一元一次方程（ 北京专用）-2024北京版七年级数学上册【带答案】

专题08一元一次方程

布2大高频考点概览

考点01方程的解与解一元一次方程

考点02一元一次方程的实际应用

方程的解切解一元一次方富

一、单选题

（24-25七上•北京房山区•期中）

1.若阳二〃，则下列等式不一定成立的是（）

mn

A.fna=naB.，■-C.m+a=n+aD.m-a-n-a

二、填空题

（23-24七上•北京通州区•期中）

2.按下面的程序计算，若开始输入的值x为正整数，最后输出的结果为45,则满足条件的

x的所有值是.

输入r

将计

结果

值给值

再次

计算

输出结果

三、解答题

（24-25七上•北京房山区•期中）

3.解方程：x+6=10-3A.

（24-25七上•北京房山区•期中）

4.解方程：2x-（x-10）=5x+2（x-1）.

一二-兀次为界的攻际应用

一、解答题

试卷第1页，共4页

⑵-24七上•北京房山区•期中）

5.为了更好地使用和节约水资源，自2014年5月1日起，北京市居民生活用水开始实施阶

梯水价，下表为北京市居民用水（自来水）水费收费标准：

价格组成（单位：元/立方米）

每户年用水量水单价（单位：元/立

阶梯

（单位：立方米）方米）

水费水资源费污水处理费

第一阶梯0-180（含180）52.071.571.36

第二阶梯180〜260（含260）74.071.571.36

第三阶梯260以上96.071.571.36

例如，某用户的年用水量为300立方米，按三阶梯计量应缴纳水费为：

5x180+7x（260-180）+Ox（300-260）=1820（元）.

请解答以下问题：

（1）如果A用户的年用水量为100立方米，则A用户需缴纳的水费为元；

（2）如果8用户一年缴纳的水费为1040元，则3用户该年用水量为立方米；

（3）如果。用户的年用水量为。（a>260）立方米，求。用户该年应缴纳水费多少元？（用

含。的代数式表示，并化简）

（24-25七上•北京大峪中学•期中）

6.定义：数轴上尸、0、M、N表示的数分别为p、4、心、〃.若点M到点尸、。中一个点

的距离与点N到点P、0口另一个点的距离之和等于点M与点N之间的距离，我们就称

（，W,N）是（尸,0）的调和点对.例如，如图，点P、。、材、N表示的数分别为-1,-4,

-1.5,-3.此时，QN=1,MN=1.5,因此，点尸、。、时、N满足QN+PM=MN,称（V,N）

是（P,。）的调和点对.

QNMP

—।~4-i1——।——।——।——।——।——>

-5-4-3-2-1012345

请根据上述材料解决下面问题：

在数轴上点44表示的数分别为°、力，且°、力满足。+4+（8・8）:0,

（1）«=;b=;

试卷第2页，共4页

(2)点E、F、G、〃表示的数分别为-5,-3,3,7,其中可以组成(48)的调和点对的是

(3)若点尸从点A以每秒4个单位长度向右运动，同时点。从点8以每秒1个单位长度向左运

动，当点。到达点A时，点P、。同时停止运动.设点。的运动时间为/秒(/>0),当(RQ)

为(48)的调和点对时，直接写出，的值.

(24-25七上•北京石景山京源学校•期中)

7.A,8,。为数轴上三点，若点。到A的距离是点C到8的距离的2倍，我们就称点。

是［A,B］的好点.

例如，如图①，点A表示的数为-1,点8表示的数为2,点。表示的数为1,点C到点A的

距点是2,到点8的距离是1,那么点。是【A,8］的好点.又如，点。表示的数为0,

点。到点A的距离是1.到点8的距离是2,那么点。就不是【A,8］的好点，但点Q是

【8,A】的好点.

如图②，M,N为数轴上两点，点/表示的数为・2,点N表示的为4.

8

I4D

II

37O

-2-12-

①

MN

—।----1------1-----1——।——।----1_

-3-2-101234

②

AP-B

-20640^

③

(1)数表示的点是【历，N1的好点.

(2)如图⑤，A,6为数轴上两点，点A表示的数为-20,点6表示的数为40,现有一只蚂

蚁P从点8出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止.当Z为何值时，P,A

和8中恰有一个点为其余两点的好点？

(24-25七上•北京房山区•期中)

8.对于数轴上的A,8,。三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好

满足2倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“唯美点”、例如，数轴上点A、B,。所表

示的数分别为0,2,3,比时点4是点A,。的“唯美点”.

试卷第3页，共4页

1.B

【分析】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或

减去同一个数或整式，等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式仍然成立；等式

两边同时除以一个不为零的数字或式子等式仍然成立.

【详解】解：A、若，〃=〃，则原式成立，不符合题意；

B、当。=0时，加■”不成立，符合题意；

aa

C、若〃?二〃，则〃i+a=〃+a,原式成立，不符合题意；

D、若〃?二〃，则〃=原式成立，不符合题意；

故选:B.

2.3,9,21

【分析1本题主要考查了解方程的能力，注意理解题意与逆向思维的应用是解题的关键.

【详解】解：若2x+3=45,则x=21,

若2x+3=2L则：x=9,

若2x+3=9,则：x=3,

故满足条件的X的值是3或9或21.

故答案为：3或9或21.

3.x=1

【分析】本题主要考查了解一元一次方程，按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方

程即可.

【详解】解：x+6=10-3x

移项得：x+3x=10-6,

合并同类项得：4x=4,

系数化为1得：x=1.

4.x=2

【分析】本题主要考查了解一元一次方程，先去括号，再移项，合并同类项，最后化系数

为1即可.

【详解】解：2x-(x-10)=5x+2(.r-l)

2x-x+10=5x+2x-2

2x-x-5x-2x=-10-2

答案第1页，共8页

-6x=-12

x=2

5.（1）500

（2）200

（3）C用户该年应缴纳水费（94-880）元

【分析】本题考直了一元一次方程的应用：

（1）利用单价乘以水量即可；

（2）首先得出所用自来水的范围，设未知数、根据等量关系列方程即可;

（3）根据数量关系，列出算式即可；

解题的关键是明确题意，找准数量关系，列出方程.

【详解】⑴解：5x100=500（元），

答：则A用户需缴纳的水费为500元，

故答案为:500.

（2）180x5+（260-180）x7=1460（元），

则使用自来水260立方米时，应缴纳：1460元＞1040元，

设8用户该年用水量为x立方米，

则180*5+（x-180）x7=1040,

解得：X=200,

答：8用户该年用水量为200立方米，

故答案为:200.

（3）180x5=900,

（260-180）x7=560,

9（。-260）=9。-2340,

900+560+（9。-2340）

=1460+9。・2340

=9"-880,

答：C用户该年应缴纳水费（9―880）元.

6.（1）-4,8

答案第2页，共8页

⑵（AG）

6

13）「或I=6

【分析】（1）根据非负数的性质即可求得。、人的值；

（2）根据两点之间的距离分别求出产小BG、GF,进而根据调和点对的定义即可求解：

（3）分点尸在8点的左边与点8的右边两种情况分类讨论，根据新定义列出方程即可求解;

本题考查了数轴上两点的距离，非负数的性质，一元一次方程的应用，理解新定义是解题的

关键.

【详解】⑴解：•.•|。+4+38『=0,

:a+4=0,6・8=0,

解得夕--4,力=8,

故答案为：-4.g：

（2）解：解:如图所示，

G8

•i•»•1

--

234568

行

打18G8356

:一===

一-

・1

:（匕G）是（4,8）的调和点对,

故答案为：（£G）；

（3）解：由题意，，秒后点尸对应的数为-4+4/,点。对应的数为8-/,

,•,当点。到达点A时，点P、。同时停止运动，

...”巴旦12.

:0</<12,

•••（R。）为（4B）的调和点对,

:PA+QB=PQ或04+PB=PQ,

①当P在8点的左侧时：

当产4+08=尸0时，贝lJ>4+4/-(-4)+8-(8-/)=(8-/)-(-4+4/),

APQB

IITI»

解得L：；

答案第3页，共8页

当0%+尸3=P0时，贝l」8-f-(-4)+8-(-4+4/)=(-4+4。-(8・。，

AQPB

----------------->------------------->—>

解得，=：,

IgIff

••当=4时，4x^=|04.此时尸在点4的右侧，不合题意；

②当尸在点。的右侧时，Q/1+PB二PQ,

贝I]8T・(-4)+(-4+4/)・8=(-4+4r)-(8-/),

解得/=6；

AQBP

综上所述,，-(或，=6.

7.(1)10或2；

(2)当/=15或10或20时，点P,A和8中恰有一个点为其余两点的好点

【分析】(1)设【M,N】的好点表示的数是x,根据定义可以列出关于x的方程，解方程

求出x的值即可；

(2)当运动/秒时，点尸表示的数为40-2/,因为点P,A和4中恰有一个点为其余两点的好

点，所以本题要分6种情况进行讨论，根据材料中提供的定义列方程求出/的值即可.

【详解】(1)解：设【V,N】的好点表示的数是x,

根据题意可得:|r-(-2)|=2[r-4|,

整理得：卜+2|=2k-4|,

：x+2=2(x-4)或x+2=-2(x・4),

解方程¥+2=2(x-4),

可得：x=1(),

解方程x+2=-2(x-4),

可得：x=2,

:数10或2表示的点是IM,N】的好点，

故答案是：10或2：

答案第4页，共8页

（2）解：当运动/秒时，点尸表示的数为40-2/,

Q蚂蚁P从点4出发，到达点A停止，

：0<2/<40-（-20）,

解得:0<Z<30,

①当点A是1P,B】的好点时，

根据题意得：卜20—（40—2/）|=2x|-20-4C|,

解得：/二90或/=-30,

不符合题意；

②当点A是【8,P］的好点时，

根据题意得：卜20—叫=2x-20-^40-2/）|,

解得：f=15或f=45（不符合题意，舍去），

:当Z=15时，点A是［4,P］的好点；

③当点尸是【A,8］的好点时，

根据题意得：|4O—2/-（-20）|=2X（40-2/-<|,

解得：/=10或1=-30（不符合题意，舍去），

:当/=10时，点。是【A,8】的好点；

④当点P是【“，A】的好点时，

根据题意得：|40-2/-4（j=2x|40-2/-（-20）|,

解得：1=20或/=60（不符合题意，舍去），

:当20时，点P是［8,A］的好点；

⑤当点8是【。，A1的好点时，，

根据题意得：|40-（40-2/）|=2xk0一（一20）|,

解得：t=±60,

不符合题意，舍去；

®点8是【A,P】的好点时，

根据题意得：|4O-（-2O）|=2X|4O-（4O-2/）|,

解得：1=15或/=-15（不符合题意，舍去），

答案第5页，共8页

:当/=15时，点8是［/>,A］的好点.

综上所述，当，=15或10或20时，点P,A和8中恰有一个点为其余两点的好点.

【点睛】本题主要考查了绝对值、数轴上两点之间的距离、解一元一次方程、分类讨论的思

想.解决本题的关键是读懂材料中所提供的定义，根据定义列方程求解，解题时还要根据点

的位置关系分情况讨论.

8.(1)G,C4

(2)6；a+10或a+15

【分析1本题主要考查了数轴上两点距离计算，一元一次方程的应用：

(I)根据数轴上两点距离计算公式分别求出点/4和点8到G，3,G，O,四个点的距离,

再根据“唯美点”的定义判断即可;

(2)先求出力7=/-。，37=卜+5",AB=5,再分当力是8、7的“唯美点''时，当B

是力、7的“唯美点”时，当r是力、B的“唯美点”时，三种情况根据"唯美点''的定义建立

方程求解即可.

【详解】(1)解：由题意得，

===

ACi=-1-(-3)2»4G=gI)=zig=5-1)=6,/4C47-(-l)8,

1Q

BC\=3-(-3)=6,8c2=3-=T*BG=5-3=2,BC^=7-3=4»

:BC2=2AC2,AC4=28C,,

：C,,C4是点A,B的“唯美点”，

故答案为：G,C4；

(2)解：由题意得，AT=t-a,BT=a+5-t\,AB=£,

当/是A、T的“唯是点”时,则/g=2AT^AT=2AB,

:2(/-〃)=5或f-4=10,

5T

•--•4或，=。+10：

当〃是力、T的“唯美点”时,则4B=2BT或BT=24B,

:2|a+5-z|=5或|a+5-r|=10,

答案第6页，共8页

•••//♦;或，1/+，或，=a+15或/=4-5(舍去)：

当7是4、B的“唯美点''时，则力『二287'或87=247,

：2(/-4)=卜+5T或/-c=2P+5T|,

:a+5-(=±2(/-a)或/-«=±2(a+5-/),

:J-a♦,或f=a-5।舍去)或，—u-4或/=a+10,

综上所述.，-:•。或/=4+10或Z=。+、或/=4+15或/=。+'或,

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