能态密度和费米面课件

能态密度和费米面

一、能态密度1.定义能态密度：dSdk

kxkyEE+dEdZ：能量在E－E+dE两等能面间的能态数（考虑了电子自旋）能态密度：能带中单位能量间隔内的电子能态数dZ=2

(k)(k空间中能量在E－E+dE两等能面间的体积)2.近自由电子的能态密度对于自由电子：能量为E的等能面是半径为在球面上的球面

在近自由电子情况下，周期场的影响主要表现在布里渊区边界附近，而离布里渊区边界较远处，周期场对电子运动的影响很小。

以简单立方晶体为例，考察第一布里渊区中等能面的一个二维截面。在布里渊区边界面的内侧：对自由电子：EP(0)=EQ(0)考虑周期场的影响：EQ(0)>EQ，EP(0)EP在布里渊区边界面的外侧：对自由电子：EN(0)=EM(0),考虑周期场影响：EM(0)<EM，EN(0)EN，

考虑周期场影响后，在布里渊区边界面的内侧与外侧等能面均形成向外突出的凸面。EP>EQEM>ENPQQ’M’MN0Gn近自由电子的等能面近自由电子的能态密度EAkxkyACN(E)EECⅠEBⅡN(E)EECⅠEBⅡ当ECⅠ<EBⅡ时：有能隙（禁带）当ECⅠ>EBⅡ时：出现能带重叠3.紧束缚近似的能态密度以简单立方晶格s带为例:

在k=0，即能带底附近，等能面近似为球面，随着E的增大，等能面明显偏离球面。N(E)E0E0–6J1E0–2J1E0+6J1E0+2J1E(Γ)E(X)E(M)E(R)

在

、X、M和R点处，

kE=0，称为VanHove奇点，这些点都是布里渊区中的高对称点。二、费米面讨论近自由电子的费米面结构:

对金属：EＦ０>>KBT，在T>0时，只有费米面附近的少量电子受到热激发。费米半径的相对变化：在室温下：a.费米面的构造步骤

按电子浓度求出相应的费米半径，并作出费米球（圆）；1.近自由电子费米面的构造法

按照近自由电子作必要的修正。

将处在各个布里渊区中的费米球（圆）分块按倒格

矢平移到简约区中，来自第n个布里渊区的对应于第

n个能带，于是在简约区中得到对应于各个能带的费

米面图形；

根据晶体结构画出倒易空间中扩展的布里渊区图形；b.修正的依据

电子的能量只在布里渊区边界附近偏离自由电子能

量，周期场的影响使等能面在布里渊区边界面附近发

生畸变，形成向外突出的凸包；

周期场的影响使费米面上的尖锐角圆滑化。

费米面所包围的总体积仅依赖于电子浓度，而不取决

于电子与晶格相互作用的细节；

等能面几乎总是与布里渊区边界面垂直相交；证明在一般情况下，等能面与布里渊区边界面垂直相交：在布里渊区边界面上：En(k)具有反演对称性：En(k)的平移对称性：在布里渊区边界面附近：沿布里渊区边界面的法线方向上，如果沿一个边界面的法线方向上处处都有那么，与该边界面相交的等能面必与此边界面垂直。例：二维正方晶格近自由电子的费米面图形。设二维晶格的晶格常数为a，晶体的原胞数为N，k的分布密度：设平均每个原子有

个价电子，即电子浓度为

电子/原子。对于简单晶格：其中为简约区的内切圆半径电子浓度

kF/k110.79821.12831.38241.59651.78461.954kxky简约区中自由电子的费米面

=1第一能带

=2,3

=4,5,6第二能带第三能带第四能带简约区中近自由电子的费米面

=2,3

=4,5,6第四能带

=1第一能带第二能带第三能带2.Hume－Rothery定律

纯Cu的晶体是立方密排结构，当掺入Zn后，随Zn含量的逐渐增加，其结构将发生一系列变化：

由

相

相

相

相

相。

实验发现，在许多合金体系中，电子浓度是决定合金具有什么相结构的重要参量。一定的电子浓度将出现一定的相，这种现象称为Hume－Rothery定律。具有一定电子浓度的合金相称为电子化合物以Cu－Zn合金相图为例：

当Zn的原子浓度大于50％时出现

相，为复杂立方

结构，每个晶胞中有52个原子，其化学式为Cu5Zn8，

电子－原子比（电子浓度）为21/13；

当Zn的原子浓度在~38％以下时，是以Cu为基的fcc

固溶体，称为

相；

当Zn的原子浓度在38－50％之间时，将出现新相，

称为

相，是bcc格子，其化学式为CuZn，电子－原

子比（即电子浓度）为3/2，是一种电子化合物；

在纯Zn附近，形成以Zn为基的固溶体

相，为近似

密排六方结构，c/a>1.633。

当Zn的原子浓度~67％时，出现

相，为密排六方结

构，c/a<1.633，化学式为CuZn3，电子浓度为7/4；

当考虑电子填充时，随着电子浓度的增加，费米面逐

渐靠近布里渊区边界面；当电子浓度达到一定值时，

费米面将与布里渊区边界面相切。

在近自由电子情况下，当离布里渊区边界面较远时，

其等能面与自由电子基本相同，近似为球面。

当等能面靠近布里渊区边界面时，由于周期场的影

响，等能面将发生畸变，形成向外突出的凸包，从而

使其能态密度大于自由电子的能态密度。

当等能面与布里渊区边界面相切时，能态密度达到极

大值。其后，能态密度随能量的增加而迅速减小。

如电子浓度继续增加，由于能态密度随能量的增加而

迅速减小，电子将不得不往更高的能态上填，从而使

系统的总能量升高，这种结构将不再是稳定的，而趋

于转变为另一种可使系统的总能量降低的结构，即发

生相变。纯Cu的晶体结构：密排立方结构（fcc）

当掺入的Zn含量较少时，其晶体结构是以Cu为基的fcc固溶体（

相）。

设fcc的晶格常数为a，则其倒格子是格常数为4/a的bcc。

简约区内切球的半径k1()及内切球所对应的饱和电子浓度（电子－原子比）

1()。其简约区是由8个{111}面和6个{100}面所围成的十四面体。

当体系的电子浓度大于

1()时，

相固溶体将不再稳定，而趋于转变为另一种其内切球中可以填充更多电子的

相（bcc）。这时，

相比

相更稳定，于是，发生了从

相向

相转变的相变。

对于

相（bcc结构），同样可求出其简约区的内切球半径k1()及其相应的饱和电子浓度

1()。

当电子浓度大于

相简约区内切球的饱和电子浓度

1()时，

相将不稳定，趋于转变为其他更稳定的新相。同理可解释当Zn的原子浓度继续增加时，合金的相结构将发生由

相

相

相的相变过程。第七章晶体中电子在电场和磁场中的运动

在一定条件下，把晶体中电子在外场中的运动当作

准经典粒子来处理。

解含外场的波动方程处理晶体中电子在外场中的运动所采用的方法：条件：外场较弱、恒定，不考虑电子在不同能带间的

跃迁，不涉及电子的衍射和干涉等。§7.1准经典运动一、波包与电子速度

设波包由以k0为中心，在

k的范围内的波函数组成，并假设

k很小，近似认为不随k而变对于一确定的k

，含时的Bloch函数为在晶体中，可以用含时间的Bloch函数来组成波包。一维情况：波包令分析波包的运动，只需分析

2，即概率分布即可。令0波函数主要集中在尺度为

的范围内，波包中心为：w＝0即若将波包看成一个准粒子，则粒子的速度为布里渊区的宽度：2/a即三维情况：电子速度为条件：

k很小以a为周期，并不会改变波包的形状。

电子速度的方向为k空间中能量梯度的方向，即沿等

能面的法线方向。

在一般情况下，在k空间中，等能面并不是球面，因

此，v的方向一般并不是k的方向；电子的运动方向决定于等能面的形状

有当等能面为球面，或在某些特殊方向上，v才与k的

方向相同。kxkykv

电子运动速度的大小与k的关系以一维为例：

在能带底和能带顶，E(k)取极值，在能带底和能带顶，电子速度v＝0

在能带中的某处，电子速度的数值最大与自由电子的速度总是随能量的增加而单调上升是完全不同的。二、电子的准动量功能原理：

当F与速度v垂直时，可由冲量定理证明在垂直于v

的方向上，和外力F的分量也相等。

在平行于v的方向上，和F的分量相等；

在外场中，电子所受的力为F，在dt时间内，外场对电子所做的功为这是电子在外场作用下运动状态变化的基本公式，具有与经典力学中牛顿定律相似的形式。——电子的准动量

晶体中的电子在碰撞过程中所贡献的动量为。Bloch电子的行为类似于波长为

的平面波，再由deBroglie关系得其具有的动量。三、电子的加速度和有效质量晶体中电子准经典运动的基本关系式：{由以上两式可直接导出在外力作用下电子的加速度。1.一维情况引入电子的有效质量：在周期场中电子的有效质量m*与k有关E(k)取极小值，E(k)取极大值，

在能带底：

在能带顶：m*>0；m*<02.三维情况

分量形式：

＝1,2,3

矩阵形式：牛顿定律：这里用二阶张量代替了电子的加速度方向并不一定与外力的方向一致。

倒有效质量张量是对称张量，如将kx、ky、kz取为张量的主轴方向，可将其对角化。倒有效质量张量：在主轴坐标系中：例：简单立方晶体中，紧束缚近似下s带电子的有效质量,1,2,3即kx

,ky,kz为张量的主轴方向

有效质量的三个主分量均与J1成反比，若原子间距越大，J1越小，则有效质量就越大。有效质量张量退化为一个标量

在能带底

点：

在能带顶R点：

在能带底和能带顶电子的有效质量是各向同性的，退化为一标量，这是立方对称的结果。

在X点：

有效质量不仅可以取正，也可以取负，在能带底附近

（E(k)极小），有效质量总是正的；而在能带顶附近

（E(k)极大），有效质量总是负的。

有效质量是一个很重要的概念，它把晶体中电子准经典运动的加速度与外力联系起来。

有效质量中包含了周期场对电子的作用。在一般情况下，

有效质量是一个张量，在特殊情况下可以退化为标量。四、有效质量的物理解释电子的真实动量：

一维情况下：

由于周期场对电子的作用力（晶格力）比较复杂，并且往往事先不能知道，而且晶格对电子的作用是量子效应，是不能用经典的方法来处理。牛顿定律：F外：外场对电子的作用力F晶：周期场即晶格对电子的作用力，称为晶格力即其中——电子有效质量

有效质量包含了周期场的影响，所以，有效质量有别于电子的惯性质量。对于自由电子：F晶＝0，所以，m*＝m。

周期场中的电子已不是自由电子，它在运动过程中总是受到周期场的作用，即F晶

0。我们只是为了讨论电子运动的方便，在形式上把它看成一个“自由粒子”，将周期场的作用归并到有效质量中，而将电子对外场的响应写成类似于经典牛顿定律的形式。这时，有效质量在电子运动中所起的作用就类似于粒子质量的作用。这就是电子的有效质量m*为何与电子的真实质量m可以有很大