圆锥曲线小题综合 （讲+练）-高考数学二轮复习原卷版

专题8-3圆锥曲线小题综合

目录

讲高考...................................................................................1

题型全归纳...............................................................................2

【题型一】圆锥曲线定义型..........................................................2

【题型二】焦点弦与焦半径型........................................................3

【题型三】定比分点................................................................4

【题型四】离心率综合..............................................................5

【题型五】双曲线渐近线型..........................................................6

【题型六】抛物线中的设点计算型....................................................7

【题型七】切线型..................................................................8

【题型八】切点弦型................................................................9

【题型九】曲线轨迹型.............................................................10

专题训练.........................................................................11

讲高考

>0力〉0）满足2

1.且与椭圆

2(1-b-

X

-

11有公共焦点，则双曲线C的方程为（)

2r

+3,£

A厂

E=---

.4.5£B.8

D.21£0

,

%1X3

C4--

f-

2.（2022•天津•统考高考真题）已知抛物线），2=46x,5K分别是双曲线［=1（〃>（）,5>0）

a"o

的左、右焦点，抛物线的谯线过双曲线的左焦点R,与双曲线的渐近线交于点A,若

4a=（’则双曲线的标准方程为（）

C.丁_2_=1D.-=1

44-

3.（2。22・全国•统考高考真题）已知椭圆U?六…>。）的离心率%》人分别

为C的左、右顶点，8为C的上顶点.若8<-84；=-1,则C的方程为（）

x~y".+=，

AA.—+—=1B.Vfc-D.—+/=1

18162.

4.（2022.全国•统考高考真题）椭圆C:二+*=1（4>0>0）的左顶点为4,点P,。均在C

a~b~

上，且关于y轴对称.若直线AP,4Q的斜率之积为：，则C的离心率为（）

4

A.正B.正C.；D.-

2223

5.（2022•全国•统考高考真题）设尸为抛物线C：V=4x的焦点，点A在C上，点仇3,0）,

若|A耳二忸耳，则|A@=1）

A.2B.2&C.3D.372

6.（2022.北京・统考高考真题）已知正三棱锥尸-AAC的六条棱长均为6,S是△A4C及其内

部的点构成的集合.设集合T={QeS|尸QW5},则丁表示的区域的面积为（）

3乃

A.—B.兀C.2?rD.34

4

7.（2019・北京•高考真题）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：/+V=]+x|）,

就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：

①曲线。恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；

②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过近；

③曲线C所围成的“心形”区域的面枳小于3.

其中，所有正确结论的序号是

A.①B.②C.①@D.①②③

8.（2018•全国•高考真题）已知双曲线C：y-y2=l,。为坐标原点，/为C的右焦点，过

户的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若aOMN为直角三角形，则|MM=

A.-B.3C.2-\/3D.4

题型全归纳

【题型一】圆锥曲线定义型

【讲题型】

例题L,抛物线丁=23（〃＞。）的焦点为尸，若对于抛物线上的任意点儿归根+户用

的最小值为41,则〃的值等于.

22

例题2.已知双曲线C：y-^=1的左焦点为点F,，右焦点为点F2，点M(x,y)(x*±5)为双

曲线C上一动点,则直线与M6的斜率的积匕%・左啖的取值范围是.

【讲技巧】

基本定义

(1)椭圆定义：动点P满足：PF1|+|PF2|=2a,|F1F2=2c且a>c(其中a>0,cO,

且a,c为常数)

(2)双曲线定义：动点F满足：|PF1-|PF2||=2a,|F1F2=2c且aVc(其中a,c

为常数且a>0,c>0).

(3)抛物线定义：|P/1=|PM，点尸不在直线/上，于M

拓展定义

?

r2b

,A,B是椭圆(?：左+¥=1(QX),b>0)上两点，M为A.B中点，则KAB*KOM=---

a-(可用点差法

快速证明)

&52

是双曲线：方上两点，为中点，则

2.A,BCA—7=1(«>0.X))MA,BKAB»KOK1=—

a~(可用点差

法快速证明)

【练题型】

1.已知抛物线C：y2=2px(〃>0)的焦点为/，直线/与C交于A,区两点，AF±BFf

线段A8的中点为M,过点M作抛物线C的准线的垂线，垂足为N,则的最小值

\MN\

为

2.已知耳，鸟分别为双曲线二一与=1(。>0*>0)的左、右焦点，以耳鸟为直径的圆

a~b~

与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为"，N,设四边形耳的周长为〃，

面积为S,且满足325=/，则该双曲线的离心率为.

【题型二】焦点弦与焦半径型

【讲题型】

例题1.如图，过抛物线旷2=2/»(〃>0)的焦点/作两条互相垂直的弦43、CD,若

△AC户与面积之和的最小值为16,则抛物线的方程为.

AGRGn收

Ae------C.---Ue---

3223

例题2抛物线y2=4x,直线1经过抛物线的焦点F,与抛物线交于A、B两点，若瓦？=4而,

则AOAB（O为坐标原点）的面积为.

【讲技巧】

其倾斜角为尚j则际昨1黑且言I

【练题型】

22

1.已知椭圆「：5+与=1（。＞〃〉0）的左、右焦点分别为耳，A,点AB在椭圆「上,

crb~

丽•耳月=0且丽=/&,则当4[2,3]时，椭圆的离心率的取值范围为.

22/T

3.已知椭圆C：[+[=1（。〉8〉0）的离心率为正，过右焦点/且斜率为攵（攵＞0）

a~b~2

的直线与椭圆C相交于4、B两点.若衣=3丽，则4=.

【题型四】离心率综合

【讲题型】

x2y2x2V2

例题1.已知椭圆-7+为=1（%＞0）与双曲线F-4T=1（出＞（）,仇＞0）有公共

a；b「a；b-

的左、右焦点。入，它们在第一象限交于点P，其离心率分别为q,6，以片，鸟为直径的圆恰

11

好过点P,则=+W.

e\e2

22

例题2.已知片，工为双曲线C:二-二=1（〃＞0/＞0）的左、右焦点，P（Xo，No）是双曲线。

crbj

右支上的一点，连接P"并过6作垂直于P"的直线交双曲线左支于R,Q,其中

R（-/，一%），为等腰三角形.则双曲线C的离心率为；

【讲技巧】

解题时要把所给的几何特征转化为aAc的关系式.求离心率的常用方法有：

(1)根据条件求得a，A、J利用e=5或e="心求解；

(2)根据条件得到关于。，瓦。的方程或不等式，利用e=£将其化为关于e的方程或不等

a

式，然后解方程或不等式即可得到离心率或其范围.

【练题型】

1.已知Fi，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且乙F1PF2=^，记椭圆

和双曲线的离心率分别为内,与，则上的最大值是()

2.已知尸是椭圆捺+%-〉。)的一个焦点，若直线产”与椭圆相交于人B两点'且

乙4所=60。，则椭圆离心率的取值范围是()

【题型五】双曲线渐近线型

【讲题型】

例题1.已知双曲线c的中心为。，左、右顶点分别为A，4,左、右焦点为"，入，过6的

直线与C的两条渐近线分别交于RQ两点.若PO//QE，QA{lQA2t则。的离心率等

于.

22

例题2.已知双曲线。:二-与=1(。>0/>0)的左焦点为F,过点F作双曲线C的一条渐近

a'b~

线的垂线/,垂足为“，垂线/与双曲线的另一条渐近线相交于点。为坐标原点.若

△R9/为等腰三角形，则双曲线的离心率为.

【讲技巧】

渐近线

(1)焦点到渐近线的距离为b

(2)定点到渐近线的距离为电

a

22

(3)一直线交双曲线5-二二1的渐近线于A3两点。A,B的中点为M,则

ab

(4)过双曲线3-卓二1上任意一点「做切线’分别角两渐近线于MN两点’。为坐

标原点则有如下结论：

22

①OMQN=a”+b'；②。MOM=a+b;（3）SAONiV=ab

【练题型】

1.已知双曲线C:l(a>0,b>0)的右顶点为4,且以4为圆心，双曲线虚轴长为直径

a1h1

Tv27r

的圆与双曲线的一条渐近线相交于民C两点，若,则双曲线C的离心

JJ

率的取值范围是__________.

22

2.已知产是双曲线E：=一[=1(。>0,〃>0)的左焦点，过点产的直线与双曲线E

a2h2

的左支和两条渐近线依次交于A,B,。三点.若|砌=|4却=忸。，则双曲线E的离心

率为.

【题型六】抛物线中的设点计算型

【讲题型】

例题1.设O为坐标原点，尸是以尸为焦点的抛物线V=2px(p>0)上任意一点，M是线段尸尸

上的点，且尸M=2M/，则直线OM的斜率的最大值为.

例题2.已知尸为抛物线V=x的焦点，点A,4在该抛物线上且位于x轴的两侧，万.丽=2

(其中O为坐标原点)，则AABO与4AFO面积之和的最小值是.

【讲技巧】

A8是抛物线y2=2px的焦点弦，设A3在准线上的射影分别为

",则：

⑴%丫2=-/，52=!；

(2)|AB|=X[+w+p；

(3)若AB倾斜角为"则|A却=之；；

sin-0

(4)以48为直径的圆与准线相切；

(5)邛工BF;

(6)若M是4片中点，则AAf_L8A/.MFLAB.

(7)A,。,用共线，B,O，A共线；

112

（8）\AF\+\BF\=~p

【练题型】

L已知直线/：），=x+l与抛物线C:/=），交于A1两点，点P（O,D,2C-L0）,且

PQ=2QA=N三R）,贝!）2+〃=.

2.已知抛物线,/=4x,过其焦点F作直线/交抛物线于A,B两点，M为抛物线的准线与

x轴的交点，tanZAMB=-,则|人同=.

【题型七】切线型

【讲题型】

22

例题1E知椭圆G：，+£=l（a>〃>0）与圆。2：/+），2=",若在椭圆G上存在点P,使

得过点P所作的圆c2的两条切线互相垂直，则椭圆G的离心率的取值范围是（）

A.［别B.悍用。.囹。.例

例题2..两个长轴在x轴上、中心在坐标原点且离心率相同的椭圆.若A,分别为外层椭

圆的左顶点和上顶点，分别向内层椭圆作切线AC,BD,切点分别为C,。，且两切线斜

率之积等于-2，则椭圆的离心率为（）

16

A3R"「9G

A.-B.--C.—D.--

44162

【讲技巧】

L椭圆：

若弓（/，%）在椭圆「+与=1上，则过几的椭圆的切线方程是W+誓=L

ab"ab

2.双曲线：

^,£=1

若《（/，）’0）在双曲线〃b2（a>0,b>0）上，则过外的双曲线的切线方程是

5％。二［

2-

Mb*

3.点户（线,几）是抛物线y2=2〃a（〃冲0）上一点，则抛物线过点P的切线方程是：

）'0）'='〃（与+工）；

【练题型】

1.已知点上是抛物线r=4.y的焦点，点用为抛物线的对称轴与其准线的交点，过用作抛物

线的切线，切点为A,若点A恰在以£、F2为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）

AV6-V2

ry•B•x/2+1

2

P限+&D.V2-1

2

2.已知抛物线C:/=4），的准线上有一点M,过点M作C的切线MA,MB,切点分别为A,

4,点尸为C的焦点，则对于以下命题:①A,4,r三点共线;②ZAMB=90。；③加/_1.八8;

④乙4=-4,其中正确命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【题型八】切点弦型

【讲题型】

例题1.已知椭圆£:'+y2=1的左焦点为尸，过点P（2,。作椭圆E的切线左、PB,切点

分别是A、B,则三尾形A3尸面积最大值为（）

4

A.72B.1C.2D.-

3

例题2.已知点尸在抛物线），2=2px（p>0）上，过P作圆（3-1『+），2=1的两条切

线，分别交抛物线于点A,B,若直线A3的斜率为-1,则抛物线的方程为（）

A.y2=4xB.y2=2xC.y2=xD./=-

【讲技巧】

【讲技巧】

1.椭圆：

22

若弓（%,），0）在椭圆5+4=1外，则过P。作椭圆的两条切线切点为Pi、P2,则

a~b

切点弦PR的直线方程是学X>Z-i

b2

2.双曲线：

，2

土-匕=1

若4（/，/）在双曲线/b-（a>0,b>0）外，则过P。作双曲线的两条切

V_X）Z=1

线切点为PlsP2,则切点弦P1P2的直线方程是/b2.

3•点P（4,八）是抛物线），2=2〃氏（,〃工0）外一点，则抛物线过点P的切点弦方程是:

%y=g+x）；

【练题型】

1.已知椭圆上十上=1,圆O:/+V=4,过椭圆上任一与顶点不重合的点G引圆的两条切

124

31

线，切点分别为尸，。，直线PQ与x轴，轴分别交于点M，N,则丽7+鬲二()

A-7B-1c-?D-i

2.己知抛物线。：/=20，(〃>0)的焦点到准线的距离为2,点M(&y),N(w，%)在抛物

线。上，过点M,N作抛物线C的切线4，/2,其中…，/_《不与坐标轴垂直，直线外

，2交于点3若直线MN过点(。,1),则当△£〃村的面积最小时，%+W=()

A.±-B.±1C.0D.土上

42

【题型九】曲线轨迹型

【讲题型】

例题1.方程(x+g-1)击2+._4寺所表示的曲线是

例题2.平面上到两个定点的距离的积为定值的动点轨迹一般称为卡西尼(cassia)卵形线,

已知曲线E为到定点”(M,0)，"(石,0)的距离之积为常数4的点P",)，)的轨迹，关于曲

线E的几何性质有下四个结论，其中错误的是()

A.曲线£关于原点对称B.△P6外的面积的最大值为2

C.其中工的取值范围为卜"，近］D.其中的取值范围为［-疗,4］

【讲技巧】

求轨迹方程：

(1)直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；

(2)定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写

出方程；

(3)相关点法：用动点Q的坐标％、y表示相关点p的坐标与、儿,然后代入点夕的坐

标(事,先)所满足的曲线方程，整理化简可得出动点。的轨迹方程；

(4)参数法：当动点坐标X、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找X、y与其一

参数,得到方程，即为动点的轨迹方程；

(5)交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点

的轨迹方程.

【练题型】

1.动点M在圆V+丁=25上移动，过点M作工轴的垂线段MO,。为垂足，则线段MD中点

的轨迹方程是.

I47

B.。空=1

A.C土1

25252525

2.已知动点PQ小〃）是圆。-2）2+（），-41=；内（含边界）一点.记直线

也总的倾斜角分别为恒，且满足tan此：—1则点”的轨迹长度为——

一、单选题

1.设尸为抛物线C：y2=4x的焦点，点A在。上，点8（40）,若恒尸|=忸同，则A8的中点

到V轴的距离是（）

A.2B.2夜C.3D.372

2.设6，尸2分别是双曲线。：捺-£=1（。＞0/＞0）的左、右焦点，过尸2作C的一条渐近线的垂

线，垂足为P,若I尸用=后|尸周，则C的离心率为（）

A2。R2«「3石c3不

A•-----O・---------1/•--------1J•---------

5757

2

3.已知过椭圆。:/十二=1的上焦点〃且斜率为我的直线/交椭圆C于AB两点，。为坐标

2

原点，直线。4。8分别与直线），=2相交于M,N两点.若ZMON为锐角，则直线/的斜率4的

取值范围是（）

&x/2

A.(-<o,-l)u(l,+oo)B.

KF

c.—,---UD.）

22卜多图5»

22

4.已知双曲线。!-3=1（。〉0力〉0）的左、右焦点分别为「，K，。是双曲线C的一

条渐近线上的点，且线段夕匕的中点M在另一条渐近线上.若NP6£=45。，则双曲线C的

离心率为（）

A.72B.V3C.2D.45

a

5.已知抛物线丁2=2内（〃＞0）的焦点为尸，点"在抛物线上，且若△OFM的

面积为4&，则〃=（）

A.2B.4C.2&D.472

入分别是双曲线/

6.己知匕,=1（。＞0力＞0）的左、右焦点，过入的直线分沏交双

曲线左、右两支于A,4丙点，点。在x轴上，加=3耳鼠B6平分/片区。，则双曲线「的

离心率为（）

A.gB.V5C.6D.V?

7.圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形，过抛物线

焦点/作抛物线的弦，与抛物线交于A,A两点，分别过A,B两点作抛物线的切线乙，4相

交于点P,那么阿基米德三角形E44满足以下特性：①点P必在抛物线的准线上；②△以4

为直角三角形，且/”3为直角：③PF上AB,已知。为抛物线炉=》的准线上一点，则阿

基米德三角形面积的最小值为（）

A.4B.-C.2D.1

24

8.已知椭圆。：£+£=1（〃＞方＞（））的左、右焦点分别为吊工，点?在椭圆。上，若离心率

a'b'

\PF.\

«=身，则椭圆C的离心率的取值范围为（）

A.（0.V2-1）D.[&TI）

二、多选题

9.已知曲线Cifsina+VcosauMowavW，则下列说法正确的是（）

A.若曲线C表示两条平行线，则。=0

B.若曲线C表示双曲线，则］＜。＜兀

C.若0＜a\,则曲线C表示