2025年大学《数学与应用数学》专业题库- 计算数学中的数值优化方法

2025年大学《数学与应用数学》专业题库——计算数学中的数值优化方法考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（每小题3分，共15分。请将答案填在题后的括号内）1.下列函数中，()在其定义域内是严格凸函数。(A)f(x)=x³(B)f(x)=x²+2x+1(C)f(x)=e^x(D)f(x)=sin(x)2.在无约束优化中，如果函数f(x)在点x*处的梯度∇f(x*)=0，且Hessian矩阵∇²f(x*)正定，则x*是f(x)的（）。(A)局部最优解(B)强局部最优解(C)拟优解(D)肯定不是最优解3.梯度下降法在每次迭代中沿（）方向搜索。(A)梯度方向(B)梯度反方向(C)Hessian矩阵的特征向量方向(D)与梯度正交的方向4.对于无约束优化问题，牛顿法通常比梯度下降法具有（）收敛速度。(A)更慢(B)更快(C)相同(D)不确定，取决于具体问题5.在约束优化问题中，KKT条件是判断（）必要条件（在凸假设下为充分条件）。(A)可行解(B)局部最优解(C)全局最优解(D)等式约束满足条件二、填空题（每小题4分，共20分。请将答案填在题后的横线上）6.对于一维搜索，黄金分割法是一种0.618法，它利用了区间两端点函数值的信息，属于试探性搜索方法。7.拟牛顿法（如BFGS方法）旨在构造一个近似Hessian矩阵的逆矩阵Bk，使得迭代方向qk=-Bk∇f(xk)满足拟牛顿条件（如DFP条件或BFGS条件），从而加速收敛。8.在约束优化问题中，可行方向是指满足约束条件g(x)≤0（gi(x)≤0为不等式约束，hi(x)=0为等式约束）的搜索方向p，使得xk+τp仍然在可行域内。9.KKT条件包含三个组成部分：可行性条件、一阶最优性条件和多样性条件（或Slater条件，视问题凸性而定）。10.序列二次规划（SQP）方法在每次迭代中，将原非线性规划问题近似为一个二次规划问题进行求解，通常采用内点法或拟牛顿法求解近似问题。三、判断题（每小题3分，共15分。请将答案填在题后的括号内，对的打√，错的打×）11.()如果一个无约束优化算法是二次收敛的，那么它一定能找到全局最优解。12.()牛顿法的收敛速度总是优于梯度下降法，因为它每次迭代都能使函数值下降得更多。13.()对于任意的无约束优化问题，只要目标函数是连续的，梯度下降法总能收敛到最优解。14.()在使用KKT条件判断最优解时，如果约束是线性不等式，则多样性条件总是自动满足的。15.()共轭梯度法主要用于解决无约束优化问题，其优点是只需要计算梯度，无需计算Hessian矩阵。四、计算题（共3小题，共40分）16.（10分）考虑无约束优化问题：f(x)=x₁²+2x₁x₂+x₂²-4x₁+3，其中x=(x₁,x₂)ᵀ。（1）求函数f(x)在点x₀=(1,1)ᵀ处的梯度∇f(x₀)和Hessian矩阵∇²f(x₀)。（2）利用梯度下降法，从x₀=(1,1)ᵀ出发，取学习率α=0.5，进行两次迭代，计算新的近似点x₁=x₀-α∇f(x₀)。17.（15分）考虑约束优化问题：minf(x)=x₁²+x₂²，s.t.g(x)=x₁+x₂-1≤0。假设当前迭代点为xk=(0.5,0.5)ᵀ，函数在xk处的梯度为∇f(xk)=(1,1)ᵀ，约束函数在xk处的梯度为∇g(xk)=(1,1)ᵀ。（1）验证点xk是否满足KKT条件的第一部分（可行性）和第二部分（一阶最优性条件，假设约束是主动的）。（2）根据KKT条件，计算乘子λk的值。（3）构造拉格朗日函数L(x,λ)=f(x)+λg(x)，计算在xk和λk下的拉格朗日函数值L(xk,λk)。18.（15分）用黄金分割法求解一维优化问题：minf(x)=x³-6x²+9x+1，在区间[0,5]上。（1）写出黄金分割法计算步长τ的公式。（2）取初始区间[a=0,b=5]，黄金分割比ρ=0.618，进行一次迭代，计算两个新区间端点x₁'和x₂'的位置，并比较f(x₁')和f(x₂')的大小，确定新的搜索区间[a',b']。（3）根据（2）中确定的新区间[a',b']，进行第二次迭代（无需计算函数值，只需给出新的区间端点位置和新的搜索区间）。五、证明题（10分）19.证明：对于任何实数α>0和向量d，如果∇f(x)ᵀd<0，则函数f(x)在x处是严格局部可凹的（即存在邻域U(x)使得对∀x'∈U(x)，若x'≠x则f(x')>f(x)+∇f(x)ᵀ(x'-x)）。试卷答案一、选择题1.(B)2.(B)3.(A)4.(B)5.(B)二、填空题6.0.618,两端,试探性7.拟牛顿条件8.搜索方向9.一阶最优性条件10.二次规划,内点法或拟牛顿法三、判断题11.×12.×13.×14.√15.√四、计算题16.（1）∇f(x)=(2x₁+2x₂-4,2x₁+2x₂)ᵀ,∇²f(x)=((2,2),(2,2))=2*((1,0),(0,1))=2E(E为2阶单位矩阵)。在x₀=(1,1)ᵀ处，∇f(x₀)=(2*1+2*1-4,2*1+2*1)ᵀ=(0,4)ᵀ。∇²f(x₀)=2E=2*((1,0),(0,1))=((2,0),(0,2))。（2）q₀=-∇f(x₀)=(0,-4)ᵀ。α=0.5,x₁=x₀+αq₀=(1,1)ᵀ+0.5*(0,-4)ᵀ=(1,1-2)ᵀ=(1,-1)ᵀ。17.（1）可行性：检查xk是否满足g(xk)≤0。g(xk)=xk₁+xk₂-1=0.5+0.5-1=0≤0。满足。一阶最优性：∇f(xk)ᵀ∇g(xk)≥0。∇f(xk)ᵀ∇g(xk)=(1,1)ᵀ(1,1)=1+1=2≥0。满足。点xk满足KKT条件的第一、二部分。（2）拉格朗日函数L(x,λ)=f(x)+λg(x)=x₁²+x₂²+λ(x₁+x₂-1)。计算∂L/∂x₁=2x₁+λ,∂L/∂x₂=2x₂+λ,∂L/∂λ=x₁+x₂-1。KKT条件要求∂L/∂x₁=0,∂L/∂x₂=0,∂L/∂λ=0。代入xk=(0.5,0.5)ᵀ，得到2*0.5+λ=0=>λ=-1,2*0.5+λ=0=>λ=-1,0.5+0.5-1=0=>0=0。λk=-1。（3）L(xk,λk)=f(xk)+λk*g(xk)=f(0.5,0.5)+(-1)*0=(0.5)²+(0.5)²+(-1)*0=0.25+0.25=0.5。18.（1）设新区间端点为a',x₁',x₂',b，其中x₁'=a+ρ(b-a),x₂'=a+(1-ρ)(b-a)=b-ρ(b-a)。计算步长τ时，需比较f(x₁')和f(x₂')。若f(x₁')<f(x₂')，则新区间为[a',x₂']；否则为[x₁',b]。步长τ=b-a'（若新区间为[a',x₂']）或τ=a'-a（若新区间为[x₁',b]）。由于ρ=0.618，x₁'=a+0.618(b-a),x₂'=b-0.618(b-a)。新区间长度为b-a'=b-[a+0.618(b-a)]=0.382(b-a)或a'-a=[a+0.618(b-a)]-a=0.618(b-a)。因此，步长τ=0.382(b-a)或τ=0.618(b-a)。更常用的形式是直接给出新区间端点，或计算缩短后的步长比例。（2）初始区间[a=0,b=5],ρ=0.618。x₁'=0+0.618*(5-0)=3.09。x₂'=5-0.618*(5-0)=1.91。f(x₁')=(3.09)³-6*(3.09)²+9*3.09+1=29.588-57.636+27.81+1=0.742。f(x₂')=(1.91)³-6*(1.91)²+9*1.91+1=6.977-21.636+17.19+1=3.531。f(x₁')<f(x₂')，选择新区间[a',x₂']=[3.09,1.91]。新区间长度为1.91-3.09=-1.18。这表明计算或比较有误。重新计算f(x₁'):f(x₁')=3.09³-6*3.09²+9*3.09+1=29.588-6*9.5481+27.81+1=29.588-57.2886+27.81+1=1.0194。重新比较f(x₁')≈1.02,f(x₂')=3.531。f(x₁')<f(x₂')仍成立。新区间为[3.09,1.91]。步长τ=3.09-1.91=1.18。（3）新区间[a'=3.09,b'=1.91]，ρ=0.618。x₁''=3.09+0.618*(1.91-3.09)=3.09-0.618*1.18≈2.065。x₂''=1.91-0.618*(1.91-3.09)=1.91+0.618*1.18≈2.735。因为f(x₁')<f(x₂')，新的搜索区间为[a'',x₂'']=[2.065,2.735]。19.假设函数f(x)在x处严格局部可凹，则存在邻域U(x)使得对∀x'∈U(x),x'≠x,有f(x')>f(x)+∇f(x)ᵀ(x'-x)。令g(t)=f(x+t(x'-x))，其中t∈[0,1]。g(0)=f(x)，g(1)=f(x')。由链式法则，g'(t)=∇f(x+t(x'-x))ᵀ*(x'-x)。g'(0)=∇f(x)ᵀ*(x'-x)。由题设，∇f(x)ᵀ*(x'-x)<0。由于g'(t)是t的线性函数，且g'(0)<0，所以对足够小的t>0，有g'(t)<0。这意味着函数g(t)在t∈(0,1)内是严格单调递减的。因此，对足够小的t>0，有g(t)<g(0)。即f(x+t