第1章 解直角三角形（单元小结）-浙教版九下

单元小结数学（浙教版）九年级

下册第1章

解直角三角形单元小结知识点一

锐角三角函数(2)∠A的余弦：cosA＝

＝

；(3)∠A的正切：tanA＝

＝

.如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边．(1)∠A的正弦：∠A的对边斜边sinA=∠A的邻边斜边∠A的邻边∠A的对边单元小结知识点二

特殊角的三角函数值sin30°＝

，sin45°＝

，sin60°＝

；cos30°＝

，cos45°＝

，cos60°＝

；tan30°＝

，tan45°＝

，tan60°＝

.1单元小结知识点三

解直角三角形(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边．三边关系：

；三角关系：

；边角关系：sinA＝cosB＝

，cosA＝sinB＝

，tanA＝

，tanB＝

.a2＋b2＝c2∠A＝90°－∠B

单元小结(2)直角三角形可解的条件和解法◑条件：解直角三角形时知道其中的2个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余的3个未知元素．◑解法：①一边一锐角，先由两锐角互余关系求出另一锐角；知斜边，再用正弦(或余弦)求另两边;知直角边用正切求另一直角边，再用正弦或勾股定理求斜边；②知两边：先用勾股定理求另一边，再用边角关系求锐角；③斜三角形问题可通过添加适当的辅助线转化为解直角三角形问题．单元小结(3)互余两角的三角函数间的关系sinα=

，cosα=

，sin2α+cos2α=

.tanα·

tan(90°－α)

=

.cos(90°－α)sin(90°－α)11对于sinα与tanα，角度越大，函数值越

；对于cosα，角度越大，函数值越

.大小(4)锐角三角函数的增减性单元小结知识点四

借助计算器求锐角三角函数值及锐角(1)利用计算器求三角函数值第二步：输入角度值，屏幕显示结果.(也有的计算器是先输入角度再按函数名称键)第一步：按计算器键，sintancos单元小结(2)利用计算器求锐角的度数还可以利用键，进一步得到角的度数.第二步：输入函数值屏幕显示答案(按实际需要进行精确)方法①：°＇″2ndF第一步：按计算器键，2ndFsincostan方法②：第二步：输入锐角函数值屏幕显示答案(按实际需要选取精确值).第一步：按计算器键，°＇″2ndF单元小结知识点五

三角函数的应用(1)仰角和俯角铅直线水平线视线视线仰角俯角在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.单元小结以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于90°的角，叫做方位角.如图所示：30°45°BOA东西北南(2)方位角45°45°西南O东北东西北南西北东南单元小结坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有

i=tan

α.坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡.如图：坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度.记作i，即i

=.(3)坡度，坡角单元小结(4)利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；②根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；③得到数学问题的答案；④得到实际问题的答案．单元小结知识点六

利用三角函数测高ACMN①在测点A安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α；E

②量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l；③量出测倾器的高度AC=a，可求出

MN=ME+EN=l·tanα+a.α(1)测量底部可以到达的物体的高度步骤：单元小结考点训练一

锐角三角函数【例1】如图，在平面直角坐标系内有一点P(3，4)，连接OP，求OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值.解：过点P作PA⊥x轴，P(3，4)，∴A(3，0)A(0，3)在△APO中，由勾股定理得因此α单元小结针对训练ABC61、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，

sinA=，求cosA、tanB的值.解：∵又∴单元小结2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则sinA的值是________．

单元小结3、一等腰三角形的两边长分别为4cm和6cm，则其底角的余弦值为__________．

单元小结

单元小结

单元小结考点训练二

特殊角的三角函数值

单元小结针对训练

单元小结

70°单元小结

60°单元小结

B单元小结

单元小结

单元小结6、求下列各式的值：(1)1-2sin30°cos30°(2)3tan30°-tan45°+2sin60°(3)(cos230°+sin230°)×tan60°解：(1)原式(3)原式(2)原式单元小结考点训练三

解直角三角形

【例3】如图，△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB的中点．若BC=4，CD=3，则sin∠ACD=__________．

单元小结针对训练1、在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A=35°，则直角边AC的长是____________．

m•cos35°单元小结

单元小结

单元小结4、如图，在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2，则sinB的值是____________．

单元小结5、如图，△ABC中，AB=12，BC=15，∠ABC=60°．求tanC的值．D

单元小结

单元小结

单元小结考点训练四

三角函数的应用解:如图，过点E作EF⊥AC于F，则四边形CDEF为矩形.∴EF=CD，CF=DE=1Om由题意得∠DAC=∠ADC=45°，∠BEF=30°设AC=xm,则CD=EF=xm,BF=AC-CF-AB=(x-16)m在Rt△BEF中，tan∠BEF=即，解得x≈37.8(m)答:乙楼AC的高度约为37.8m

单元小结

单元小结(1)坡顶A到地面PQ的距离；

H单元小结

HD

单元小结针对训练

75单元小结

单元小结

单元小结3、如图，某同学在测量建筑物AB的高度时，在地面的C处测得点A的仰角为30°，向前走60米到达D处，在D处测得点A的仰角为45°，则建筑物AB的高度为__________米．

单元小结

单元小结5.如图，某拦河坝截面的原设计方案为：AH∥BC，坡角∠ABC＝74°，坝顶到坝脚的距离AB＝6m．为了提高拦河坝的安全性，现将坡角改为55°，由此，点A需向右平移至点D，请你计算AD的长(精确到0.1m)．