三角形中边的关系（讲义）-2024沪科版八年级数学上册

专题13.1三角形中边的关系(举一反三讲义)

【沪科版2024]

题型归纳

【题型I三角形的有关概念】....................................................................2

【题型2三角形的分类】........................................................................4

【题型3利用三边关系判断能否组成三角形】.....................................................7

【题型4利用三边关系求参数范围】.............................................................8

【题型5利用三边关系化简】...................................................................10

【题型6利用三边关系求最值】.................................................................12

【题型7利用三边关系取舍值】.................................................................15

【题型8利用三边关系证明线段的不等关系】....................................................18

【题型9三边关系的应用】.....................................................................21

举一反三

知识点1三角形的有关概念

1.三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.

2.三角形的三要素

边：组成三角形的浅段角：相邻两边组成二角形的内角，

_顶点“

叫做二角形的边简称三角形的角

/顶点：相邻两边的公共端点是三角

顶点/训MC形的麻

3.三角形的表示：三角形用符号表示，三角形ABC用符号表示为AABC.

知识点2三角形的分类

L等腰三角形的定义

三边都相相的三角形叫做等边三角形;有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.

在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶鱼，腰和底边的夹

角叫做底角.

2.三角形的分类

(1)按边分类

三边都不相等的三角形

二角形_

一底边和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形，

，等边三角形

（2）按角分类

r直角三角形

（一锐角三角形

钝角三角形

知识点3三角形的三边关系

1.定义：三角形两边的和大于第三边,两边的差小于第三边.

2.判断三条线段能否组成三角形；若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三

角形；反之，则不能组成三角形.

【题型1三角形的有关概念】

【例1】（2425八年级上•浙江金华•期中）如图，图中的三角形共有（）个.

C.5D.6

【答案】C

【分析】根据图形及三角形的定义查找即可，注意以一条边为基础依次查找.

【详解】根据图形依次查找可得：△ABE、△4BC、△BCE、△BCD.△DCE,共5个三角形，

故选：C.

【点睛】本题考查三角形的定义，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形；

熟练掌握定义是解题关键.

【变式11】（2425七年级下•江苏赤州•期中）一位同学用三根木棒两两相交拼成如下图形，则其中符合三角

形概念的是（）

A.B.

【详解】解：A、三条线段没有首尾顺次相接，不合题意；

B、三条线段没有首尾顺次相接，不合题意；

C、三条线段没有首尾顺次相接，不合题意；

D、不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接，是三角形，符合题意：

故选：D

【点睛】本题主要考查三角形图形的知识，根据三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接

所组成的图形叫做三角形。判断是否三条线段首尾顺次相接是解决本题的关键。

【变式12］（2425八年级上•广西期中）已知：如图，试回答下列问题：

（1）图中有个三角形，其中直角三角形是.

（2）以线段AC为公共边的三角形是.

（3）线段CO所在的三角形是,边所对的角是.

【答案】6△ABD,AACD,△ADE△ABC,△ACD,△ACEAACD乙BAD

【分析】（1）直接观察图形可找出三角形的直角三角形；

（2）观察图形可找到以线段4c为公共边的三角形：

（3）观察图形可知线段C。所在的三角形以及80边所对的角；

【详解】（1）由图可知，

图中三角形有△ABC、SRDB、LAEB.△AC。、△ACE、ADE,

A.甲、乙两种分法均正确B.甲、乙两种分法均错误

C.甲的分法错误，乙的分法正确D.甲的分法正确.乙的分法错误

【答案】D

【分析】三角形的分类：按边分有普通三角形（三条边都不相等），等腰三角（腰与底不等的等腰三角形、腰与

底相等的等腰三角形即等边三角形）；按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，其中锐角三角形

和钝角三角形统称斜三角形.据此判断即可.

【详解】解.：甲分法正确，乙正确的分类应该为：

故选:D.

【点睛】本题考查三角形的分类，解答的关键是熟知三角形的分类标准，易忽略等腰三角形包含等边三角形.

【变式21］（2425八年级上•贵州铜仁•期中）如图,△ABC被木条遮住了一部分，只露出乙4,则匕8与“可

A.一个直角，一个锐角B.两个钝角

C.一个钝角，一个锐角D.两个锐角

【答案】D

【分析】本题考查了三角形的分类，理解并掌握三角形的分类是解题的关键.

三角形根据角度分为：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，由此即可求解.

【详解】解：根据题意，乙4是钝用,

回48与“可能是两个锐角，

故选：D.

【变式22］如图，在RtZiABC中，"1=90。，=30°.动点尸从点C出发，沿边CB,8A向点A运动.在

点P运动过程中，△24C可能成为的特殊三角形依次是（）

A

一

----LC

A.直角三角形好等边三角形T直角三角形1等边三角形1直角三角形

B.等腰三角形1直角三角形今等边三角形■»直角三角形f等接直角三角形

C.直角三角形玲等边三角形与直角三角形玲等腰直角三角形好直角三角形

D.等腰直角三角形O等腰三角形1直角三角形1等腰宜角三角形）直角三角形

【答案】C

【分析】本题考查动点问题，掌握三角形的分类是解题的关键.

【详解】解：在点P运动过程中，AP4c可能成为的特殊三角形依次是直角三角形■»等边三角形与直角三角

形玲等腰直角三角形分直角三角形，

故选C.

【变式23］（2425七年级下.重庆期中）设〃表示直角三角形，N表示等腰三角形，。表示等边三角形，Q

表示等腰直角三角形.下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（）

人B.

c.D.CZ^

【答案】c

【分析】根据各类三角形的概念即可解答.

【详解】解：根据各类三角形的概念可知，C可以表示它们彼此之间的包含关系.

故选C.

【点睛】本题考查各种三角形的定义，要明白等边三角形•定是等腰三角形，等腰直角三角形既是直角三角

形，又是等腰三角形.

【题型3利用三边关系判断能否组成三角形】

【例3】（2425七年级下•广东揭阳•阶段练习）现有长度分别为2cm,3cm,4cm,5cm,6cm的五条线段，

以其中的三条线段为边组成三角形，最多可以组成一个.

【答案】7

【分析】本题考查三角形三边关系（三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边），解题

的关键是逐一判断五条线段中任取三条的组合是否满足二边关系.

从五条线段中任取三条，根据三角形三边关系判断能否组成三角形，统计满足条件的组合数.

【详解】以其中的三条线段为边组成三角形的有：

2cm,3cm,4cm；

2cm,4cm,5cm：

2cm,5cm,6cm；

3cm,4cm,5cm；

3cm,4cm,6cm；

3cm,5cm,6cm；

4cm,5cm,6cm.

共有7种情况.

故答案为：7.

【变式31】（2025•河北邯郸・二模）如图，有甲、乙两根小棒，现用剪刀把其中•根小棒剪开，若得到的两

根小棒与另一根小棒能组成三角形，则剪开的小棒是（）

3V

k_______________________）

A.甲B.乙C.甲或乙D.甲或乙均不可以

【答案】B

【分析】本题主要考查三角形三边关系，即三角形任意两边之和大于•第三边，任意两边之差小「第三边.通

过分别假设剪开甲、乙小棒，分析所得到的线段长度与另一根小棒长度之间是否满足三边关系来确定正确

答案.

【详解】解.：假设剪开乙小棒，设乙小棒长度为a，剪成两段长度分别为m、n,甲小棒长度为民

•・•乙小棒的长度大于甲小棒，即

m+n>b

・••剪开乙小棒得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形；

假设剪开甲小棒，

•・•乙小棒的长度大于甲小棒，

・•・同理可得，甲小棒减成的两根小棒的和小于乙小棒，故围不成三角形，不符合题意.

综上所述，剪开的小棒是乙.

故选：B.

【变式32】（2425八年级上•浙江台州•期中）用13根等长火柴棒拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余、重

叠和折断，则能摆出不同的三角形个数是（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

【答案】C

【分析】本题考查的知识点是三角形三边的关系，若三条线段能够构成三角形需满足：任意两边之和大于第

二边，两边之差小于第二边.熟记定理足解题的关键.可以把二角形的周长看作13,再根据二角形二边的关

系应满足：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，从一条边有1根开始，逐渐增多即可得出结

论.

【详解】解：•・•三角形两边之和大于第三边，

・・・只能有5种答案,即①1、6、6；②2、5、6；③3、5、5；④4、4、5；④3、4、6.

故选:C.

【变式33］（2425八年级上•河北沧州•期末）某同学用5cm、7cm、9cm、13cm的四根小木棒摆出不同形状

的三角形的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】从4条线段里任取3条线段组合，可有4种情况，看哪种情况不符合三角形三边关系，舍去即可.

【详解】解：四条木棒的所有组合：5,7,9和5,9,13和5,7,13和7,9,13；

只有5,7,9和5,9,13和7,9,13能组成三角形.

故选：C.

【点睛】本题考杳了三角形三边关系，三角形的三边关系：任意两边之和>第三边，任意两边之差〈第三边;

注意情况的多解和取舍.

【题型4利用三边关系求参数范围】

【例4】（2425七年级下•江苏无锡・期末）已知一个三角形中两条边的长分别是a、b,且a>b,那么这个三

角形的周长L的取值范围是()

A.3b<L<3aB.2a<L<2(a+b)

C.a+2b<L<2a+bD.3a-b<L<3a+b

【答案】B

【详解】分析：先根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围，再确定这个三角形的周长1的取值范围即

可.

详解：设第三边长X.

根据三角形的三边关系，得abVxVa+b.

，这个三角形的周长m的取值范用是ab+a+b<L<a+b+a+b,即2a<L<2a+2b.

故选B.

点睛：考查三角形的三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于

第二边.

【变式411(2425八年级上•贵州铜仁・期末)三角形的三边长分别为2,5,3-2%,则x的取值范围是.

【答案】-2<%<0

【分析】根据三角形三边的关系即可列出一元一次不等式组，求出不等式组的解集即可.

【详解】根据题意可得不等式组，

：AX>-2,即-2VXV0.

tx<0

故答案为：-2VXV0.

【点睛】本题考查三角形三边的关系以及解不等式组.解题的关键在于利用三角形三边的关系列出•元一次

不等式组.

【变式42】(2425八年级上•湖北黄冈•阶段练习)等腰三角形周长是20cm,腰长为xcm,则x的取值范围

为.

【答案】5<%<10

【分析】本题考查了三角形的定义，三角形的三边关系，求不等式组的解集，由题意可得等腰三角形的底边

长为(20-2x)cm,然后根据三角形的三边关系可得关于x的不等式组，解不等式组即可求出答案.

【详解】解：等腰三角形的周长为20cm,腰长为xcm,则底边长为(20-2x)cm,

根据三边关系可得，x+x>20-2x,解得，x>5；

x-x<20—2x,解得，x<10,

•••无的取值范围是5vxv10.

故答案为：5<x<10.

【变式43］(2425七年级下•江苏无锡•期末)一个三角形的3边长分别是xcm、(3x-3)cm,(x+2)cm,它

的周长不超过39cm.则x的取值范围是()

A.<x<5B.5<x<8C.<x<8D.1<x<5

JO

【答案】A

［分析］根据三角形三边关系和周长不超过39cm可列出不等式组求解即可.

x+(3x-3)>%4-2

【详解】解:根据题意，可得｛(；为：卷3二3”，

x+(3x—3)+(x4-2)<39

A-<x<5.

3

故选：A.

【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系和解不等式组，根据条件列出不等式组求解是解题的关键.

【题型5利用三边关系化简】

【例5】(2425八年级上•山东济宁•阶段练习)设小儿c是△ABC的三边，

(1)化简|a-b+c\-2\b-c-a\

(2)若儿。满足(6-3)2+仁一5|=0.且a为方程=2的解.判断△力的形状并说明理由.

【答案】(1)匕一c一a

(2)等腰三角形，理由见解析

【分析】(1)根据三角形的三边美系得出a-b+c=a+c-b>0,b-c-a=b-(c+a)<0,再利用

绝对值的性质化简即可；

(2)根据非负数的性质得出b=3,c=5,再解绝对值方程，求出。值，根据三角形三边关系取舍，最后即

可判断△的形状.

【详解】(1)解：:小b,c是△/1BC的三边，

G4-c>b,

.*.a—b+c=a+c—b>0,b-c—a=b—(c+a)<0,

:.\a,-bc\—2|Z?-c—Q|

=G—b+c+2(b—c-a)

=a-b+c+2b-2c-2a

=b-c-a；

（2）解：V（Z?-3）2+|c-5|=0,

/.b-3=0月.c-5=0,

t=3,c=5,

・・N为方程反一3|=2的解,

：.x-3=±2,

:・x=5或％=1,

••a=5或a=1,

当a=l时，1+3V5,不能构成三角形，不符合题意；

当a=5时，3+5>5,能构成三角形；

a=c=5>

力BC是等腰三角形.

【点睛】本题考查了三角形的三边关系，化简绝对值，等腰三角形的定义，非负数的性质，解题的关键是利

用三角形三边关系得出式子的符号.

【变式51］（2425八年级上•安徽安庆・期中）若一个三角形的三边长分别为2,x,7,化简忱一5|-2氏一12|

的结果是（）

A.—x+19B.3x—29C.-x+7D.-x—29

【答案】B

【分析】本题主要考查了绝对值的化简，三角形的三边关系，整式的加减等知识点，首先根据三角形的三边

关系确定”的取值范围，再去绝对直计算即可解答，熟练掌握三角形的三边关系并能正确得出5<xv9是解

决此题的关键.

【详解】解：•.♦一个三角形的三边长分别为2,x,7,

5<x<9,

*"•|x—5|2\x12|

=x-5+2%-24

=3%-29,

故选:B.

【变式52K2425八年级上♦云南曲靖•期中）已知一个三角形的三边长分别为的三加.化简：|m-2|-|m-l|+

|m-6|.

【答案】5-m

【分析】本题考查三角形的三边关系，绝对值的化简.先由三角形的三边关系得到2<机<6,进而可对绝

对值进行化简.

【详解】解：・・•三角形的三边长分别为2,4,加，

4—2<m<4+2,

即2<m<6»

/.n—2>0,m—1>0,m—6<0,

|tn—2|—|TH—1|+|m—6|

=(TH—2)—(m—1)—(m-6)

=m—2-m+l-771+6

=5—in.

【变式53】(2425八年级上•四川凉山•阶段练习)已知a,b,c为三角形的三边长，化简：\a-b-c\-V

\b-a-c\—\b+c-a|=()

A.Q+c—bB.Q-b-3cC.Q+b+cD.2Q-b

【答案】A

【分析】本题考查三角形的三边关系及化简绝对值，先根据三角形的三边关系得到式子的正负，再化简绝对•

值即可得到答案.

【详解】解：・・・a,b,c为三角形的三边长，

/.fc+c>a,a+c>b,

-b-c<0,b+c-a>0,b-a-c<0,

:.原式=—a+b+c+a+c—b—b—c+a

=a+c—b,

故选：A.

【题型6利用三边关系求最值】

【例6】(2425八年级上•湖北武汉•期中)如图，在△48C中，乙4CB=90。，AC=12,BC=9,。是48上

的一个动点(不与点8重合).点8与点反关于直线PC对称，连接C8',AB',PB1,则线段48'的最小值

是.

【答案】3

【分析】根据题意，得CB'=CB=9,结合C8'+4?Z4C,判定当4夕,C三点共线时，线段八夕取得最小

值，解答即可.

本题考杳了三角形不等式求最值，构造正确的三角形不等式存在的基础三角形是解题的关键.

【详解】解：根据题意，得CB'=CB=9,

•/CB'+AB1>AC,

・•・当力,8',C三点共线时，线段4夕取得最小值

'：AC=12,

•MB'=AC-BC=3,

故答案为：3.

【变式61］（2425七年级下•江苏镇江•期中）如图，在△48。中，BC=3,将△4BC平移5个单位到△4BC',

则8U的最大值等于.

【分析】根据平移的性质和三角形的三边关系即可得到结论.

【详解】解：如图示：连接8V,

A[

B。

•・•将△ABC平移5个单位到^A'B'C,

:・BB'=5,

又BC=3,

・・・B'C'=8C=3,

.•.在△BB'C中,BB'-B'C<BC'<BB'+B'C

即：5-3<Z?C"<5+3

A2<FC'<8

•••BC'的最大值等于8,

故答案是：8.

【点睛】本题考查了平移的性质，三角股的三边关系，熟练掌握平移的性质是解题的关键.

【变式62］（2425八年级上•广东湛江•阶段练习）如图，在△ABC中，AB=3,BC=4,AC=5,D为BC边

上一动点，将△ABD沿AD翻折得到△APD,点B的对应点为点P,连接CP,则CP的最小值为.

【答案】2

【分析】本题考查了三角形三边关系的应用.由折置的性质知4P=48=3,在△4PC中，由三角形三边关

系得。尸>力。一力P,当。在8。选上运动时，总有CP工/。一/1尸，据此求解即可.

【详解】解：由折叠的性质知力P=48=3,

在AAPG3由三角形三边关系得CP>/IC-4尸，

当点P落在AC边」二时，CP=AC-AP,

・•・当。在8c边上运动时，总有CPN4C-AP,

，CP的最小值为CP=AC-AP=5-3=2,

故答案为：2.

【变式63](2425七年级上•江苏盐城•阶段练习)如图，AC=6,8c=8,45=10,点。是平面内一点，

且满足=2CD,则28。+4D的最小值是.

B

K

CA

【答案】16

【分析】本题考查线段之和最小值问题，将28。+4D转化为求2(BD+CD)的最小值，当8、C。在同一直

线上时，最小值为28c.

【详解】解：TAD=2CD,

•・3泊

：.2BD+=2(BC+池)=2(BD+CD)>2BC,

・•・当从C、。在同一直线上时，BO+09有最小值，最小值为8C,BC=S,

：.2BD+4。的最小值为2BC=2x8=16,

故答案为：16.

【题型7利用三边关系取舍值】

【例7】(2425八年级上•新疆乌鲁木齐•阶段练习)用一条长41cm的细绳围成一个三角形，已知此三角形的

第一条边为xcm,第二条边是第一条边的3倍少4cm.

(1)请用含x的式子表示第三条边的长度.

(2)若此三角形恰好是一个等腰三角形，求这个等腰三角形的三边长.

【答案]⑴(45-4x)cm

(2)7cm,17cm,17cm

【分析】(1)依据三角形的第一条边为xcm,第二条边是第一条边的3倍少4cm,即可用含％的式子表示第

三条边的长度.

<2)依据三角形恰好是一个等腰三角形，分三种情况讨论，即可得到这个等腰三角形的三边长.

【详解】（1）解：•・•三角形的第一条边长为xcm,第二条边长比第一条边长的3倍少4cm,

，第二条边长为（3x-4）cm.

第三条边长为41—x—（3%—4）=（45—4x）cm.

（2）解：若％=3x4,则X=2,此时三边长分别为2cm,2cm和37cm,

根据三角形三边关系可知，2,2,37不能组成三角形；

若1=454%,则x=9,此时三边长分别为9cm,9cm和23cm,

根据三角形三边关系可知，9,9,23不能组成三角形；

若3"=454x,则x=7,此时三边长分别为7cm,17cm,17cm,

根据三角形三边关系可知，7,17,17可以组成三角形.

・•・这个等腰三角形的三边长分别为7cm,17cm,17cm.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，解题的关键是根据三角形的三边关系进

行判断.

【变式71］（2425七年级下•河北保定•期中）等腰三角形的两边a、b满足（a-37+|b-8|=0,则该等腰

三角形的周长是（）

A.9B.14C.19D.14或19

【答案】C

【分析】本题考查了等腰三角形的定义，非负数的性质，三角形的三边关系，由非负数的性质得Q=3,b=8,

进而根据三角形的三边关系得a是等腰三角形的底，b是等腰三角形的腰，即可求解，掌握以上知识点是解

题的关键.

【详解】解：•••（a-3）2+g-8|=0,

/.a-3=0,b—8=0,

,a=3,b=8,

V3+3<8,

•••a是等腰三角形的底，匕是等腰三角形的腰，

・••该等腰三角形的周长为8+8+3=19,

故选:C.

【变式72】（2425八年级上•山东德州・期末）用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形，使其一边的长度

为5cm,另外两边的长为.

【答案】7.5cm,7.5cm

【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形三边之间的关系，熟练掌握以上知识，并且分类讨论是

解题的关键.

分两种情况进行讨论：①若5cm的边为底边，②若5cm的边为腰.分别求出另外两边长，再根据三角形三边

之间的关系判断能否组成三角形进行取舍.

【详解】解:①若5cm的边为底边，则腰长为：!(20-5)=7.5cm,

•••5+7.5>7.5,

，此时能构成三角形，

，另两边的长度分别是7.5cm,7.5cm；

②若5cm的边为腰，则另一腰也为5cm,则底边长为：20-5-5=10cm,

•••5+5=10,不满足三角形三边之间的关系，因此5cm的边不能为腰.

综上,另两边的长度分别是7.5cm,7.5cm.

故答案为:7.5cm,7.5cm.

【变式73】(2425七年级下•甘肃兰州•期中)等腰三角形底边长为5cm,一腰上的中线把这个三角形的周长

分为两部分，其差为4cm,则该等腰三角形的腰长为()

A.1cmB.5cmC.9cmD.5cm或9cm

【答案】C

［分析】本题考杳了等腰三角形的性质，设腰长为x,得出方程(2x+x)-(5+x)=4或(54-x)-(2x+x)=

4,求出x后根据三角形三边关系进行验证即可.

【详解】解•：如图，

设腰长为加，一腰的中线为y,

则(2%+%)—(5+%)=4或(5+x)-(2x+x)=4,

解得：x=4.5,x=0.5,

：.2x=9或1,

①△ABC三边长为9、9、1,符合三角形三边关系定理;

②AABC三边是1、I、9,1+1<9,不符合三角形三边关系定理;

所以，该等腰三角形的腰长为9cm,

故选：C.

【题型8利用三边关系证明线段的不等关系】

【例8】（2025八年级上•江苏苏州•专题练习）如图，在A/IBC中，点。在48上，点。在。上.求证：AB+AO

OB+OC.

【答案】见解析

【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，不等式的性质，掌握三角形的任意两边之和大于第三边吗，任

意两边之差小于第三边是解题关键.延长8。交AC于点E,由三角形的三边关系可得EO+EC>OC,AB+

AE>EB,进而得到E8+EC>0C+08,AB+AOEB+EC,即可证明结论.

【详解】证明：延长8。交4C于点E,如图.

在AEOC中，EO+EOOC,

•*-EO+EC+OB>OC+OB，

即EB+EC>OC+OB.

在AABE中，AB+AE>EB,

*'•AB+AE4-EC>EB+EC,

即+4C>EB+EC,

AB+AC>OB+OC.

【变式81】（2425八年级上•安徽合肥・期中）如图，。为△48c的边BC上一点，试判断24。与△48C的周长

之间的大小关系，并加以证明.

见解析

【分析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，即可得出答案.

【详解】证明：•・•在△48。中，AE+BD>AD,

在么"。中,AC+CD>AD,

：.AB+BD+AC+CD>2力。，

即4B+8C+AO24D,

•••△ABC的周长>2AD

【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟记其三边关系是解题的关键.

【变式82］（2425七年级下•江苏苏州•期中）如图，AC,80是四边形/BCD的对角线，且为C,相交于点

O.求证:

（2）AC+BD>^（AB+BC+CD+AD）.

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析】（1）在△480和AC。。中，利用三角形三边关系即可求证结论.

（2）由（1）得，48+。。<力。+BD,在4人。0和4中，利用三角形三边关系可得<0+BC<AC+BD,

利用等量关系即可求证结论.

【详解】（1）证明：：在△ABO和△C0。中，AO+BO>AB,CO+DO>DC,

+CO+BO+DO>AB+DC,即A8+CD<AC+BD.

(2)由(1)得，AB+CD<AC\BD,

同理可得，AD+BC<AC+BD,

：,AB+BC+CD+AD<204c+BD),

即<C+80>^（AB+BC+CD+AD）.

【点睛】本题考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键.

【变式83］（2425八年级上•安徽安庆・期中）已知：如图，点。是△ABC内一点.求证:

（1）8O+COVA8+AC；

（2）八。+8Q+CQVAB+8C+AC.

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析】（1）延长BZ）交AC于E从而找到BQ+CD与AB+4C的中间量BE+CE,再利用不等式的传递性

（若〃<6b<c,则avc.）得出BQ+CO<4B+AC；

（2）同理可得4O+C7X/W+8C,BD+AEXBC+AC,与（I）结论左边加左边，右边加右边，再两边除以2即

可.

【详解】（1）证明：延长4。交4c于£

：.AB-\-AC=AB+AE+CE>BE+CE,

在乙七/)。中，有DE+CE>CD,

：.BE+CE=BD+DE+CE>BD^CD,

：.AB^-AC>BE+CE>BD+CD,

•••8O+COVA3+AC；

(2)解：由(1)同理可得：

8O+CQVA8+AO®,

AD+CD<AB^-BC®,

5Q+AQV5C+40@,

①+②+③得：2（AD+BD+CD）<2（AB+BC+AC），

/.AD+BD+CLXAB+BC+AC.

【点睛】本题考查三角形的三边关系，不等式的性质，能否根据题意添加辅助线和利用不等式的性质是解题

的关键.

【题型9三边关系的应用】

【例9】（2025•江苏无锡•三模）小毛在滑雪场沿着不同路径滑冰.如图中的灰色线条表示4