四川省成都市五城区统考2024-2025学年高一年级下册期末 数学试题（含解析）

四J11省成都市五城区统考2024-2025学年高一下学期期末适应性考试

数学试霞

一、单选题

1.复数三1的共筑复数为（）

1

A.-l+2iB.-l-2iC.l-2iD.l+2i

c7乃54?sin穿的值为（

2.cos——cos——+sm)

8888

c6D.包

A.—1B.1

22

3.函数y=l--2sin3x,x«0,兀）的零点个数是（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

4.如图，，是0C上的两点，|阴=2,则而•记=（）

5.下列结论正确的是（）

A.AC+CD-W=BA

B.若=|叫，AD//BC，则四边形ABCD是矩形

C.若两个向量共线且大小相等，则这两个向量是相等向量

D.若平面内两个非零向量泊B满足/+q=忖-q,则它们可以作为平面内所有向量的一个基底

6.在平面四边形A6CO中，ABf,BC=2,AC=3,AD=mBC，当〃，变化时，CO的最小值为（）

A.BB.-C.-D.3叵

4422

7.如图，在楂长为3+6的正方体内恰好装入两个相外切的球G,a,球心Q在正方体的对角线上,

其中球Q的半径为2,则球Q的半径为（）

c.GD.2

8.如图，G为△0A3的重心，过点G的直线分别与。4,0B交于点,Q,且存=机西，OQ=nOB,其

中〃则加+4〃的最小值为()

A.-B.3D.9

3

二、多选题

9.已知函数f(x)=sin(2x+1)则下列说法正确的是()

A.1/(")的最小正周期为

B./(x)的图象关于x对称

C.函数/(x)在卜，外的最小值为近

L2J2

D.函数/(幻的图象向右平移;个单位长度得到函数g(x)的图象，则函数g(x)是奇函数

10.关于平面向量，下列说法正确的是()

A.若3=(1,0),分=(0,1),对任意的非零实数，和，，则4•〃万

B.若5=(2,4),则向量入6的夹角为钝角

C.若问=2,|*1,且£和5的夹角为120,则色—四二2

D.若点P,A8,C在同一平面内，且再f而+1定，则A,8,C三点共线

44

11.如图所示的圆台QQ,圆台的高为6,上底面圆Q的半径为I，下底面圆a的半径为2,则下列说法

正确的是()

B.该圆台的表面积为6兀

C.该圆台的体积为也

3

D.一只蚂蚁从C点出发，沿着圆台表面爬行，最终到达AZ)的中点M处，则爬行的最短路程为5

三、填空题

12.若tan(a+弓)=_2,则tana=.

13.在四棱柱A4C"-AUC/Z中，AA_L平面A4第，四边形从直力为平行四边形，ZABC=60,且

AAi=AB=BC=4,£为AA的中点，则异面直线*与所成角的余弦值为

14.如图，已知直线4/〃2,直线OE垂直于［和4,垂足分别为。，E.若点是线段OE上的定点，，C两点

分别是直线4,%上的动点，且AD=1，AE=2，N8AC=g,则VABC面积的最小值是

四、解答题

15.已知复数Z1=2+4i,z2=«+i(«eR).

(1)若是纯虚数，求的值；

(2)在复平面内，复数jz?对应的向量分别是次，0B，其中0是原点，且/4。8=£，求Z?.

16.在VA8C中，内角，，C所对的边分别为，b,,且。=6，b=3,cos3=-典.

10

⑴求；

⑵求VABC的面积.

17.如图，在VA8C中，AD=2DB>AE=EC，点/，G分别是OE，BC的中点，连接PG.

题号12345678910

答案A1)CB1)DABADABI)

题号11

答案ACD

1.A

由复数除法结合共规更数定义可得答案.

【详解】因为三^=半==一1一公，

1ix（-l）

所以复数七1的共规复数为-1+2L

1

故选:A

2.D

直接运用两角差的余弦公式

.VAV17457r74.54（17T5万、7T\}2

LvlFfflTJcoscos-----Hsinsin—=cos-----------=cos—=-------.

8888188yl42

故选：D.

3.C

令y=0得sin3x=；,结合3XG（O.3兀），得到根的个数，求出答案.

【详解】令了=0得sin3x=”，

2

因为入e（O.兀），所以3aq（0,3兀），

ri窕一（、5兀_1、137c一p177c..y兀-＜、57t一1、137c_Q、177c

故4=7或7-或7-或7-,解fZ得*或而或H或H，

所以零点个数为4.

故选：C

4.B

根据平面向量数量积的概念求值.

【详解】因为1Aq.cOS/C48=；.M=1,

所以A4.恁=|只冏•|Aq・8sNC4"=2x1=2.

故选:B

5.D

根据平面向量的线性运算判断A；根据向量共线的特征判断B；根据相等向量，相反向量的定义判断C；根

据平面向量的数量积的运算律可得2_LB，进而结合基底的概念判断D.

【详解】对于A,AC+CD-W=AD+DB=ABf故A错误;

对于B,由前〃肥，|同卜卜方得不到四边形ABCZ)为矩形，如下图，可以为等腰梯形，故B错误;

对于C,若两个向量共线且大小相等，则这两个向量是相等向量或相反向量，故C错误；

对于D,由卜+同=卜一',则I?+分石+方「=^一25•石+人

即34=0,所以d_L石，又人E为非零向量，则"方不共线，

它们可以作为平面内所有向量的一个基底，故D正确.

故选：D.

6.D

由余弦定理求出乙4C8=g,AD=fnBC，故AD〃BC，作出辅助线，得到则。2而=人七=¥.

【详解】在VABC中，由余弦定理可知人B2=AC2+BC2-2AC.8CCOSNACB,

BP7=9+4-2X3X2COSZACB,解得COS&CB=:，

2

因为O〈ZACB<TI,所以NAC8=,

又因为而=〃?或，所以4)〃BC,且〃?>0,作AE18c于点E,

则CD=AE=ACsinZACB=3sin-=3x—=—.

minimtl322

故选：D.

7.A

作出对角线AC及球心Q,Q所在的截面，建立对角线AC与两个球的半径的等量关系式即可求解.

【详解】

设正方体为球a,a的半径分别为“，％,

作出对角线AC及球心a,a所在的截面，如图所示，

正方体的棱长为3+6，，4。=向3M1=3+36，

在直角△ACA,中，sinNACA=^=£^=乎，

sinZACA.=—^―=—^―sinZACA.=t

'CO2CO,*'AQ，

A。=-^=百4

.-.co2=2V3,V3,

T

•/AyC=AM+14+C。］,

/.3+3x/3=x/3z;+/;+2+2x/3,解得4=1.

故选：A.

8.B

___3_____1一1一

连接OG并延长交AB于点M，由G为△Q48的重心可得OM=；OG,^.OM=-OA-^-OBt将条件代

一1一1—11

入整理成OG=「。P+h。。，利用平面向量基本定理可得丁+丁=1,再利用基本不等式的妙用即可

3m3〃3m3〃

求得答案.

【详解】

__2___

如图，连接OG并延长交的于点M，因G为△048的重心，则0G=§0M,

___1一1一

且点M为AB的中点，=-OA+-OB(*),

______3______i____]___

因而=m函，OQ=nOB,则有两二一萌，OA=-OP,OB=-OQ,

2rnn

3---1—1——1-]一

代入(*)可得：-0G=——OP-^—OQ,HPOG=—OP+—OQ,

22mIn3m3〃

因P,G,。三点共线，故，-+[=1，因〃

3/z/3〃

则m+4〃=一(/〃+4〃)(一+—)=-(5+—+-)>-(5+25/4)=3,

3mn3nm3

当且仅当m=2〃=l时,等号成立,即〃?十4〃的最小值为3.

故选：B.

9.AD

利用正弦型函数的周期公式可判断A选项；利用正弦型函数的对称性可判断B选项；由可求出

2.计方的取值范围，结合正弦型函数的最值可判断C选项；利用三角函数图象变换以及正弦型函数的奇偶性

可判断D诜项.

【详解】对于A选项，函数/(X)的最小正周期为与=兀，A对；

对于B选项，因为/(.r)=sin[兀+T)=-sin/=-*力士1,

故/(幻的图象不关于直线x=5对称，8错・；

对于C选项，当巴时，-<2A+-<—,

2333

所以=si吟=-半'C错;

对于D选项，函数/(>)的图象向右平移;个单位长度得到函数8。)的图象，

则&(x)=sin21-聿)+5=sin2x,该函数为奇函数，D对.

故选:AD.

10.ABD

对于A,利用向量垂直的充要条件即可判断；对于B,根据向量数量积的坐标计算即可判断；对于C,根据

向量数量积的定义和运算律计算即可排除；对于D,利用平面向量基本定理即可推得.

【详解】对于A,因2不=(1,0).(0,1)=0,则(闻故丘_!.〃，即A正确；

对于B,由，•日=1x2+(—l)x4=-2<0,且一与万不共线，

则向量坂的夹角为钝角，故B正确；

对于C,因a•〃=|a|•|〃|cos<«,h>=2x1xcos120=—1,

22

则,一2/；|=Y无石+4||产=A/2-4x(-l)+4xl=2>/3,故C错误；

对于D,由苏二一方+—定，可得而-月月=一丽-丽+一无，

4444

~BA=\(PC-PB}=\BC,即应与反共线，故A£C三点共线，即D正确.

44

故选：ABD.

11.ACD

利用圆台的表面积公式和体积公式，梯形的面积公式计算即可判断A,B,C项；将圆台侧面展开，利用弧

长公式和勾股定理即可求解.

【详解】对于A,圆台轴截面为等腰梯形ABCZ),其中八6=2.8=4.002=0,

则其面积为：SM劭=;(2+4)X#=3G,故A正确；

对干B,由图知，圆台的母线长=J(2—1尸+(&)2=2,

22

则画台的表面积为：7tx2+Hxl+l(27rx2+27ixl)x2=llH,故B错误；

2

对于C,该圆台的体积为\/=46*"(12+22+以2)=毡兀，故C正确：

33

对于D,将圆台沿着母线8c展开，得到如图的扇环形，由题意，蚂蚁爬行的最短路程为CM的长.

因。。=2BC=4,劣弧。的长为2兀，故2C0D的弧度数为手=］,

又点M是A。的中点，故。"=3,由勾股定理，aw="7F=5,故D正确.

故选：ACD.

12.3

由两角和的正切公式可得答案.

__(7t1+tan6?___

［详解］tana+—=-------=-2=>1+tana=-2+2tanantana=3.

V4)I-(ana

故答案为：3

13.叵

55

取中点为忆连接£/，则NAC尸为异面直线*与QE所成角或其补角，然后由题意结合余弦定理可

得答案.

【详解】如图取6片中点为凡连接E/，易得EF//OGEF=DC，

则CF//DE,则NA。尸为异面直线8与。七所成角或其补角.

因A4—平面ABCZ),几何体A48—A4GR为四棱柱，AA,=AB=I3C=4.

则叫_L4A,尸4=2,44=4,FA={FB；+B闺=2收

FBtBC，FB=2,BC=4,FC=JFIF+BC?=2V5.

因A8=8C=4,^ABC=60\则AC=4,又易得AC1",

22

贝IJC4,=7^C+A4,=4X/2.

CF2+C^-\F'20+32—20而

从而cos/A。/二

2c2cA2x275x472-5

14.2V3.

设乙BAD=9,将A氏AC分别用例1勺三角函数式表示，求出V4BC的面积表达式，根据三角恒等变换将其化

成正弦型函数，利用正弦函数的值域即可求得面积最小值.

【详解】设的0=0,则0<0<N,^EAC=H---0=--0,

233

AO1AC=-E=2

在RSBA。中，AB=———=-在□△E4C中，-cos/EAC一,“、/兀，

cosZB4Dcos。cos(--U)

1_V512

x

故VABC的面枳为S=-ABxACxsinABAC=彳",2D小

2cos(-----------------。)

3

V51V512x/3

=------X--------------------------------------------=-------------=--------X-----------------------------------------=-------------=-----------------------------------

2cos62(--cos6?+—sin^)2一；(1+cos20)+fsin2。2sin(2/9-^)-T

因0<。<巴，则,<2。一色〈羽，则当2。」=巴，即。=殳时，血(2。一当取得最大值1,

26666236

此时VABC的面积取得最小值2>/5.

故答案为：25/3.

15.⑴〃=-2

⑵Z?=3+i或z2=-1+i.

(1)利用共轨复数的意义、复数乘法求出，再利用纯虚数的意义求解.

(2)求出向量坐标，再利用向量夹角公式列式求解•.

【详解】(1)依题意，^=2-41,则z=]・Z2=(2—4i)a+D=(2a+4)+(2-44H,

2a+4=0

由是纯虚数，得。,一八，解得〃=-2,

2—4〃工0

所以〃=—2.

(2)依题意，CM=(2.4),OB=(a,\),ZLAOB=-,

4

由cos/4°8=—=乌,整理得《Z+'AOq»解得Q=3或〃=一1,

27W5.77712〔34-8〃-3=n03

所以z?=3+i或z,=-2+i.

一3

16.(1]A=-

4

(2)；

(1)由同角基本关系式算出sinB,再由正弦定理求出smA,再解出；

(2)法一：由余弦定理解得，再用正弦面积公式求解.法二：先用两角和勺差公式计算sinC,可用正弦面积

公式求解.

【洋解】(1)因为cosB=-^^,且8仁(0,乃)，

10

所以sinB=J-cos2B=『-*)=噜.

,753

根据正弦定理得二二=,即菽=诉

SIILAsin£s

10

所以si"=Y=.

2

又由题知为钝角，故Aw(0,三),所以4=；.

(2)法一：由余弦定理，得〃ccosB.

即9=5+<?2-2x行xcx(_^^,整理得d+©-4=0.

解得c=及或c=-2&（舍去）.

故VABC的面枳S=—ocsin^=—x>/5xV?x=2,

22102

法二：由A+B+C=;T，得sinC=sin（乃_A_B）=sin（,一8

所以sinC=

故VABC的面枳S=—abs'\nC=—x>/5x3x—=—

2252

—1—1—

17.⑴/G=—A8+—AC

64

⑵①6；②寄

__1___1_____1__uun1uuu___1__1___

(1)根据向量基本定理得到而■而+；沅，结合而二;诟，EC=±AC,从而得到而=士丽+上/；

223264

_.1|_.

(2)①由题知而.而=24,由(I)知，FG=-AB+-AC,然后根据数量积运算性质结合条件即得；

64

②而而，在(1)基础上，利用向量数量积运算律计算出附.册和|网=内，利用向量夹

角余弦公式进行计算即可.

【详解】（1）在四边形正OBG中，FG=Fb+DB+BG.

在四边形EECG中，FG=FE+EC+CG.

又因为尸，G分别是方后，前的中点，所以乔=-4，BG^-CG.

所以276=（力+历+珂+例+配+同=而+匕即彷=；丽+3皮，

__1一ma1uim

又因为而=2丽，AE=EC^所以。8=鼻48,EC=-AC.

—.11一11一1一1一

所以FG=-x-48+-x-4C=-A8+-AC.

232264

（2）①由题知福.K=6x8xco$60=24.

又由（1）知，FG=yAR+^-AC

64

因此|而『=-!-而/Jj-而•/=_LX62+-!-X82+-!-X24=7.

I।361612361612

所以|而卜S.

八—1一|一1一

②因为8G=-8C=—AC——AB.

222

所以卜存卜=^ylAC2+AB-2ABAC=1>/82+62-2x24=V13.

而诙也丽+;硝而厚）

=LAC2-1AB2-±ABAC

81224

=-x82x62--—x24=4,

81224

/FGBG44回

所以5心=解甲不赤=b.

18.（1）证明见解析:

⑵①证明见解析；②-1

8

（1）通过证明APAB2/XPAD，可得PB=PD,进而可得P。180,又4。/8。，所以可证BD工平面PAC；

（2）①不妨设AB=2Q,在△胸中，由余弦定理得PB=3a,在ziPOA和△POC中，用勾股定理可分别求

得以=34，PC=3a,问题得证；

②过作AE1P8交,叶E，连接CE，“J得NAEC即为二面角A—P8-C的平面角，冉分别求出C£、AE、

AC,结合余弦定理即可求解.

【详解】（1）设AC与BD相交于点0,连接P0,如图所示，

因为44B二血。，AB=AD^AP=APf

所以△PA82AMD.

所以"3-PQ.

又在△PBQ中，。是BD的中点，所以PO1BD.

在正方形4BCD中，AC1BD.

又因为ACu平面PAC,POu平面PAC,且ACnPO=O.

所以BZ）1平面PAC.

13

（2）①在△座中，cosZPAB=~,PA=-AB.

J4

不妨设AB=2Q,则*加

由余弦定理得PB2=（2«）2+（3。丫-2x2"3ax；=9cJ,所以PB=3a.

又在VPOB中，POLOB,OB=。，

故由勾股定理，得PC=ylPB。-QB。=用a.

又在△尸04中，0A=41a»PA=3a

所以「O'Olnp*,所以PO,OA.

故在△POC中，可得PC=J(ga『+(缶J=3。

所以E4=PC.

②由①知，&PABAPCB.

过作AE1P8交/计于E，连接CE,由APAB*PCB得CE工PB.

所以/AEC即为二面角4-P8-C的平面角,

在21MB中，因为鬼二尸8二3。，cosZPAB=^,所以cos/P84=cos/PAB=g.

所以sin/P8/\=^色

3

所以，在直角aABE中，AE=ABsin^PBA=2ax—j—=a

同理可得。七=当g4

3

又AC=V54B=2亿.

故二面角A-P8-C的余弦值为

0

19.⑴阿卜有

⑵吟

【详解】⑴首先4W=1X1XCOq=”.

由砺O£i=(V2,0),则诬=一.，OD=j2e；.

乂而=OD-OB=血4,+6,

则|西2=加2=(无]+寸=3+2&冢4=3+2=5

所以|而卜君.

⑵①由|罔二2,贝I」国广=4,所以向一期2=4.

艮POC-2OCOB+OB=4，

(谒+湛/-2卜[+点)•(-7)+(一力=4，

x24->/2xy+y2+V2x+2y+I=4,

又Vir+y=l,联立解得尤=20或1=0(舍)，y=-3.

所以配=2加入-3%，