上海市上海中学自主招生考试数学试卷（解析版）

全真考试卷（三）上海市上海中学自主招生考试试卷数学满分分，考试时间分钟1.已知，，求．【答案】10【解析】【分析】本题考查二次根式的化简求值，正确化简二次根式是解题关键．先利用分母有理化进行化简，然后再求出和的值，从而利用完全平方公式进行计算，即可解答．【详解】解：∵，，∴，，∴．2.如图，已知，则点的坐标为______．【答案】【解析】第1页/共10页【分析】本题考查平面直角坐标系和三角形全等的判定与性质、解直角三角形，添加辅助线并找到全等三角形是本题解题关键．先作垂线，再由得，再通过直角三角形特点解出各直角边长，从而得出点B坐标．【详解】如图，过点作轴于点，过点作于点，则，，，，．又，，，．在中，，，，，，，点的坐标为，．故答案为：，3.已知，则______．【答案】1【解析】第2页/共10页【分析】本题考查了分式的运算，解题关键是熟练运用分式运算法则进行计算，注意运用整体思想求解．先由已知求，再全部展开得到，再次代入已知得到，再与开始相乘得到结果建立分式方程，解出．【详解】由题意，得，又，．令，则，即．故答案为：1．4.已知直线与轴，轴交于点为在对应时的面积大小，则______．第3页/共10页【答案】【解析】【分析】本题主要考查了一次函数的性质，三角形面积计算，解题的关键是根据一次函数性质求出，得出即可．详解】令，则,令，则，解得，∴，，．5.有九个方格，把1到9这些正整数均填入其中，要使任意相邻的三个格子的和为3的倍数______种填法．【答案】1296【解析】【分析】本题考查倍数．可以将9个格子分成3类，即从左到右第1，4，7个格子，从左到右第2，5，8个格子，从左到右第3，6，9个格子，再将同余的三个数间隔三个格子依次放入，再进行同余的数的内部排列，然后列式进行计算即可．【详解】解：根据题意得：从左到右第1，4，7个格子里的数除以3的余数都相同；从左到右第2，5，8第4页/共10页个格子里的数除以3的余数都相同；从左到右第3，6，9个格子里的数除以3余数都相同．将同余的三个数间隔三个格子依次放入，再进行同余的数的内部排列，有．故答案为：12966.如图，中，，且，则______．【答案】【解析】【分析】本题是圆与三角形的综合题，主要考查了垂径定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是结合垂径定理延长，得到以及，进而得到．【详解】如图，延长交于点，连结．．，，，，，第5页/共10页．7.有一数列（81，每一项与前一项比均为1或2或，这种数列有______种．【答案】【解析】【分析】本题考查了数字变化类，找到变化规律是解题的关键．根据题意进行分类讨论，进行计算求解．【详解】设后一项与前一项的比值为，则．当时显然成立（数列各项均为1当有1个2时，必然有1个，其它均为1，此时末项是负数不合题意；当有2个2时，必然有2个，其它均为1，则根据分组排列共有当有3个2时，必然有3个，此时末项是负数不合题意．综上，这种数列有种．故答案为：8.有______组整数解．【答案】9【解析】【分析】本题考查偶次幂及绝对值的性质，结合已知条件进行正确的分类讨论是解题的关键．根据偶次幂及绝对值的性质进行分类讨论即可．【详解】将原方程配方并整理，得，，，第6页/共10页均为整数，当时，或0；当时，或0；当时，或0．综上，有9组整数解．故答案为：99.解方程：．【答案】或．【解析】【分析】本题主要考查解分式方程和一元二次方程，解题的关键是熟练掌握分式运算技巧中的裂项相消法，先将方程左边进行化简，再将分式方程转化为一元二次方程求解并注意要验根．【详解】，原方程可化为，去分母并整理，得，，经检验或均是原方程的解．故答案为：或10.如图，在长方形中，长为4，宽为为的中点，点在上，且，求．第7页/共10页【答案】．【解析】【分析】本题主要考查了长方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方程，解题的，的长，进而根据列方程求出的长．【详解】解：如图，延长，交于点．四边形是长方形，，，．是的中点，，．又，，，．，．设．，，．第8页/共10页在中，，，，两边平方并整理，得，解得或∴．三角形三边均为正整数，且满足，求三边长．【答案】3，7，8或4，5，6．【解析】【分析】本题考查因式分解的应用，关键是先确定z的值．根据可设后确定z的值，再求的值即可．【详解】解：由题意不妨设．，均为正整数，，显然当时不等式不成立，．若，则，整理，得，不符合题意；若，则