苏科版八年级数学上册 第1章《全等三角形》自主学习培优提升训练

苏科版八年级数学上册《第1章全等三角形》培优提升训练

1.如图为正方形网格，则/1+/2+/3=（）

A.105°B.120°C.115°D.135°

2.已知图中的两个三角形全等，则Na的度数是（）

hc

A.72°B.60°C.58°D.50°

3.下列说法：

①全等三角形的形状相同、大小相等

②全等三角形的对应边相等、对应角相等

③面积相等的两个三角形全等

④全等三角形的周长柞等

其中正确的说法为（）

A.①②③0B.©©③C.C9③④D.①②④

4.如图，如果4B=5a〃，BC=lcn1,AC=6cifb那么DE的长是（）

CDB

A.6cmB.5cmC.7cmD.无法确定

5.如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的

玻璃，那么最省事的办法是（）

死

A.带①去B.带②去C.带③去D.带①和②去

6.如图，已知AABEgAAC。，Z1=Z2,/B=/C,不正确的等式是（）

BDEC

A.AB=ACB.ZBAE=ZCADC.BE=DCD.AD=DE

7.如图：若△A3£9z2xACR且A8=5,AE=z1,则EC的长为（）

A

A

Ba

A.2B.2.5C.3D.5

8.如图，△A03gZ\AQC,点8和点。是对应顶点,NO=NO=90"，记NOAO=c,Z

A3O=0,当3C〃0A时，a与（3之间的数量关系为（）

A.a=PB.a=2pC.a+（3=9O°D.a+邛=180°

9.如图，E3交AC于点M,交.FC于ED,AB交FC于点、N,ZE=ZF=90°,NB=N

C,AE=AF,给出下列结论：其中正确的结论有（）

*

①N1=N2；@BE=CF；③△ACN丝△A8M；

④CD=DN；⑤△AFNZzMEM.

A.2个B.3个

F

C.4个D.5个

10.如图，将正方形OA月。放在平面直角坐标系中，。是原点,A的坐标为（1,让），贝ij

点C的坐标为（）

41

:1X

A.」第，I）B.（-I,谯）C.（第，I）D.（-第，-I）

11.已知如图，AD//BC,AB1BC,CDVDE,CD=ED,AD=2,8c=3,则△4OE的面

12.如图，四边形ABCDg四边形4'B'C'D’,则NA的大小是

13.如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点8到C的方向

平移到△。£厂的位置，A8=10,。。=4,平移距离为6,则阴影部分面枳为.

AD

14.在平面直角坐标系中，已知点A(1,2),B(5,5),C(5,2),存在点E,使AACE

和AACB全等，写出所有满足条件的E点的坐标.

15.如图，在△ABC中，。，E分别是边AC,BC上的点,若AADBg4EDB经4EDC,则

16.如图，4、C、N三点在同一直线上，在△ABC中，ZA；ZABC：NAC8=3：5：10,

若△MN84ABC,则NBCM：ZBCN=.

23.如图，。、E在△48C的边AB上，且NAOC=NACB.

求证：(1)NACO=NA8C；

(2)若N84C的平分线A尸交CO于F,BE+AC=AB,求证：EF//BC.

24.如图，BELAE,CFLAE,垂足分别为£、F,。是"的中点，CF=AF.

(I)请说明CD=BD；

(2)若BE=6,DE=3,请直接写出△AC。的面积.

25.已知：如图，AB=CD,DE1AC,BFLAC,E,尸是垂足，DE=BF.

求证：(1)AF=CEx

(2)AB//CD.

26.已知：如图，在△ABC中，ZC=90°,点石在AC上，且4E=8C,EQ_L/W于点。,

过4点作AC的垂线，交E。的延长线于点F.

求证：AB=EF.

B

D

27.如图（1）,AB=7an,ACLAB,BD1AB垂足分别为A、B,AC=5cm.点P在线段

AB上以2cMs的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动.它们运动的时间

为f（s）（当点尸运动结束时，点。运动随之结束）.

CD

ALfpJBAA^PB

图（1）国（2）

（1）若点。的运动速度与点尸的运动速度相等，当f=l时，与△8PQ是否全等，

并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；

（2）如图（2）,若“4C_LA8,BDLAB”改为"NCAB=NDBA”,点Q的运动速度为

xcmls,其它条件不变，当点P、。运动到何处时有△ACP与ABP。全等，求出相应的x

的值.

28.（1）如图1,直线加经过等腰直角AABC的顶点4过点8、C分别作8。_L〃?，CE1

m,垂足分别为。、E,求证：BD+CE=DE；

（2）如图2,直线机经过△A4C的顶点4,AB=AC,在直线机上取两点D,E,使N

ADB=NAEC=a,补充NBAC=（用a表示），线段BD,CE与。E之间满足BD+CE

=DE,补充条件后并证明；

（3）在（2）的条件中，将直线〃，绕着点4逆时针方向旋转一个角度到如图3的位置，

并改变条件N4DB=NAEC=（用a表示）.通过观察或测量，猜想线段BD,CE

与。E之间满足的数量关系，并予以证明.

29.【问题背景】

在四边形ABCD中，AB=AD,NB4力=120°,N8=N4OC=90°,E、尸分别是8C、

CD上的点，且N£A/=60°,试探究图1中线段BE、EF、之间的数量关系.

【初步探索】

小亮同学认为：延长尸。到点G,使QG=4£,连接AG,先证明△A3E0△AQG,再证

明△AfTg/XAGF,则可得到BE、EF、/。之间的数量关系是.

在四边形A3co中如图2,AB=AD,NB+NO=180‘，E、尸分别是8C、CO上的点，

ZEAF=1ZBAD,上述结论是否仍然成立？说明理由.

2

【结论运用】

如图3,在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处，舰艇乙在

指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰

艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小

时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E,产处，且两舰艇之

间的夹角(/EOF)为70°,试求此时两舰艇之间的距离.

参考答案

rAB=AE

1.解：•・•在△ABC和△HE尸中，，ZB=ZE>

BC=FE

：./\ABC@XAEF(SAS),

:.N4=N3,

VZ1+Z4=9O°,

AZ1+Z3=9O°,

f：AD=MD,NAQM=90°,

・・.N2=45",

・・・N1+N2+N3=135°,

故选:D.

2.解：•・•图中的两个三角形全等

。与a,。与。分别是对应边，那么它们的夹角就是对应角

AZa=50°

故选：D.

3.解：①全等三角形的形状相同、大小相等，说法正确；

②全等三角形的对应边相等、对应角相等，说法正确；

③面积相等的两个三角形全等，说法错误；

④全等三角形的周长柱等，说法正确；

故选：D.

4.解：〈△ABC9XADE,

:.DE=BC,

•:BC=1cm,

DE=lcm.

故选：C.

5.解：A、带①去，仅保留了原三角形的一个角和部分力，不能得到与原来一样的三角形，

故4选项错误；

8、带②去，仅保留了原三角形的一部分边，也是不能得到与原来一样的三角形，故B

选项错误：

。、带③去，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一条边，符合ASA判定，故C

选项正确；

。、带①和②去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，同样不能得到与原来一样的三角

形，故。选项错误.

故选：C.

6.解：:△ABE丝△AC。，Z1=Z2,NB=NC,

：.AB=AC,NBAE=NCAD,BE=DC,AD=AE,

故4、B、。正确：

人。的对应边是AE而非。E,所以。错误.

故选：D.

7.解：^/XABE^^ACF,AB=5,

：,AC=AB=5,

*：AE=2,

：.EC=AC-AE=5-2=3,

故选：C.

8.解：V/\AOB^^ADC,

：.AB=AC,NBAO=NCAD,

，NBAC=NO4O=a,

在△ABC中，N48C=~l(1800-a),

2

,JBC//OA,

・・・NO8C=180°-ZO=180°-90°=90°,

AP+A(180°-a)=90°,

2

整理得,a=2p.

故选：B.

9.解：VZE=ZF=90°,NB=NC,AE=AF,

A^ABE^^ACF(AAS),

:.BE=CF,AF=AE,故②正确，

ZBAE=ZCAF,

/BAE-ZBAC=ZCAF-ZBAC,

/.Z1=Z2,故①正确，

△八8七g△人C/7,

AB=AC,

又NBAC=NC4B,NB=NC

△4CN丝△A8M(ASA),故③正确，

CO=ON不能证明成立，故④错误

VZ1=Z2,NF=NE,AF=AE,

：.AAFN^AAEM(ASA),故⑤正确，

故选：C.

10.解：如图，过点4作AQ_Lx轴于。，过点C作CELr轴于E,

•・•四边形OABC是正方形，

・・・OA=OC,ZAOC=90°,

：,ZCOE+ZAOD=W,

又•.•/O4D+N4O£>=90”,

：・NOAD=NCOE,

在△AO。和△OCE中，

rZ0AD=ZC0E

'ZAD0=Z0EC=9Q"»

OA=OC

•••△AO。❷△OCE(AAS),

：・OE—AD—让,CE-OD-\,

•・,点C在第二象限，

・••点C的坐标为(-加，1).

故选：A.

11.解：过。作6c的垂浅文8c于G,过E作A。的垂线交的延长线于”,

VZEDF+ZFDC=W,

NGOC+NFQC=90°,

:,NEDF=4GDC,

于是在RlZXE。/和RtZXCOG中，

rZF=ZDGC

\ZEDF=ZGDC»

IDE=DC

:.丛DEFm4DCG,

:.EF=CG=BC-BG=BC-40=3-2=1,

所以，SMDE=(ADXEF)4-2=(2X1)4-2=1.

故选：A.

12.解：•・•四边形ABCOg四边形AEC。'，

:・ND=ND'=130°,

/.ZA=360°-Zfi-ZC-ZD=360°-75°-60°-130°=95°,

故答案为：95°.

13.解：由平移的性质知，BE=6,DE=AB=\0,

：.0E=DE-DO=\0-4=6,

；・S四边形ODFC=S梯形ABEO=1(AB+OE)—(10+6)X6—48.

22

故答案为48.

14.解：如图所示：有3个点，当E在£、F、N处时，/XACE和△AC8全等,

点E的坐标是：（1,5）,（1,-1）,（5,-1）,

故答案为：（1,5）或（1,-1）或（5,-1）.

JZADB=ZEDB=ZEDC,NDEC=NDEB/=A,

XVZADB+ZEDB+ZEDC=\^，NDEB+NDEC=180"

••・NEQC=60°,NDEC=90”,

在△DEC中，NEDC=&)°,NDEC=90°

/.ZC=30°.

故答案为：30.

16.解：VZA：ZABC：ZACB=3：5：10,NA+NABC+NAC"180°,

••・NA=30°,ZABC=50°,ZACB=100°,

'：△MNgAABC,

：,ZN=ZABC=5()°,NM=N4=3()°,

・・・NMC4=NM+NN=80°,

・・・NBCM=20°,NBCN=80°,

/.ZBCM：ZBCN=\：4,

故答案为：1：4.

17.解：:△ABgAADE,

：.AB=AD,NBAC=NDAE,

：,NABD=NADB,

VZBAD=130°,

AZABD=ZADB=25°,

■:AE//BD,

/.ZDAE=NADB,

：,ZDAE=25°,

・・・N/MC=25°,

故答案为:25°.

18.解：OP平分NMOMPE上OM于E,PFLONF,

:.PE=PF,Z1=Z2,

在△A。。与△BOP中，

fOA=OB

N1=N2，

IOP=OP

/.XAOP94BOP,

：.AP=BP,

在△EOP与△FOP中，

rZl=Z2

'ZOEP=ZOFP=9Q°.

OP=OP

：.^EOP^AFOP,

在RAAEP与RABFP中,

[PA=PB,

IPE=PF，

:・Rt4AEP"R/\BFP,

.••图中有3对全等三角形，

故答案为：3.

19.解：因为N48C=NQCB,BC=CB,

®AB=CD,根据S4S可以判定△ABCgZXOCB.

@AC=DB,无法判断△48C之ZXOCB.

③NA=NO,根据AAS可以判定△A8C'gZ\OC8.

®ZACB=/DBG根据ASA可以判定△ABC妾△Z)C8.

故答案为：①③④.

20.解：•：ZBAC=ZDAE,

:,NBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,

AZ1=ZE/1C,

在△BAO和△C4E中，

(AB=AC

\ZBAD=ZCAE

IAD=AE

.)△BAD经△CAE(SAS),

：.Z2=ZABD=30°,

VZI=250,

AZ3=Z1+Z/WD=250+30°=55°,

故答案为：55°.

21.解：(1)，：△ABC/2DEB,DE=S,BC=5,

：.AB=DE=S,BE=BC=5,

：,AE=AB-BE=S-5=3,

故答案为：3;

(2)®'：^ABC^^DEB

：,Z4=ZD=35°,NDBE=NC=60°,

VZ4+Z4BC+ZC=180°,

・・・NA8C=1800-ZX-ZC=85°,

：.ZDBC=ZABC-ZDBE=S5°-60°=25°；

②•・•NAEF是4DBE的外角，

；・/AEF=/D+/DBE=35°十60°=95°,

•・•ZAFD定XkEF的外角，

ZAFD=ZA+ZAEF=350+95°=130°.

22.证明：VZ1=Z2,

/.Z1+ZE4C=Z2+ZEAC,

：.ZBAC=ZDAE,

在△ABC和△ADt'中

rZBAC=ZDAE

-AC=AE

ZC=ZE

AAABC^AADE(ASA).

23.证明：(1)VZACB=ZADC,

/ACD+NBCD=ZABC+ZBCD,

：.ZACD=^ABC；

(2)t：AB=BE+AE=BE+AC,

：,AE=AC,

TA厂平分/BAC,

：.ZEAF=ZCAF,

在△AC/7和△AE产中，

'AF=AF

'NCAF=/EAF，

AC=AE

•・.△AC〜△AM(SAS),

・•・ZACF=ZAEF,

JZAEF=ZABC,

：.EF//BC,

24.解：(1)VBELAE,CFJ-AE,

:・/BED=NCFD,

是石尸的中点，

：.ED=FD,

在△BED与中，

rZCFD=ZDEB

DF=DE，

|ZCDF=ZBDE

:ABEgACFD(ASA),

:,CD=BD；

(2)由(1)得：CF=EB=6,

'：AF=CF,

•M尸=6,

•・•。是七厅的中点,

：.DF=DE=3,

・・・AD=9,

.)△AC。的面积：XAD-CF=AX9X6=27.

22

25.证明：(1)VDE1AC,BFLAC,

在和△CO£中，1AB=CD,

lDE=BF

•••△A8尸也△COE(HL).

：.AF=CE.

(2)由(1)知NAC0=/CA8,

：,AB//CD.

26.证明：^EDLAB,

••・NAOE=NACB=9(T；

/.ZDAE+ZDEA=ZDAE+ZB=90°,

即NOEA=28；

\*AD±EF,IA.LAC,

••・NME=NC=90°，

在△AF石和△C/W中

(ZFAE=ZC

•.JAE=BC，

IZDEA=ZB

/.AAFE^ACAB(ASA).

：.AB=EF.

27.解：(1)AACP^ABPQ,PCLPQ.

理由如下：*：AC±AB,BDLAB,

：.ZA=ZB=90°,

,：AP=BQ=2,

：.BP=5,

：.BP=AC,

在△ACP和48尸。中

(AP=BQ

NA二NB，

IAC=BP

/.AACP^/XBPQdSAS)；

:./C=/BPQ,

VZC+ZAPC=90°,

AZAPC+ZBPQ=9^,

・・・NCPQ=90°，

APCIP0；

(2)①若△ACPg/XBPQ,

则4C=8RAP=BQ,可得：5=7-2r,2t=xt

解得：x=2,r=l；

②若△ACPM4QP,

贝l」AC=4Q,AP=BP,可得：5=A7,2/=7-2/

解得：x=—,t=—.

74

综上所述，当△ACP与△BPQ全等时x的值为2或苧.

28.解：(1)VBD±/n,CE±m,

.•・/£>48+/48。=90°,ZADB=ZAEC,

VZBAC=90°,

・・・/£>AB+NE4C=90°,

・•・ZABD=ZEAC,

在△AO8和△CEA中，

rZADB=ZAEC

\NABD二NEAC，

IAB=AC

A^ADB^^CEA(AAS),

:.BD=AE,AD=CE,

:.BD+CE=AD+AE=DE；

(2)补充N