2025年大学《统计学》专业题库- 多元统计分析技术探究

2025年大学《统计学》专业题库——多元统计分析技术探究考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（每小题2分，共20分。请将正确选项的字母填在括号内。）1.在多元统计分析中，协方差矩阵用于描述（）。A.各变量独立同分布的情况B.各变量之间相互独立的关系C.多元数据的集中趋势和离散程度D.变量与常数的线性关系2.主成分分析的主要目的是（）。A.对原始变量进行分类B.对样本进行分类C.降低数据维度，保留主要信息D.测量样本之间的相似度3.因子分析中，因子载荷表示（）。A.共同因子的方差B.原变量与因子之间的相关程度C.误差项的方差D.因子的可解释方差4.下列哪种方法属于探索性数据分析技术？（）A.判别分析B.聚类分析C.回归分析D.相关分析5.K-均值聚类算法的基本思想是将样本划分为（）个簇。A.1B.2C.K（预设的簇数）D.样本总数6.费希尔判别分析的核心思想是（）。A.寻找最大化类间差异、最小化类内差异的线性组合B.将高维数据投影到低维空间C.对样本进行分类D.估计总体的参数7.协方差矩阵是半正定矩阵，这是因为（）。A.其特征值均为非负B.其特征值均为非正C.其行列式为零D.其迹为零8.进行因子分析时，要求原始变量之间具有（）。A.强的相关性B.弱的相关性C.线性关系D.非线性关系9.在系统聚类中，常用的距离度量包括（）。A.方差分析B.相关系数C.Minkowski距离D.回归系数10.对应分析主要用于分析（）。A.单变量分类数据B.单变量连续数据C.双向分类数据D.多元连续数据二、填空题（每小题2分，共20分。请将答案填在横线上。）1.多元正态性检验常用的方法有________和________。2.主成分的方差贡献率表示该主成分解释了________的方差。3.因子分析中，通过________可以使因子具有更易于解释的名称。4.聚类分析中，衡量样本之间相似程度的统计量称为________。5.判别分析可以分为________判别和________判别。6.协方差矩阵的特征值表示________的方差。7.进行主成分分析前，通常需要对原始数据进行________。8.软件输出结果中，因子载荷矩阵反映了________与________之间的相关关系。9.聚类分析的结果需要通过________和________等方法进行评估。10.费希尔判别函数的构建目标是使得不同类别样本在投影方向上的________最大化。三、简答题（每小题5分，共20分。）1.简述主成分分析的基本思想及其主要优点。2.因子分析与主成分分析有何主要区别？3.解释聚类分析中“距离”概念的含义，并列举两种常用的距离定义。4.简述贝叶斯判别分析的基本原理。四、计算题（每小题10分，共30分。）1.设有3个变量X1,X2,X3的样本协方差矩阵为：Σ=[[2,0.8,-1],[0.8,1.5,0.5],[-1,0.5,3]]计算该数据集的前两个主成分的方差贡献率和特征值。（要求写出计算过程的关键步骤）2.某研究提取了两个因子，得到因子载荷矩阵如下：L=[[0.9,0.1],[0.2,0.8],[-0.5,0.6]]解释第一个因子和第二个因子的含义。（提示：考虑各变量在因子上的载荷大小）3.对某市5个城区进行聚类分析，得到以下系统聚类谱系图（此处省略图形）：（假设谱系图中显示，当距离阈值为3时，样本被分为两类；当距离阈值为5时，样本被分为三类。请根据此信息回答）根据谱系图，当距离阈值为3时和5时，分别应将5个城区分为几类？请简要说明理由。五、综合应用题（15分。）某公司想根据员工的年龄（X1，单位：岁）、工作经验（X2，单位：年）、销售额（X3，单位：万元）三个指标对员工进行评估。现有10名员工的样本数据（此处省略原始数据矩阵）。假设经过检验，这三个变量近似服从多元正态分布，且样本数据满足进行主成分分析的前提条件。公司希望利用主成分分析构建一个综合评分，用于评估员工的综合能力。（1）简述利用主成分分析构建综合评分的基本步骤。（2）假设经过计算，前一个主成分的方差贡献率为85%，且第一个主成分在X1,X2,X3上的载荷分别为0.6,0.7,0.8。请解释该主成分的主要含义，并说明如何利用该主成分得分对员工进行初步排序。（不需要实际计算得分）试卷答案一、选择题1.C2.C3.B4.B5.C6.A7.A8.A9.C10.C二、填空题1.巴特莱特检验；梅尔卡夫检验2.总3.因子旋转4.距离5.费希尔；贝叶斯6.各主成分7.标准化8.原变量；因子9.轮廓分析；树状图/谱系图10.分离度三、简答题1.基本思想：通过线性变换将原始的多个相关变量转化为少数几个不相关的综合变量（主成分），这些综合变量能尽可能多地保留原始数据的总信息量。通常选取方差最大的几个主成分。优点：降低数据维度，简化问题；消除多重共线性；使数据更易于可视化；可能有助于后续分析（如聚类、判别）。2.区别：*目标不同：主成分分析旨在降维，保留尽可能多的方差信息；因子分析旨在解释原始变量的变异，认为存在不可观测的潜在因子驱动观测变量的变化。*因子数量：主成分数量通常等于原始变量数量或小于原始变量数量；因子数量通常远小于原始变量数量。*解释不同：主成分是原始变量的线性组合，其命名解释性相对较弱；因子是解释原始变量变异的潜在结构，更侧重于理论或命名解释。*方差解释：主成分分析直接解释原始变量的总方差；因子分析解释原始变量的共同方差。3.距离概念含义：距离用于量化样本点或类别之间在特征空间中的接近程度或差异大小。距离越小，表示样本点或类别越相似。常用距离定义：欧氏距离（衡量直线距离）、曼哈顿距离（衡量城市街区距离）、切比雪夫距离（衡量最大坐标差）。4.基本原理：贝叶斯判别分析基于贝叶斯定理，计算待分类样本属于各个已知类别Gk的后验概率P(Gk|x)，将其分配到后验概率最大的类别中。其公式为：P(Gk|x)=[P(x|Gk)P(Gk)]/P(x)，其中P(x|Gk)是条件密度，P(Gk)是先验概率，P(x)是边缘密度。四、计算题1.计算过程：*计算特征值：|Σ-λI|=0，求解λ。解得特征值λ1≈3.841,λ2≈2.152,λ3≈0.007。*计算方差贡献率：v_k=λ_k/Σλ_i=λ_k/(3.841+2.152+0.007)。v1≈3.841/6.000≈0.640；v2≈2.152/6.000≈0.359；v3≈0.007/6.000≈0.001。累计方差贡献率：v1'=0.640；v2'=0.640+0.359=0.999。*结果：前两个主成分的方差贡献率分别为约0.640和0.359（或保留更多小数位）。2.解释：*第一个因子：在第一个因子上，变量X1和X3有较大的正载荷（0.9和-0.5的绝对值都较大），X2有较小的正载荷。可以解释为该因子主要反映了X1和X3的某种组合特性，而X2的影响相对较弱。结合X1和X3的原始含义（如年龄和销售额），可以尝试命名，例如“业务能力因子”或“经验销售因子”。*第二个因子：在第二个因子上，变量X2有较大的正载荷，X1有较小的正载荷，X3有较大的负载荷。可以解释为该因子主要反映了X2与X3的某种对立关系。可以尝试命名为“经验与稳健性因子”，其中X2代表经验，X3（可能代表销售额波动或稳定性）与其呈负相关。3.答案：*当距离阈值为3时，应将5个城区分为2类。理由：谱系图中距离小于等于3的连接形成了两个独立的分支，代表这两个分支内的城区较为相似，应归为一类。*当距离阈值为5时，应将5个城区分为3类。理由：谱系图中距离小于等于5的连接形成了三个独立的分支，代表这三个分支内的城区较为相似，应归为一类。距离大于5的连接表示这些城区之间的相似度较低，可以单独成类。五、综合应用题（1）基本步骤：1.对原始数据（X1,X2,X3）进行标准化处理，消除量纲影响。2.计算标准化数据的样本协方差矩阵或相关矩阵。3.求解协方差矩阵（或相关矩阵）的特征值和对应的单位特征向量。4.根据特征值的大小，选取累计方差贡献率达到一定阈值（如85%以上）的前k个主成分。5.计算各样本在前k个主成分上的得分。对于第i个样本，其第j个主成分得分为：Z_ij=(Z_i-μ_j)*λ_j'*v_j'，其中Z_i是样本的第j个标准化变量，μ_j是均值（标准化后为0），λ_j'是第j个特征值，v_j'是第j个单位特征向量分量，这里简化为点乘。6.（若只取一个主成分）可以将该主成分得分作为综合评分。得分越高，综合能力越强。7.对综合评分进行排序或解释。（2）解释与排序：*主成分含义解释：前一个主成分在X1（年龄）、X2（工作经验）、X3（销售额）上的载荷分别为0.6,0.7,0.8。载荷均为正值，且