2.C

3.D

4.D

5.A

6.B

7.A

8.B

9.C

10.D

11.35°

12.直角三角形

13.15°

14.15°

15.25°

16.15°

17.22

18.24°

19.75°

20.(1)解：/BAC=180°一与-4=80°，

•••AO是△A8C的角平分线,

2BAC=40

(2)解：TOEIAC,

•••ZAED=90°,

由(1)得：ZCAD=|NBAC=40°,

ZADE=90°—40°=50

21.(1)25

「八11

“)2y2X

(3)解：(2)中的结论成立，理由：

在△ABC中，ZB=x,ZACB=y,

/.ZBAC=180oZBZACB=1803xy,

〈AD平分NBAC,

AZCAD=|ZBAC=1(180-%-y),

VZACB=y,

.\ZACE=180oZACB=180°y,

VAE1BC,

・・・NAEC=90°,

.,.ZCAE=90°ZACE=90°(180°y)=y90°,

・・・/DAE=/CAD+/CAE

1°a

=1(180-%-y)+(y-90)

〃11°

=90~yx--yy~i-y—90

22.(1)90；35

(2)解：猜想：々BP+4CP=90-4，

理由：在△718(；中，ZABC+ZACH=180P-4，

•••/ABC=4BP+/PBC,4CB=ZACP+/PCB,

：・(/ABP+/PBC)+(4CP+/PCB)=180°-4,

：・(NABP+NACP)+(NPBC+NPCB)=180°-NA,

又•在R£△P8C中，4=90°,

•••ZPBC+ZPCB=90°,

：.(/ABP+ZACP)+900=180°-

•••/ABP+ZACP=90°-4;

(3)不成立，4+ZACP-/ABP=90°,或4+/ABP-NACP=90°,或