圆的方程-2026高三一轮复习讲与练

8.3圆的方程

'考试要求

1.理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程.

2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.

座备知识回顾自主学习•息班回扣

教材回扣

1.圆的方程

(1)圆的定义：平面上到友京的距禽等于友贵的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称

为圆的半径.

(2)圆的标准方程：我们把方程(x—aP+(y—6)2=/%>0)称为圆心为(a,t),半径为上的圆

的标准方程.当a=b=O时，方程为f+)2=/2。>0),表示以原点。为圆心，厂为半径的圆.

(3)圆的一般方程：对方程/+炉+。=+砂+/=0,配方得到k+2F+b+92=

。2+1一4厂

4

①当02+£2—4Q0归，该方程表示以［二于二］为圆心，；一+。—4/7为半径的巩

该方程叫做圆的一般方程；

②当。2+炉一4尸=0时，该方程表示点(一2,-2)：

③当召<0时，该方程不表示任何图形.

2.点与圆的位置关系

已知圆C：(》一4)2+0—与2=/S>0),点P(xo,泗)，设d=|PC|=(xo-a)2+(yo-6)2.

位置d与，•的点尸的坐标

图示

关系大小关系满足条件

点在(M)-G二十

d>r

圆外(血一次〉)，

点在(xo-a)2+

d=r

圆上(y)—b)2=r

区(

点在(xo-a)2+

d<r

圆内L(yo-h)2<r

教材拓展

/=CWO,

1.一元一次方程4r2十囱y+cy+Ox十■尸=0表示圆，则上二。，

卜+£2-4力。().

2.圆的“直径式”方程：以力(xi,巾)，4(x2,及)为直径端点的圆的方程为(x—xi)Q—X2)

+Cy—yi)0,-^2)=0.

x=a~\~rcos8,

3.圆的参数方程：圆心为g,以半径为〃的圆的参数方程为，其中。

y=/>+rsin8,

为参数.该方程可用来设圆上的点的坐标.

4.阿波罗尼斯圆：古希腊数学家阿波罗尼斯发现，平面内到两个定点力，4的距离之比

为定值2(2>0且AW1)的点所形成的图形是圆，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼

斯圆.

基础检测

D----

1.判断(正确的画“J”，错误的画“X”)

(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.(J)

(2)。-2)2+什+1)2=。2(4£0)表示以(2,1)为圆心，。为半径的圆.(X)

(3)已知圆的方程为/-2\+廿=0,过点4(1,2)可作该圆的两条切线.(J)

(4)若点M(xo,泗)在圆x2+产+Dx-\-Ey~\-F=0外，则xi+用+Dxo+Eyo+F>0.(J)

2.(人教A版选择性必修第一册P85Tl改编)已知圆的圆心为(一3,4),半径为5,则它

的方程为(C)

A.(x-3)2+O-4)2=5

B.(x+3)2+(y+4)2=25

C.(x+3)2+(y-4)2=25

D.(%+3)2+(>—4)2=5

解析：因为圆心为(一3,4),半径为5,所以圆的标准方程为(人+3)2+&-4>=25.故选

C.

3.(人教A版选择性必修第一册PIO2T7改编)若方程9+产+叙+2)，一机=0表示一个圆，

则小的取值范围是(B)

A.(-8,-5)B.(-5,+8)

C.(一8,5)D.(5,+8)

解析：因为方程/+)2+4.\+2)，一〃?=0表示一1个圆，所以42+22+4加>0,解得〃?>—5,

即用的取值范围为(一5,+8).故选B.

4.(人教A版选择性必修第一册P85T2改编)已知点(1,1)在圆炉十尸十ax十。=0外，则

实数。的取值范围为(C)

A.(-1,+8)

B.(-1,0)

C.(-1,0)U(4,+-)

D.(一8,0)U(4,4-oo)

la2—4a>0,

解析：因为点(1,1)在圆r+jR+ax+quO夕卜，所以「解得(一

|l2+l2+aXi+a>0,

I,0)U(4.+8).故选c.

母键能力提升互动探究•考点林讲

考点1圆的方程

【例I】(1)(2024•山东聊城三模)已知圆。与两坐标轴及直线x+y—2=0都相切，且圆

心在第二象限，则圆C的方程为(D)

A.(x+2)2+&-2)2=2

B.(x-2)2+(y+2/=2

C.(x-2)2+3+2尸2

D.(x+2)2+8—2产=2

【解析】由题意设圆。的方程为(工一。)2+8—6)2=/(0<0,/)>0,,>0),

\a\=\b\=rt

则［q+〃-2|=即

2

解得。=-4=厂=2,所以圆。的方程为2)2+0，—2y=2.故选D.

(2)(2024•吉林长春三模)经过4(1,1),仅一1,1),C(0,2)三点的圆的方程为(C)

A.(x+l)2+(v-l)2=2

B.(x-l)2+(y~l)2=2

C.x2+(y-l)2=l

D./+&+i)2=i

【解析】设经过4B,。三点的圆的方程为x2+y2+Dr+&,+/7=o,由题意可得

1+1+Q+E+尸=0,£)=0,

1+1-O+E+尸=0,解得石=一2,

4+2E+/=0,F=0,

所以经过小B,。三点的圆的方程为炉+产-2＞，=0,即9+8-])2=|故选c.

/规律总结

求圆的方程的常用方法

(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程.

(2)待定系数法

①若已知条件与圆心S，力和半径,•有关，则设圆的标准方程，求出明儿,•的值:

/规律总结

求与圆有关的轨迹问题的常用方法

(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.

(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程.

(3)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.

【对点训练2】(1)平面上一动点尸满足|PMF+|PM2=6,且M—l,0),Ml，0),则

动点P的轨迹方程为(C)

A.(x+l)2+/=3B.(x-l)2+y=3

C.x2+/=2D.(+产3

解析：设尸(X,y)f由1PM2+『N|2=6,所以(》+1)2+产+。-1)2+炉=6,整理得(十产

=2,即动点。的航迹方程为/+产=2.故选C.

(2)已知圆Cx2+/=3,直线/过点力(-2,0),线段力4的端点8在圆。上运动，则线

段的中点M的轨迹方程为(B)

A.(X-1)2+产;

B.(x+1)2+V=：

C.9+什_])2=3

4

4

D.(x+])2+y2=3

xo—2

x=

2

XO=2A+2,

解析：设M(x,y),3(孙冲),由点”是48的中点，得

、,一次+0),o=2y,

2

又点4在圆C上运动，所以君+讨=3,将上式代入可得(2x+2)2+(2y)2=3,化简整理得点M

的就迹方程为(》+1)2+炉=:.故选B.

考点3与圆有关的最值问题

命题角度1利用几何性质求最值

【例3】已知实数X,y满足方程f+V—4x+l=0.求：

(1-的最大值和最小值；

X

(2)y-x的最小值；

(3)炉+产的最大值和最小值.

【解】(1)如图，方程炉+/一4x+1=0,即(x—2)?+产=3表示以点(2,0)为圆心，3

为半径的圆.设即『=日。/0),则圆心(2,0)到直线歹=履(入华0)的距离为半径时直线

x

与圆相切，斜率取得最大、最小值.

.vK#O)

由W=3,解得后=3,

1+代

••&max-3,A;min——3・

.E/JI=一

3.

(2)设哽r=/),则1，而Q+6当且仅当直线与圆相切于第四象限时，横距上取最

小值，由点到直线的距离公式，得'+"=3,即力=一2±6,故(y—x)min=-2—6.

2

(3)A，+JR是圆上的点与原点的距离的平方，

设圆与X轴相交于点〃和(7(点8在点C左侧)，如图，则(N+V)max=|OC|2=(2+3)2

=7+43,

2222

(x+y)min=|6>B|=(2-3)=7~43.

命题角度2利用函数求最值

【例4】若点。在抛物线V=x上，点。在圆M：(x-3)2+/=l±,则|PQ的最小值

为(D)

A.3-1B.10-1

2

C.2D.H-1

2

【解析】设乂))，由。—3)2+产=1可知圆心坐标为"(3,0),半径r=l,则|PM

=(同-3)24-yo=(弱)2—5)兄+9=1021+”.因此|PM的最小值为“，从而|尸。|

42

的最小值为“一1.故选D.

2

与圆有关的最值问题的求解方法

⑴借助几何性质求最值：形如〃=厂”，尸。二+勿，(工一4+什一份2的式子的最值问题.

x-a

(2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特

征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值.

(3)求解形如IPM+IP川(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本

思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线

段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.

【对点训练3](1)(多选)已知实数x,y满足方程「+产―4)，+1=0,则下列说法正确

的是(AC)

A.y—x的最大值为6+2

B.xN+y2的最大值为2+3

C.x+y的最大值为6+2

D.>'的最大值为?

x3

解析：方程/+/-4)，+1=0可化为/+8-2)2=3,表示圆，设圆的圆心为M,半径入

可得圆心坐标为M(0,2),半径为,•=3,设y—x=f,即x一歹+/=0,由广2+化3,解得

2

—6+2W/W6+2,即y—x的最大值为6+2,所以A正确；/+/=[(x—0)2+(j^—0)2]2,

表示原点到圆上点的距离的平方，又|OM=2,则.r+炉的最大值为2+3,所以/+产的

最大值为(2+3)2,所以B错误；设x+y=〃，即x+y—〃=(),由,"丫3,解得一6+

2

2W/iW6+2,即x+y的最大值为6+2,所以C正确：设'=上即去一y=O(xWO),由

x

-21W3,解得右3或右一3所以D错误.故选AC.

A"133

(2)已知》2+产+、+歹=0,则x+y的取值范围为[—2,()|.

解析：/+炉+工+丁=()化为[+2)2+/+2)2=；表示以(一2'-2)为圆心，；为半

1_1

22

径的圆，令x+y=/,即x+y—/=0,由题可知，直线和圆有公共点，所以2

2s

即|/十1|01,解得一2WZW0,即x+y的取值范围为[一2,0].

口高考创新方向多想少算

22

【例】已知实数mb满足a+h—\a\—\b\=0(af6不同时为0),则心+右一3|的最小

值与最大值之和为(C)

A.4B.5

C.6D.7

【解析】易知点(a,5)在曲线C:f+p—凶一例=0,,y不同时为0)上，当x20且>20

时，曲线方程可化为r+下一x->,=o,即("―2产+/―2)2=；,该曲线是以2)为圆心，；

为半径的圆在第一象限及x轴、)，轴的正半轴上的部分.根据对称性可知曲线C：x2+y2-\x\

一"|=()既关于原点对称，又关于x轴、y轴对称，而+6—”表示曲线。上的点(〃，b)

2

到直线/:x+.y—3=0的距离，如图所示，当点(a,6)位于点力时，距离最小，当点(a,6)位

l，+，-3|

于点8时，距离最大，易求得力点的坐标为(1,1),Jmin==?,则|a+8-31mh=1,

22

易求得4点的坐标为(一1,-1),4皿』一1-1一31=5.2,则心+力-31nm=5,故|〃+方一3|

24

的最小值与最大值之和为1+5=6.故选C.

创新解读

本题本质上考查了直线和圆的位置关系、点到直线的距离公式，但是题目设置上需要学

生对题干条件进行转化后，才能利用已有知识解决.本题落实通过“材料信息的丰富性、试

题要素的灵活性”的高考命题改革要求，引导学生提升思维品质，减少死记硬背和机械化刷

题.

课时作业55

▲j亚基础巩固.

,—2—1o31

1.（5分）若'''4'j,则方程W+炉+冰+2”+242+〃-1=0表示的

圆的个数为（B）

A.1B.2

C.3D.4

解析：若方程厂十尸十盯+2"+2a2+〃一1=0表示圆，«.)a2+(2a)2-4(2a2+a-l)=-

*7—2—]()3]

3。2—4a+4>0=(3a—2)(。+2)<0,解得一Zv。/，又'4*J,所以“=-1

或4=0,即方程x2+jR+”+2“y+勿2+“-1=。表示的圆的个数为2.故选B.

2.(5分)点(一I,一1)在圆(x+ap+U，-")2=4的内部，则。的取值范围是(A)

A.—1<a<1B.0<a<1

C.〃v—1或D.”=±1

解析：因为点(一1,-1)在圆(x+a)2+(y—Q)2=4的内部,所以(一1+42+(一1一“六明

化简得/<],解得一Ivqvl.故选A.

3.(5分)已知0(0,0),A(3,0),动点P(x,V)满足，4=2，则动点尸的轨迹方程为

(C)

A.(x-1/+炉=4

B./+3+1y=4

C.(x+l)2+/=4

D.(x+1)2+8+1产4

解析：由题可知|/到2=4|尸0|2,所以(工一3)2+/=4(工2十/)，化简得(X十1)2十V=4.故选

c.

4.(5分)已知圆历过点0((),0),题2,()),8(2,-2),则圆M的标准方程是(A)

A.(X—1)2+0+1)2=2

B.(x~l)2+(y~l)2=2

C.(x+l)2+(y+1)2=2

D.(x+l)2+(y-1产2

解析：由0(0,0),A(2,0)在圆M上，故圆心在直线x=1上，由4(2,0),BQ,-2)

在圆M上，故圆心在直线)，=一1上，即圆心-1),半径r=12+12=2,故圆M的

方程为(x-1)2+8+1)2=2.故选A.

5.(5分)已知点力,4在直线/：x—2y—2=()上运动，且|力用=25,点C在圆"+1户

+产=5上，则△48C的面积的最大值为(A)

A.8B.5

C.2D.1

解析：设圆心到直线的距离为d,C到直线的距离为力，又圆心坐标为(一1,0),则4=

-1-2|=3,又半径为5,则当"最大时，di=d+5=3+5,此时△48C面积也最大，

555

(SA43C)max=；X25x[5+5)=8.故选A.

6.(5分)在平面直角坐标系中，四点坐标分别为4(2,0),B(3,2—3),C(L2+

3),。(4,a),若它们都在同一个圆周上，则a的值为(C)

A.0B.1

C.2D.3

解析：设圆的方程为x2+/+Qx+£)，+产=0,由题总得

22+2。十产=0,

32+(2—3)2+3。+(2—3)石+产=0,

12+(2+3)2+。+(2+3)£+/=0,

D=-4,

解得出=_4,所以r+产一以一4)，+4=0,又因为点。(4,〃)在圆上，所以，+〃2

尸=4,

-4X4—4。+4=0,解得口=2.故选C.

7.(6分)(多选)已知方程/+炉一公+8)，+24=0,则下列说法正确的是(BCD)

A.当a=10时，表示圆心为(2,—4)的圆

B.当avlO时,表示圆心为(2,—4)的圆

C.当a=0时，表示的圆的半径为25

D.当。=8时，表示的圆与y轴相切

解析：由题意，方程(+/一如+8旷+24=0可化为U—2)2+G+4)2=20—2%当〃=10

时，20—2a=0,方程不表示圆，所以A错误：当。<10时，20—2a>0,方程表示圆心为(2,

一4)的圆，所以B正确；当a=0时，方程表示的圆的半径为25,所以C正确；当〃=8时，

可得20—2〃=4,方程表示的圆的半径为2,又圆心坐标为(2,-4),所以圆心到y轴的距离

等于半径，所以圆与y轴相切，所以D正确.故选BCD.

8.（6分）（多选）圆C：。-2）2+炉=1,点尸（加，〃）为圆。上的动点，则下列结论正确

的是（AC）

A.〃的最大值为3

m3

B.〃,+/的最大值为3

C.〃产+〃2的最大值为9

D.〃无最大值

m

解析：如图，圆C:。-2）2+产=1的圆心为C（2,0）,半径为厂=1,设k=〃（〃】W0）,则

m

km-n=0,因为点。在圆上，所以24wi,解得一ZkS3,故”的取值范围是

1+333m

_33

-3'3」，故A正确，D错误；因为小+层的几何意义为点p到原点距离的平方，义点、p

到原点的距离的取值范围为[1,3],所以〃户+〃2的取值范围为口，9],故〃?2+〃2的最大值为

9.故B错误.C正确.故选AC

9.（5分）点月（一2,2）为圆C（x—2）2+。-〃）2=16上一点，点8在圆。上运动，点

M满足石/=1施，则点M的轨迹方程为』+（I--21=4W.

2

解析；因为点以一2,2）在圆上，所以（一2—2）2+（2—4）?=16,解得a=2.设点M（x,y）,

8（xo,泗）,则由五M=：位可得（x+2,卜一2）=；（&+2,为一2）,解得xo=2x+2,yo=2y~2,

又因为点8（x0,刃）满足圆的方程，代入可得（2Y+2—2）2+（2y—2-2尸=16,化简得r+什一

2尸4.

1（）.（5分）（2024•江西九江二模）欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首

次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线.这条线称为三角形的欧拉线.已知力（0,2）,

8（4,2）,C（a,-1）,且△川%为圆/+产+a+4=0的内接三角形，则△48。的欧拉线

方程为£=1.

22_|-2F=0lE=—4

解析：依题意，'解得'所以圆的方程为r+正一4》-2^

l424-224-4£4-2F=0,lF=-2,

=0,即*-2）2+°，-1）2=5,故圆心坐标为（2,1）,即△/8C的外心坐标为（2,1）,AABC

卜+4]?+4]

的重心坐标为〔3'J,又点（2,1）,I3'J均在直线y=l上，所以△ABC的欧拉线方

程为y=\.

11.（16分）已知圆C的圆心为直线x+y—2=0与直线3,LJ，-6=0的交点，且圆。的

半径为5.

(1)求圆C的标准方程；

(2)若点尸为圆C上任意一点，M8,0),点。满足加=2的，求点。的轨迹方程.

,x+y-2=0,卜=2,

解：(1)由解得■则圆心为(2,0),半径为5,

3x—y—6=0,卜=0,

所以圆C的标准方程为(》-2)2+产=5.

(2)设P(xo,>,o),G(x,y).

ffTo=2x—8,

由PM=2QW,可得(8—xo,-y)=2(8-x-y)则，又点P在圆C上，

099仇=2y,

所以(xo—2>+历=5,即(2丫-10产+4/=5,

化简得(x—5)2+y2=；,

所以点Q的枕迹方程为。-5)2+产=5.

4

12.(17分)已知圆。的方程为x2+y-2x+4y—/〃=().

(1)若点4(m，一2)在圆。的内部,求〃?的取值范围：

(2)当加=4时，设P(x,用为圆。上的一个动点,求(x—4)2+(y—2)2的最小值.

解：(1)圆C的方程即。-1)2+8+2)2=5+，〃，所以小>一5,

再根据点/(〃?，-2)在圆。的内部，可得(/〃一1尸+(—2+2)2<5+/〃，

解得一|v〃?<4.

(2)当m=4时，圆C的方程即。-1)2+3+2)2=5+4=9,而。-4)2+什一2户表示圆C

上的点、P(x,y)到点”(4,2)的距离的平方，由于|"C|=(4-1,+(2+2)2=5,故(4一4尸+。

一2下的最小值为(5—3产=4.

以素养提升.

13.(5分)(2024•陕西商洛三模)已知产(xo,泗)是圆C：x2+y2—2t—2y+l=0上任意

一点，则川+1的最大值为(D)

xo~3

A.-2B.-1

2

-4-7-4+7

33

解析：设4=y°+%xo+3),变形可得©xo—3)一加一1=0,处严+1的几何意义为直线,/(x

xo~3%―3

一3)—y—l=0(xW3)的斜率，圆C:炉+/一2.丫一29+1=0即(x—lA+O,-1)2=1,所以圆C

的圆心为(1,1),半径为1,因为P(xo,yo)是圆C：/+/一2》一2)>+1=0上任意一点，所以圆

C与直线网工-3)一》—1=0。工3)有公共点，即圆心C(l,1)到直线任丫-3)—y-l=0(x#3)

的距离不大于圆。的半径，所以0—3)1一1卜1,解得一4一7W旧一4+7,档+1的

*