数学试卷+答案解析【湖南卷】【高二下期末考】湖南省长沙市雅礼（中学）教育集团2024-2025学年高二年级下学期期末考试（7.1-7.3）

雅礼教育集团2025年上期期末考试⾼⼆数学试卷⼀、单选题：本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.A.-lB.0C.1D.22.已知—个球表⾯积与体积的数值相等，则这个球的体积为()A.3B.12C.36nD.5763.设函数(x)的定义域为R，则“YXER，”是“函数f(x)为增函数”的A.充分⽽不必要条件B.必要⽽不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.已知tana=3，则()5.已知向量lal-2，在⽅向上的投影向量为，则(A.-12B.-6C.66.已知随机变量x-N(to'l，P(x>6)=m，P(2<x<4)=n，则的最⼩值为()A.B.C.D.7.设(l-2.x)'=a,+a,x+8.如图，在正⽅体ABCD-AB,CD中，E是棱的中点，点r在棱C,D,上，且，若AB.C.D.⼆、多选题：本⼤题共3⼩题，每⼩题6分，共18分，在每⼩题给出的四个选项中，有多项符合题⽬要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列有关复数的说法中（其中i为虚数单位正确的是()A.B.复数z=5-4i的共轭复数的虚部为4C.若复数z满⾜lz-il=l，则lzl的最⼤值为2D.若3+4i是关于x的⽅程x2+px+q=0(p,qeR)的—个根，则q=-2510.已知数列ta,}的前n项和为s,=-n2+11n，则下列说法正确的是()A.数列为递减数列B.当且仅当n=5时，S,取得最⼤值C.a,=-2n+12D.是等⽐数列A.flx)的图象有对称轴B.flx)是周期函数C.在区间上单调递增D.flx)的图象关于点中⼼对称三、填空题：本⼤题共3⼩题，每⼩题5分，共15分.12.已知函数为奇函数，则______.13.—个袋中装有⼤⼩质地相同的9个⼩球，其中⽩球2个，红球3个，⿊球4个，现从中不放回地摸球，每次摸—球，则前三次能摸到红球的概率为__________.围是__________．四、解答题：本⼤题共5⼩题，共77分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC中，⻆A,B,C所对的边分别为a,b,C，asinB=-JFbcosA，⻆A的平分线交BC于点D，且AD=1．16.随着⽹络App的普及与发展，刷“抖⾳”成为了⼈们⽇常⽣活的—部分.某地区随机抽取了部分20～40岁的“抖⾳”⽤户，调查他们⽇均刷“抖⾳”的时间情况，所得数据统计如下表：性别⽇均刷“抖⾳”时间超过2⼩时⽇均刷“抖⾳”时间不超过2⼩时48（1）依据⼩概率值的独⽴性检验，能否认为⽇均刷“抖⾳”时间的⻓短与性别有关？（2）现从被调查的⽇均刷“抖⾳”时间超过2⼩时的⽤户中，按照性别⽐例采⽤分层随机抽样的⽅法抽取3名⽤户参加抖⾳知识问答，已知男性⽤户、⼥性⽤户顺利完成知识问答的概率分别为，，每个⼈是否顺利完成知识问答相互独⽴，求在有且仅有2⼈顺利完成知识问答的条件下，这2⼈性别不同的概率.参考公式：，其中.参考数据：0.0050.0016.6357.87917.如图，在三棱柱ABC-ABC中，侧⾯A4CG为正⽅AC=5，D为BC的中点.（2）求直线AC与平⾯dB,D所成⻆的正弦值；（2）若A，B分别为椭圆M的上，下顶点，过点B且斜率为K(K>0)的直线交椭圆M于另—点N（异于椭圆的右顶点交X轴于点P，直线AN与直线X=a相交于点Q.求证：直线的斜率为定值.若函数fl.x)在区间上有定义，并且存在—个正数m，使得Yu,vel且，不等式恒成⽴，则称flx)在i上为“差商有界”函数；若函数f(x)在区间i上有定fx)在I上为“⼴义差商有界”函数.（1）已知，判断flx)在区间[0,]上是否是“差商有界”函数？若是是，请讨论是否是“⼴义差商有界”函数?（i）判断flx)在区间(0,1)上是否是“差商有界”函数？并说明理由；（ii）若flx)在区间(0,1)上是“⼴义差商有界”函数，求正整数r的最⼩值.雅礼教育集团2025年上期期末考试⾼⼆数学试卷⼀、单选题：本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.A.-lB.0C.1D.2【分析】根据元素与集合的关系可得m+2=2或m'+3=2（舍去解出m，由集合的互异性检验即可得出答案.所以m+2=2或m'+3=2（舍去故选：B．2.已知—个球的表⾯积与体积的数值相等，则这个球的体积为()A.3B.12C.36nD.576【分析】利⽤球体的表⾯积公式、体积公式列⽅程求半径，进⽽求其体积.所以这个球的体积为.故选：C3.设函数f(x)的定义域为R，则“YXER，f(x+I)f(x)”是“函数f(x)为增函数”的A.充分⽽不必要条件B.必要⽽不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【详解】试题分析：由增函数定义知：若函数f(x)为增函数，则yxeR，f(x+1)>f(x)，必要性成⽴；反之充分性不成⽴，如⾮单调函数（取整函数满⾜yxeR，f(x+1)>f(x)，所以选B.考点：充要关系4.已知tana=3，则()【分析】利⽤诱导公式结合同⻆三⻆函数的关系化弦为切即可得解.故选：C.5.已知向量lal-2，在⽅向上的投影向量为-3a，则()A.-12B.-6C.6【分析】根据给定条件，利⽤投影向量的意义求解即得.所以.故选：A6.已知随机变量x-N(to'l，P(x>6)=m，P(2<x<4)=n，则的最⼩值为()A.B.C.D.【详解】由随机变量服从正态分布，其正态分布分布曲线的对称轴为直线xr-4，则P(2<X<4)=P(4<X<6)，，，所以，当且仅当，即时，取等号.故选：C.7.设(1-2x)'=a,+a,t+ax'+…+azi"，则的值为()：，故选：D.8.如图，在正⽅体ABCD-AB,CD中，E是棱DD的中点，点r在棱C,D,上，且，若A.B.C.D.【分析】建⽴空间直⻆坐标系，求平⾯ABE的法向量i，根据线⾯平⾏可得，运算求解即可.或利⽤线⾯平⾏的判定结合条件可得.【详解】解法—：以A为坐标原点，AB,AD,A4,所在直线分别为X轴､y轴､z轴，建⽴如图所示的空间直则，A(0,0,1)，可得，设是平⾯的法向量，则，令z=2，则x=2,y=l，即7=(2,1,2)，由可C=(1,0,0)，且，可得，⼜因为B,(1,0,1)，则F=d-1,1,0)，所以平⾯ABE即为平⾯ABME，易知当F为的中点时，B,FBM，B,Fr平⾯ABE，BMC平⾯ABE，从⽽平⾯，所以.故选：C.⼆、多选题：本⼤题共3⼩题，每⼩题6分，共18分，在每⼩题给出的四个选项中，有多项符合题⽬要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列有关复数的说法中（其中i为虚数单位正确的是()A.i22"=-jB.复数z=5-4i的共轭复数的虚部为4C.若复数z满⾜，则的最⼤值为2D.若3+4i是关于x的⽅程x2+px+q=0(p,qeR)的—个根，则q=-25【分析】计算可判断A；根据共轭复数的定义可判断B；求出le-i=l的轨迹为圆，圆上的点到原点的距离最⼤值为2，可判断C；得到3-4i为⽅程的另—个根，根据韦达定理计算可得判断D.，，B选项，复数z=5-4i的共轭复数为，故虚部为4，故B正确；C选项，若复数z满⾜，则z的轨迹为复平⾯内，以(0,1为圆⼼，1为半径的圆，此圆上的点到原点的距离，最⼤值为2，即(0,1到原点距离，故Izl的最⼤值为2，故C正确；D选项，3+4i是关于x的⽅程x2+px+q=0(p,qeR)的—个根，3-4i为⽅程另—个根，故q=(3+4i3-4i)=9+16=25，D不正确.故选：BC10.已知数列的前n项和为s,=-n2+11n，则下列说法正确的A.数列为递减数列B.当且仅当n=5时，S,取得最⼤值C.a,=-2n+12D.是等⽐数列【分析】求出数列的通项公式，再作差可判断利⽤降标作差可判断C选项；利⽤等⽐数列的定义可判断D选项.故数列为递减数列，故A正确；因⼆次函数的对称轴为，且开⼝朝下，则当n=5或6时，S,取得最⼤值，故B错误；当n22时，S,=-(n-I]'+11(n-1)=-n2+13n-12，则，⼜a=s=10，符合上式，故a,=-2n+12,neN，故C正确；令，则，则是等⽐数列，故D正确.故选：ACDA.fl.x)的图象有对称轴B.fl.x)是周期函数C.在区间上单调递增D.flx)的图象关于点中⼼对称【分析】A选项由偶函数得到轴是其中—条对称轴；B选项⽤周期的定义找到其中—个周期为；C选项通过两个特殊点函数值的⼤⼩判定函数在区间不是单调递增；D选项由中⼼对称的定义验证是否成⽴即可.:flx)是偶函数，关于y轴对称，故A正确；∵,:T=2x是函数f(x)的—个周期，故B正确；显然，故fl.x)在区间上不单调递增，故C错误；:flx)的图象关于点中⼼对称.故选：ABD.三、填空题：本⼤题共3⼩题，每⼩题5分，共15分. .【分析】由题可得flx)定义域，由f(0)=0可得a=0，据此可得答案.由于f(0)有意义，结合flx)为奇函数，则f(0)=0+a=0，因此a=(，.故答案为：ln213.—个袋中装有⼤⼩质地相同的9个⼩球，其中⽩球2个，红球3个，⿊球4个，现从中不放回地摸球，每次摸—球，则前三次能摸到红球的概率为__________.【分析】先求前三次中每—次都没有摸到红球的概率，进⽽得前三次均未摸到红球的概率，利⽤对⽴事件即可求得前三次⾄少有—次摸到红球的概率.【详解】袋中有⾮红球6个，则第—次没有摸到红球的概第⼆次没有摸到红球概率为，第三次没有摸到红球的概率为，所以前三次均未摸到红球的概率为，所以前三次⾄少有—次摸到红球的概率为.故答案：.14.设函数，若且，则的取值范围是__________．⽤导数研究函数的性质，进⽽推出的取值范围．如图画出函数的⼤致图象，由已知条件可知：，,,,由，故在(1,e)为减区间，,的取值范围是：．故答案为：．四、解答题：本⼤题共5⼩题，共77分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C，asinB=-JFbcosA，角A的平分线交BC于点D，（2）由三⻆形⾯积公式并利⽤可得btc=bc，再由余弦定理即可求得bc=5，由三⻆形的⾯积公式可得结果.因为asinB=-、FbcosA，所以由正弦定理可得sinAsinB=-FsinBcosd．因为Be(0,x)，所以sinB=0，所以sinA=-Fcosd，故tand=-JF，⼜因为Ae(0,x)，所以．即，化简可得b中c=bc．16.随着⽹络App的普及与发展，刷“抖⾳”成为了⼈们⽇常⽣活的—部分.某地区随机抽取了部分20～40岁的“抖⾳”⽤户，调查他们⽇均刷“抖⾳”的时间情况，所得数据统计如下表：性别⽇均刷“抖⾳”时间超过2⼩时⽇均刷“抖⾳”时间不超过2⼩时48（1）依据⼩概率值的独⽴性检验，能否认为⽇均刷“抖⾳”时间的⻓短与性别有关？（2）现从被调查的⽇均刷“抖⾳”时间超过2⼩时的⽤户中，按照性别⽐例采⽤分层随机抽样的⽅法抽取3名⽤户参加抖⾳知识问答，已知男性⽤户、⼥性⽤户顺利完成知识问答的概率分别为，，每个⼈是否顺利完成知识问答相互独⽴，求在有且仅有2⼈顺利完成知识问答的条件下，这2⼈性别不同的概率.参考公式：，其中.参考数据：0.0050.0012.7063.8416.6357.879；（（2）根据题意，求出有且仅有2⼈顺利完成知识问答的概率和这2⼈性别不同的概率，再根据条件概率公式求解即可.性别⽇均刷“抖⾳”时间超过2⼩时⽇均刷“抖⾳”时间不超过2⼩时合计48合计200零假设为：⽇均刷“抖⾳”时间的⻓短与性别⽆关，故依据⼩概率值a=0.01的独⽴性检验，我们推断零假设成⽴，即⽇均刷“抖⾳”时间的⻓短与性别⽆关.由分层随机抽样可知，抽取男性⽤户2⼈，⼥性⽤户1⼈.记“有且仅有2⼈顺利完成知识问答”为事件A，“2⼈性别不同”为事件B，则,17.如图，在三棱柱ABC-ABC中，侧⾯AACC为正AC=5，D为BC的中点.（2）求直线AC与平⾯dB,D所成⻆的正弦值；可求解；⻆即可求解.连接AB，设AB门AB=E，连接DE.所以E为AB的中点.所以DEAC.⼜因为A,CZ平⾯dB,D，DEC平⾯dB,D，所以A,C平⾯dB,D.因为ABLAC，AB上AC，AcaA,C=C,AC,A,ce平⾯AACC，所以AB上平⾯AACG，A4一平⾯AACC，所以ABLA4.⼜A4山AC，所以AB，AC，dA,两两相互垂直.如图建⽴空间直⻆坐标系.则A(0,0,0)，B(1,0,0)，，，.所以，.设平⾯的法向量为，则即令x-5，则y=-l，:--1.于是.所以.直线与平⾯所成角的正弦值为.因为A4山平⾯ABC，所以是平⾯48c—个法向量.所以.由题设，⼆⾯角B-dD-C为钝角，所以⼆⾯角b-dD-c的余弦值为.（2）若A，B分别为椭圆M的上，下顶点，过点B且斜率为K(K>0)的直线交椭圆M于另—点N（异于椭圆的右顶点交X轴于点P，直线AN与直线X=a相交于点.求证：直线的斜率为定值.（2）设直线的⽅程为Y=KX-2，联⽴直线与椭圆，可表示出P,N坐标，继⽽得出直线AN的⽅程可得e的坐标，即可求出直线ve的斜率并得出定值.所以椭圆的标准⽅程为.（2）证明：易得A(0,2)，81l,-2)，直线的⽅程为y=kx-2，因为直线不过点(2E,0)，所以,..所以直线的斜率为定值.【点睛】本题考查椭圆的⽅程的求法，考查椭圆中的定值问题，属于中档题.若函数flx)在区间i上有定义，并且存在—个正数m，使得Yu,veI且u<v，不等式恒成⽴，则称flx)在上为“差商有界”函数；若函数f(x)在区间上有定在I上为“⼴义差商有界”函数.（1）已知fIX)=F，判断fIX)在区间[0,]上是否是“差商有界”函数是，请讨论是否是“⼴义差商有界”函数?（i）判断flx)在区间(a,1)上是否是“差商有界”函数？并说明理由；（ii）若flx)在区间(a,1)上是“⼴义差商有界”函数，求正整数r的最⼩值.（2i）利⽤函数新定义结合导数分析H(x)在区间(0,e"")上单调递减，得到与①⽭盾的结果即可；（ii）结合函数新定义构造函数plx),qlx)，利⽤导数分析其单调性求出qx)的最⼩值，再构造函数,利⽤导数找到其隐零点可得.f(x)在[0,]上不是“差商有界”函数.理由如下：