一元二次不等式及其解法（一）学案-高一数学上册（湘教版）

2.3.1课时1一元二次不等式及其解法（一）

【学习目标】

1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实

意义.（数学抽象）

2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的

解集.（数学运算）

【自主预习】

曰^学忆甩〕

1.不等式/十2>0是一元二次不等式吗?

2.在一元二次不等式的一般形式中，“存0”可以省略吗?

3.若二次函数y=W4的函数值大于零，如何求解x的取值范围?

4.二次函数与一元二次方程的解、一元二次不等式的解集有什么对应关系?

囱自学检测力

1.判断下列结论是否正确.（正确的打“小'，错误的打"x”）

⑴若6/>0,则一元二次不等式以2+]无解.（）

（2）若一元二次方程0¥2+必+0=（）的两根分别为片，为（即<工2）,则一元二次不等式

aF+Zn+cvO的解集为｛.T[M<X<X2).)

(3)不等式x22x+3>0的解集为R.()

2.(多选题)下列关于x的不等式中，一定为一元二次不等式的是().

A.3x+4<0B.xB2+/?t¥l>0

C.ax2+4.¥7>0D.xD2<0

3.不等式(2/5)。+3)<0的解集为

4.不等式f<2的解集是.

【合作探究】

探究1一元二次不等式

回情境设

观察下列不等式：

(1)^>0；(2)炉2烂0；(3)炉5工+6>0.

问题1：它们含有几个未知数?未知数的最高次数是多少?

问题2：上述三个不等式在表达形式上有何共同特点？

由新知生成力

1.一元二次不等式

把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等

式.一元二次不等式的一般形式是Q/2+〃x+c>()或4/2+以+C<(),其中〃，。均

为常数，。知.

2.解一元二次不等式的步骤

(1)确定对应一元二次方程ax2+bx+c=O(a>0)WM;

(2)画出对应二次函数y=ax1+公+以。>0)的大致图象；

(3)由图象得出不等式的解集.

设二次函数y=ax2+bx+c(a>0),一元二次方程

ax2+bx+c=()的判别式A=b24ac

判别式A>0A=0A<0

有两个不相等的实有两个相等的实没有实数

求方程y=0的解

解不数根X|,X2(Xi<X2)数根X|=X2=根

等式画二次函数

"°y=ax?十bx十c(a>0)的图象

或

{xx£R且

{x|x<Xl

y<°y>0

的中得不等式的解或X>X2)

骤集

{x|xi<x

y<000

<X2}

处新知运用上

一、不含参数的一元二次不等式的解法

例1解下列不等式:

(l)2x23x2>0；

(2)3x2+6.r2>0；

(3)4x24.r+l<0；

(4)x22v+2>0.

【方法总结】解一元二次不等式的一般步骤：(I)通过对不等式变形，使二次项系

数大丁零；(2)计算对应方程的判别式；(3)求出相应的一元二次方程的实数根，或

根据判别式说明方程没有实数根；(4)根据函数图象与x轴的位置关系写出不等

式的解集.

巩固训练解下列不等式：

(l)2/x+6>0；

(2)x26x+9<0；

(3)A(7X)>0.

【方法总结】1.一元二次不等式ax2+bx+c>0(a#0)的解集的端点值是一元二次方程

ax2+bx+c=0的根，也是函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标.

2.二次函数y=ax2+bx+c的图象，在x轴上方的部分所对应的x的值满足不等式

ax2+bx+c>0；在x轴下方的部分所对应的x的值满足不等式ax2+bx+c<().

巩固训练已知关于x的不等式ox2+5x+c>0的解集为{|；VxV斗

(1)求〃，c的值；

(2)解关于x的不等式GX2+(ac+2)x+2c>0.

【随堂检测】

1.不等式3P2x+l>()的解集为().

A.x[11)B.xB{||<x<1)

C.0D.RD

2.若关于A-的不等式加+辰IK)的解集是卜卜阊，则实数。=().

A.6B.B5

C.1D.6

3.若关于x的不等式(犬+1)(戈3)<〃?的解集为3()<x<〃},则实数n的值为

4.解关于工的不等式炉+(1〃).必<0.

参考答案

2.3.1课时1一元二次不等式及其解法(一)

自主预习

预学忆思

1.不是，一元二次不等式一定为整式不等式.

2.不可以，若。=0,则不是二次不等式了.

3.结合二次函数的图象求解，可得x的取值范围为x<2或x>2.

4.可以借助二次函数的图象分析，二次函数的图象与x轴交点的横坐标就是相应

一元二次方程的实数根，二次函数图象与x轴的位置关系可确定一元二次不等式

的解集.

自学检测

1.⑴x(2)x⑶4

2.BD【解析】由于。可能为0,故苏+43〉0不一定是一元二次不等式；

炉+加才1>0,一定是一元二次不等式；3x+4〈0是一次不等式.故选BD.

/535

工1<<-

<1-X7

>1-

4.｛工阵<¥<々｝【解析】由得(Wl)(x+\②<0,解得々<x<

合作探究

探究1情境设置

问题1：它们都只含有一个未知数，未知数的最高次数都是2.

问题2：形如o^+bx+oO或办2+Z?x+c、<0,其中a,b,。为常数，且存0.

新知运用

例I【解析】(1)方程办四加二。的解是M=4，也=2.

因为函数图象是开口向上的抛物线，如图。所示，

-

2

图

1

<5或

所以原不等式的解集是相~>2

(2)不等式可化为3/6尤+2v().

因为方程3/6戈+2=0的解是制=号X2=l+y,

且函数y=3/6x+2的图象是开口向上的抛物线，所以原不等式的解集是「IL

学vx<l+鄂

(3)方程4/41+1=0的解是xi=X2=;，函数y=4x24.v+1的图象是开口向上的抛物线,

如图②所示，所以原不等式的解集是r|x=；｝.

图②

(4)因为9公+2=0的判别式/<0,

所以方程f2叶2=()无实数根.又因为函数产(2壮2的图象是开口向上的抛物线,

如图③所示，所以原不等式的解集为R.

巩固训练【解析】

⑴丁方程2%%+6=0的判别式/=(1)24X2X6<0,

・：函数)=2A+6的图象开口向上，与x轴无交点(如图④.观察图象可得原不等

式的解集为R.

(2)x26x+9<0,即(工3)女0,•：原不等式的解集为｛加=3｝.

(3)原不等式可化为x(x7)v(),方程x(x7)=0的两根分别是犬尸0,X2=7,

函数产矣7)的图象是开口向一1.的抛物线，

与x轴有(0,0),(7,0)两个交点(如图②

观察图象，可得原不等式的解集为3()4<7｝.

例2【解析】原不等式转化为。2々)(犬+〃)<0,对应的一元二次方程的根分别为

xi=2d,X2=a.

2a>a,即a>0时，不等式的解集为｛x|〃<x<2a｝；

②当2a=a,即。=0时，原不等式化为好<0,无解；

2a<at即4Vo时，不等式的解集为｛x|2a<x<a｝.

综上所述，当。>0时，原不等式的解集为｛x|avx<2〃)；当〃=0时，原不等式的

解集为0;当。<0时，原不等式的解集为｛x|2a<x<〃｝.

巩固训练【解析】*二原不等式移项，得以2+(〃2)犬2N0,

化简为(X+D32巨0.

:ZvO,.^(x+l)(x-)<0.

•:当2<。<0时，2人1；

当4=2时，x=];

当。<2时，屋.

综上所述，当2<〃<0时，解集为｛523x4」｝；

当。=2时,解集为｛加=1｝；

当〃<2时，解集为｛匚LlWxW；｝.

探究2

1<<

例3【解析】丁原不等式的解集为｛口_5-X-

・42是关于x的方程cu^+bx+c^的两个根，且a<0.

由根与系数的关系得二二，

g)x2一

,5

—

一-

即1

43

1二2

I5

：'〃<(),,：不等式cx2+bx+a<0可化为-f+-x+l>0,即/9+1>(),化简得

Z¥2+5X3<0,则(2vl>(x+3)v0,解得3Vx<；,

・：关于x的不等式用+法+公。的解集为「1.3VxV%

巩固训练【解析】⑴由题意知，不等式对应的方程&F+5犬+。=0的两个实数根

分别为:和;，

由根与系数的关系得{鼻之；'解得上Z4

(2)由。=6,c=l知，关于x的不等式o^+Sc+ZM+ZcK)可化为6x2+8x2>0»即

3^+1<0,解得叁0,所以原不等式的解集为{」|yxWl}.