2025年四川省巴中市自主招生数学试题（解析版）

巴中中学初级年适应性考试数学试题（时间：分钟满分：分，其中附加题分）一、单选题（共题，每小题4分，共分）1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键．【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；故选：D．2.解不等式组时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】第1页/共35页分别算出每个不等式组的解集，再取它们公共部分的解集，然后再在数轴上表示出来，即可作答．【详解】解：∵，∴解不等式①，得，解不等式②，得，∴不等式组的解集为，在数轴上表示如图所示．故选A．3.如图是6个相同的正方形搭成的几何体，将标有①②③④⑤的五个正方体随机拿掉1个，比较前后两个几何体，左视图不改变的概率是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图、概率的定义等知识点，掌握从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图成为解题的关键．根据三视图的定义以及概率的定义即可解答．【详解】解：去掉①的小正方体，左视图改变；去掉②～⑤的小正方体中的一个，左视图不变，则左视图不发生改变的概率是．故选：D．4.若，，则下列式子成立的是（）A.B.C.D.第2页/共35页【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了平方差公式的应用，解答此题的关键是熟练掌握平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．根据，再判断、的关系即可．【详解】解：，∵，∴，即，故选：C．5.已知三个实数a，b，c满足，，则（）A.，B.，C.，D.，【答案】D【解析】【分析】本题考查了不等式的性质，等式的性质以及完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键．将整理得到，代入，即可判断，再将代入即可进行解答．详解】解：∵，∴，∵，∴，解得：，∵，∴，∴第3页/共35页，∵，∴，综上：，故选：D．6.如图，点的坐标为，点在直线上，当线段最短时，点的坐标是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了求一次函数解析式，垂线段最短，求两个一次函数的交点坐标及勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．如图，设直线与轴、轴分别交于、，过点作，交轴于，过点作于，为的最小值，先求出点、坐标，设，利用勾股定理可求出，利用待定系数法求出直线解析式为可设直线解析式为第4页/共35页，代入求出的值，与的解析式组成方程组，求出其交点坐标即可得答案．【详解】解：如图，设直线与轴、轴分别交于、，过点作，交轴于，过点作于，根据垂线段最短的性质，得当线段最短时，点与点重合，此时，当时，，时，，∴，，∴，，，设，则，，∵，∴，即，解得：，即，设解析式为，∴，解得：，∴，∵，，∴，第5页/共35页设解析式为，将代入，得，解得：，直线的函数解析式为，联立两直线解析式组成方程组得，解得：，，故选：D．7.如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点D是的中点，连接D为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】求出阴影部分的面积即可．【详解】解：∵是边长为的等边三角形的外接圆，点D是的中点，第6页/共35页∴，，∴，作，则：，，∴，∴阴影部分的面积为；故选B．8.已知，则下列说法：①若，则；②若的值与的取值无关，则；③当为整数时，若关于的方程的解为整数，则或1，6，；④当时，当时，的取值范围是．其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了多项式的加减混合运算，解一元一次不等式等知识，绝对值的性质，掌握多项式的加减混合运算以及分类讨论的思想是解答本题的关键．①将和M和N代入取对应系数为零即可；③将代入，再结合关于的方程解得为整数，则或代入M和N求得解即可．【详解】解：①若，，第7页/共35页∵，，∴，，则，故①正确；②∵，，∴，∵值与x的取值无关，∴，，则，，故②正确；③当时，∵，∴，∵，，∴，解得，关于的方程的解为整数，∴或，解得或1，3，4，故③错误；④当，∵，，∴，，即：，∵，∴，即，当时，；解得：当时，；第8页/共35页当时，；解得：综上所述，时，或，故④错误．即正确的有2个，故选：B．9.我们知道一元二次方程可以变形为，展开后对应项易得到韦根的式子不正确的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，仿照题意所给的方法，将原方程变形为，则可得，，，据此可得答案．【详解】解：设一元三次方程的三个实根分别为，，，则方程可写成，∴，∴∴．对比可得，，，，可得，，，∴，第9页/共35页故选：B．10.如图，分别与圆相切于点与的延长线相交于点相交于点，连接和，若，，则圆的半径是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了切线长定理及切线的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质等，连接，由切线长定理及切线的性质得，，可设，，勾股定理求出即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．【详解】解：连接，∵分别与圆相切于点，是半径，∴，，，∴，∵，∴可设，，∴，∴，∵是的直径，∴，第10页/共35页∴，∵，，∴，又∵，∴，∴，即，∴，∴，∴圆的半径为，故选：．的图象经过，与轴相交于点，是线段，的面积分别为，，则的值为（）A18B.17C.15D.16【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数相结合、相似三角形的判定与性质、两点间的距离公式等知识点，熟练掌握各函数的性质并通过坐标求出三角形的面积成为解题的关键．先利用点的坐标求出反比例函数和一次函数的解析式求得、、，再运用两点间的第11页/共35页距离公式求得；再证明可得、，则，即D点纵坐标为4，易得，再根据可得，最后作差即可解答．【详解】解：将代入得：，反比例函数的解析式为∶，将代入得∶，∴点坐标为，设直线的解析式为，将两点坐标代入得∶，解得，，∴直线的解析式为，∴直线与x轴的交点坐标为，∴如图：连接，∵，∴，∵，∴，∴，，即，第12页/共35页∴，∴D点纵坐标为4，∴，∵，∴，解得：，∴．故选：D．12.如果，，都在二次函数（．则的取值范围（）A.B.或C.D.或【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，由点，点可知抛物线的对称轴为直线，则，由可知在对称轴的右侧，分两种情况讨论，得出关于的不等式（组，即可求得的取值范围．根据题意得出关于的不等式（组）是解题的关键．【详解】解：点，点，点都在二次函数的图象上，对称轴为直线，点和也在二次函数的图象上，，，，点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧，第13页/共35页抛物线开口向上，时，随的增大而减小，，时随的增大而增大，当在对称轴的左侧时，则有，解得，当在对称轴的右侧时，则有，解得．故的取值范围为或．故选B．二、填空题（共6题，每小题4分，共分）13.已知一次函数，y随x的增大而减小，那么k的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】本题考查了一次函数的性质，属于基本题型，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．一次函数，当时，y随x的增大而减小．据此列式解答即可．【详解】解：∵一次函数，y随x的增大而减小，∴，∴．故答案为：14.动中，如图，某数学小组用无人机在离塔中心一定距离的处测得塔顶的仰角为，再将无人机垂直上升到离点距离为米的点处，此时测得塔顶点的仰角为，则测得小蛮腰的高度约为______米．【答案】600【解析】【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，作出辅助线，熟练掌握三角函数的定第14页/共35页义，是解题的关键．过点作于点，证明四边形为矩形，得出，米，设米，则米，证明为等腰直角三角形，设米，根据，得出，根据，解方程即可．【详解】解：如图，过点作于点．∵，∴四边形为矩形，∴，米，设米，则米，，，∴为等腰直角三角形，米，，，，解得：，15.已知，是方程的两个根，则的值为________．【答案】【解析】【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，将所求代数式恒等变形为两根之和与两根之积的形式是第15页/共35页解决问题的关键．根据根与系数的关系得到，代值求解即可．【详解】解：方程的两个根分别是，，根据根与系数的关系可得，，故答案为：．16.如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点AC分别在x轴y，反比例函数的图像与正方形的两边分别相交于MN的面积为3.5，若动点P在x轴上，则取最小值时，点P的坐标为_______________．【答案】【解析】【分析】本题考查了正方形的性质，反比例函数的图象与性质，轴对称的性质，先求得，再由，再列出方程求得k的值，可求出点M、N的坐标，作点M关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接，此时最小，设直线的表达式为，将点、N的坐标代入即可求出其表示，直线与x轴的交点即可求得点P的坐标．【详解】解：正方形中，，点M的横坐标和点N的纵坐标都是4，第16页/共35页点M、N在反比例函数的图像上，，，，解得：，如图，作点M关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接，此时最小，点M关于x轴的对称点，，设直线的表达式为，将点、N的坐标代入得，解得，直线的表达式为，令，则，第17页/共35页点P的坐标为．17.称为“孪生抛物线”，例如：抛物线的“孪生抛物线”为．已知抛物线（a为常数，且）的“孪生抛物线”为．抛物线的顶点为A，与x轴交于B，C两点，若为直角三角形，则抛物线的表达式为______．【答案】【解析】【分析】本题考查二次函数中的新定义问题．理解新定义的意义是解决本题的关键．先求出抛物线为，可得，设得出，从而求得，由为直角三角形，可得，再列出方程求解即可．【详解】解：抛物线（a为常数，且）的“孪生抛物线”为，抛物线为，，，设令，则，，，由抛物线的对称性得为等腰直角三角形，，第18页/共35页，解得：或舍去，抛物线，故答案为：．18.新高考数学试卷共有32个或3规则如下：每道题满分为6分，全部选对得满分，有错选或者不选得0分，答案选项为2个的，只选一个正确选项得3分，答案选项为3个的，每选一个正确选项得2分．现甲，乙，丙，丁四位同学的作答和总得分情况如下表，则丁同学的总得分情况可能为_____．甲乙丙丁9题A10题题得分10910【答案】0或12【解析】【分析】本题主要考查了简单的合情推理，属于基础题．根据甲、乙、丙的得分判断各题的正确答案，再求丁的得分．【详解】解：根据乙的得分，可知：第9题正确答案有两个选项，包含，第10或，乙有一个题选对，另一题有错选，假设第10题的答案是，则第题的答案应该不含或，此时：甲和丙在第10题各得4分，若第9题的答案为，第题答案为，则甲、乙、丙的得分满足条件，此时丁第9、两题正确，第10题有错误选项，共得12分；若第9题的答案为，第题答案为，则甲、乙、丙的得分满足条件，此时丁3个题都有错误选项，得0分；假设第题正确答案为，则甲、丙第题均不得分，此时甲、丙的得分不可能都是10分，故不满足第19页/共35页题意，综上可得：丁的得分为0或12．故答案为：0或12．三、解答题（共6题，合计分）19.（1）计算：．（2）先化简，再求代数式的值：；其中【答案】（1）2），【解析】【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解此题的关键．（1）先计算算术平方根、特殊角的三角函数值、绝对值、负整数指数幂、零指数幂，再计算乘法，最后计算加减即可得解；（2）括号内先通分，再将除法转化为乘法约分即可化简，最后代入的值计算即可得解．1）；（2），第20页/共35页当时，原式．20.为弘扬国学文化，某校开展了国学知识讲座．为了解学生的学习情况，在七、八年级各抽取了50名学生进行了国学知识测试，根据测试成绩绘制了如下所示的统计图．七年级抽取的学生成绩条形统计图八年级抽取的学生成绩扇形统计图（1）求抽取的八年级学生中测试成绩为10分的人数；（2）请确定下表中、、，的值：统计量平均数众数中位数方差七年级88八年级81.56直接写出：，，，．（3）从上表中选择合适的统计量，说明哪个年级的成绩更稳定．【答案】（1）6（2）8，9，8，（3）七年级的成绩更稳定，理由见解析【解析】【分析】本题考查条形统计图、扇形的统计图，加权平均数、众数、中位数和方差的求解，（1）先根据扇形统计图求出测试成绩为分的人数所占的百分比，再乘以即可；（2）根据加权平均数、众数、中位数和方差的定义即可求解；（3）结合方差的意义即可作出判断；掌握统计图中各个数量之间的关系是正确解答的前提．【小问1详解】解：测试成绩为分的人数所占的百分比：，∴第21页/共35页抽取的八年级学生中测试成绩为分的人数为人；【小问2详解】八年级学生中测试成绩为分的人数为：测试成绩为分的人数为：测试成绩为分的人数为：测试成绩为分的人数为：八年级学生中测试成绩的平均数：，测试成绩为分的人数最多，众数是，七年级抽取的学生测试成绩排在第、名的成绩都是分，七年级抽取的学生测试成绩的中位数为：，七年级学生中测试成绩的平均数：，七年级学生中测试成绩的方差：∴，，，；【小问3详解】从表格中数据可知：七年级抽取的学生测试成绩方差为，八年级抽取的学生测试成绩方差为，且，七年级的成绩更稳定．21.综合与实践数学活动课上，同学们以“正方形与旋转”为主题开展探究活动．【探索发现】（1是边上一点，于点绕点逆时针旋转得到线段，连接，可证得．请写出证明过程．【深入思考】（2）在（1）的条件下，如图②，延长，交于点，试猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想．第22页/共35页【答案】（1）证明见解析（2），证明见解析【解析】【分析】本题主要考查了正方形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，旋转的性质，1，进而得出，然后说明；对于（2是正方形，可得，进而得出答案．1）解：∵四边形是正方形，∴．根据旋转的性质得，∴，∴，∴；（2）．理由如下：∵，∴，∴，∴四边形是矩形．∵，∴四边形是正方形，∴，∴．第23页/共35页22.12的坡比为（即处水平距离为2米时，水柱离地面的垂直距离达最大值，其最大值为3米．以为原点，直线为轴，建立平面直角坐标系，解决问题：（1）求水柱所在抛物线的解析式；（2）出于安全考虑，在河道的坝边处竖直向上安装护栏，若护栏高度为1.2米，判断水柱能否喷射到护栏上，说明理由；（3）河水离地平面距离为多少米时，刚好使水柱落在坝面截线与水面截线的交点处？【答案】（1）（2）不能，理由见解析（3）米【解析】【分析】本题考查二次函数的运用，掌握待定系数法求解析，二次函数图形的平移，解直角三角形的计算是解题的关键．（1）根据题意可得，抛物线的顶点坐标为，且过，设抛物线解析式为，把点代入，运用待定系数法即可求解；（2）根据题意，当时，（3）根据坡比得到到原点的水平距离为，且的解析式为，由此求解即可．【小问1详解】解：当水柱离喷水口O处水平距离为2米时，离地平面距离的最大值为3米，第24页/共35页∴抛物线的顶点坐标为，以O为原点建立平面直角坐标系，∴点，设抛物线解析式为，把点代入得，，解得，，∴水柱所在抛物线的解析式为；【小问2详解】解：水柱不能喷射到护栏上，理由如下：当时，，，水柱不能喷射到护栏上；【小问3详解】解：河道坝高米，坝面的坡比为（其中，即，则点与原点的水平距离为，点的坐标为，又点的坐标为，设的解析式为，，解得，，，解得，当时，，第25页/共35页即河水离地平面距离为米时，水柱刚好落在水面上．23.如图1，在锐角内找一点，过点作于点，以为直径作，过点作于点，延长交于点，连接．（1）若，则___________；（2）如图2，若，点在的延长线上，求证：是的切线；（3）如图3，连接，若于点，且，求的值．【答案】（1）（2）见解析（3）【解析】【分析】（1）根据是的直径得，由可得，进而由，即可得出结果；（2平分作于E出结论；（3）过点作于点，过点作于点，可得四边形是矩形；设，，由，得出，，，再证明，得，即，解得，在利用勾股定理求出，此求出比值即可．【小问1详解】证明：是的直径，第26页/共35页，即；，，，，，，；小问2详解】证明：如图，过作于E，，，；由（1），平分；，，是的切线；【小问3详解】解：过点作于点，过点作于点，第27页/共35页则，，设，，由（1）得，，∴四边形是矩形，∴；∵，，，∴，∴，，∴，，，∵，∴，∴；∵，∴，∴，∴，∴，即，∴，∴，，∵，第28页/共35页∴，∴．【点睛】本题考查的是切线的判定和性质、勾股定理的应用、角平分线的判定、相似三角形的性质和判定，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径、灵活运用相似三角形转化线段关系是解题的关键．24.图象的对称轴为直线Ay轴相交于点B过点，直线l：与y轴交于点DP为抛物线上对称轴左侧的一点，设P点横坐标为m，连接，过点P作直线轴，与直线l交于点M．（1）求二次函数的表达式；（2）如图1，过点P作，垂足为Q，连接，当与面积相等时，求m的值；（3）如图2，当时，连接，直线与相交于点N，连接，求的最小值并直接写出此时m的值．【答案】（1）（2）或（3）的最小值为；【解析】1）根据抛物线的对称轴为直线，求得，把代入，得，即可求解；（2）过点Q作于G，过点A作于H，当与面积相等时，则第29页/共35页，求得，，，然后利用勾股定理求解即可；（3解析式为向下移动4个单位，得到，连接，当、N、B三点共线时，最小，最小值为，则最小值为，求出的长即可；再用待定系数法求出直线解析式，把代入求出值即可．【小问1详解】解：∵二次函