2023年山东省泰安市自主招生数学试题（原卷版）

2023年泰安市自主招生九年级数学试题第Ⅰ卷（选择题共30分）一、单项选择题（本大题8个小题共24分，每小题选对得3分）1.下列等式中，①，②，③，④其中函数有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝（）A.40° B.45° C.50° D.60°3.已知方程，且关于x的不等式只有4个整数解，那么b的取值范围是（）A. B. C. D.4.如图，在四边形中，，，连接．若，则四边形的面积为（）A.12 B.14 C.16 D.185.如图，平行于x轴直线分别交抛物线与于B、C两点，过点C作y轴的平行线交于点D，直线，交于点E，则（）如图，A. B. C. D.36.点I为的内心，连交的外接圆于点D，若，点E为弦的中点，连接，若，则的长为（）A.5 B. C.4 D.7.如图，在中，，M是的中点，点D在上，，，垂足分别为E，F，连接．下列结论：①；②；③；④；⑤若平分，则；⑥，正确的有（）A6个 B.5个 C.4个 D.3个8.如图，在等边中，，点D，E分别在边上，且，连接交于点F，连接，则的最小值是（）A. B. C.-1 D.-1第Ⅱ卷（非选择题共76分）二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）9.若，则称是以10为底的对数．记作：．例如：，则；，则，对数运算满足：当，时，，例如：，则的值为______．10.已知不等式的解是，则_______，_______．11.不论取何值，分式总有意义，则的取值范围是________．12.观察下列图形规律，当图形中的“○”的个数和“”个数差为375时，n的值为_____________．13.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC、CD上，若AE=，∠EAF=45°，则AF的长为_____．14.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点C为弧BD的中点，则AC的长是__．15.如图被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．图中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，……，第n个数记为，则_________．16.已知菱形的边长为1，，为上的动点，在上，且，设的面积为，，当点运动时，则与的函数关系式是__________．三、解答题（本大题共7个小题，满分72分，解答题应写出必要的文字说明或推演步骤）17.已知二次函数的对称轴为直线，且二次函数有最小值；又知二次函数的图象与轴有两个交点，它们之间的距离为6．求二次函数的解析式．18.勾股定理是人类早期发现并证明重要数学定理之一，至今已有几百种证明方法，在中国，商朝时期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释并创制了一幅“勾股圆方图”；后刘徽用“出入相补”原理证明了勾股定理；清朝末年，数学家华蘅芳提出了二十多种对于勾股定理证法．（1）某学校数学活动室进行文化建设，拟从以上4位科学家的画像中随机选用1幅，恰好选中的画像是刘徽的概率________；（2）在某次数学活动中，有一个不透明的信封内装有三根长度分别为4cm，6cm和8cm的细木棒，木棒露出纸袋外的部分长度相等，小亮手中有一根长度为cm的细木棒，现从信封内随机取出两根细木棒与小亮手中的细木棒首尾相接放在一起，求抽出的细木棒能与小亮手中的细木棒构成直角三角形的概率（用画树状图或列表的方法求解）19.图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，，分别落在轴和轴上，是矩形的对角线，将绕点逆时针旋转，使点落在轴上，得到，与相交于点，反比例函数的图象经过点，交于点．（1）求的值及反比例函数表达式．（2）在x轴上是否存在一点M，使的值最大？若存在，求出点M；若不存在，说明理由．（3）在线段上存在这样的点P，使得是等腰三角形，请直接写出的长．20.综合与实践问题情境：如图①，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到（点A的对应点为点C）．延长交于点F，连接．猜想证明：（1）试判断四边形的形状，并说明理由；（2）如图②，若，请猜想线段与数量关系并加以证明；解决问题：（3）如图①，若，求长．21.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+2mx+3m，点A（3，0）．（1）当抛物线过点A时，求抛物线的解析式；（2）证明：无论m为何值，抛物线必过定点D，并求出点D的坐标；（3）在（1）的条件下，抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上位于第一象限的点，连接AB，PD交于点M，PD与y轴交于点N．设S=S△PAM－S△BMN，问是否存在这样的点P，使得S有最大值？若存在，请求出点P的坐标